In der Mathematik, wie man sagt, läuft eine unendliche Reihe von Zahlen absolut zusammen (oder absolut konvergent zu sein), wenn die Summe des absoluten Werts des summand begrenzt ist. Genauer, wie man sagt, läuft eine echte oder komplizierte Reihe absolut wenn zusammen

Absolute Konvergenz ist für die Studie der unendlichen Reihe wichtig, weil seine Definition stark genug ist, um Eigenschaften von begrenzten Summen zu haben, die nicht alle konvergenten Reihen besitzen, noch ist breit genug, um allgemein vorzukommen. (Eine konvergente Reihe, die nicht absolut konvergent ist, wird bedingt konvergent genannt.)

Hintergrund

Man kann die Konvergenz der Reihe studieren, deren Begriffe Elemente einer willkürlichen abelian topologischen Gruppe sind. Der Begriff der absoluten Konvergenz verlangt mehr Struktur, nämlich eine Norm, die eine reellwertige Funktion auf der abelian Gruppe G (geschrieben zusätzlich, mit dem Identitätselement 0) solch dass ist:

1. Die Norm des Identitätselements von G ist Null:
2. Für jeden x in G,

Für jeden x in G,

1. Für jeden x, y in G,

In diesem Fall veranlasst die Funktion auf G die Struktur eines metrischen Raums (ein Typ der Topologie). Wir können deshalb G-valued Reihe denken und solch eine Reihe definieren, um wenn absolut konvergent

zu sein

Insbesondere diese Behauptungen wenden das Verwenden der Norm |x (absoluter Wert) im Raum von reellen Zahlen oder komplexen Zahlen an.

Beziehung zur Konvergenz

Wenn der metrische d auf G abgeschlossen ist, dann ist jede absolut konvergente Reihe konvergent. Der Beweis ist dasselbe bezüglich der Komplex-geschätzten Reihe: Verwenden Sie die Vollständigkeit, um abzustammen, das Kriterium von Cauchy für die Reihe der Konvergenz-a ist konvergent, wenn, und nur wenn seine Schwänze willkürlich klein in der Norm gemacht werden - und die Dreieck-Ungleichheit anwenden können.

Insbesondere für die Reihe mit Werten in jedem Banachraum bezieht absolute Konvergenz Konvergenz ein. Das gegenteilige ist auch wahr: Wenn absolute Konvergenz Konvergenz in einem normed Raum einbezieht, dann ist der Raum ein Banachraum.

Wenn eine Reihe konvergent, aber nicht absolut konvergent ist, wird es bedingt konvergent genannt. Ein Beispiel einer bedingt konvergenten Reihe ist die harmonische Wechselreihe. Viele Standardtests auf die Abschweifung und Konvergenz, am meisten namentlich einschließlich des Verhältnis-Tests und des Wurzeltests, demonstrieren absolute Konvergenz. Das ist, weil eine Macht-Reihe auf dem Interieur seiner Platte der Konvergenz absolut konvergent ist.

Beweis, dass jede absolut konvergente Reihe konvergent

ist

Nehmen Sie an ist konvergent. Da eine Reihe von komplexen Zahlen zusammenläuft, wenn, und nur wenn sowohl seine echten als auch imaginären Teile zusammenlaufen, wir mit der gleichen Allgemeinheit das annehmen können. Dann, ist konvergent.

Seitdem haben wir:

:.

So, ist eine begrenzte monotonische Folge (in m), der zusammenlaufen muss.

ist ein Unterschied der konvergenten Reihe; deshalb ist es auch konvergent. ist konvergent ist konvergent.

Neuordnungen und vorbehaltlose Konvergenz

Im allgemeinen Zusammenhang einer G-valued Reihe wird eine Unterscheidung zwischen der absoluten und vorbehaltlosen Konvergenz gemacht, und die Behauptung, dass eine echte oder komplizierte Reihe, die nicht absolut konvergent ist, notwendigerweise bedingt konvergent ist (Bedeutung ziemlich bedingt konvergent) ist dann ein Lehrsatz, nicht eine Definition. Das wird ausführlicher unten besprochen.

In Anbetracht einer Reihe mit Werten in einem normed abelian Gruppe G und eine Versetzung σ der natürlichen Zahlen baut man eine neue Reihe, gesagt, eine Neuordnung der ursprünglichen Reihe zu sein. Wie man sagt, ist eine Reihe unbedingt konvergent, wenn alle Neuordnungen der Reihe zu demselben Wert konvergent sind.

Wenn G abgeschlossen ist, absolute Konvergenz vorbehaltlose Konvergenz einbezieht.

Lehrsatz

Lassen

Beweis

Für jeden ε> 0 können wir einige, solch dass wählen

:und:

lassen Sie.

Für irgendwelchen, lassen Sie

:

: (Zeichen). und

:

dann

:

\left \|\sum\limits_ {i=1} ^N a_ {\\Sigma (i)}-A \right \|=

\left \| \sum_ {ich \in \sigma^ {-1 }\\ist (\{1, \dots, N_\varepsilon \}\\Recht)} a_ {\\Sigma (i)} - + abgereist

\sum_ {i\in I_ {\\Sigma, \varepsilon}} a_ {\\Sigma (i)} \right \|

</Mathematik>:

\leq

\left \| \sum_ {j=1} ^ {N_\varepsilon} a_j - Ein \right \|

+ \left \| \sum_ {i\in I_ {\\Sigma, \varepsilon}} a_ {\\Sigma (i)} \right \|

\leq\left \| \sum_ {j=1} ^ {N_\varepsilon} a_j - Ein \right \|

+ \sum_ {i\in I_ {\\Sigma, \varepsilon}} \| a_ {\\Sigma (i)} \|

</Mathematik>:\leq\left \| \sum_ {j=1} ^ {N_\varepsilon} a_j - Ein \right \|

+ \sum_ {j = S_ {\\Sigma, \varepsilon}} ^ {L_ {\\Sigma, \varepsilon}} \| a_j \|

\leq

\left \| \sum_ {j=1} ^ {N_\varepsilon} a_j - Ein \right \| + \sum_ {j = N_\varepsilon + 1} ^ {\\infty} \| a_j \|

deshalb

:

dann

Q.E.D.

Das Problem des gegenteiligen ist viel interessanter. Für die echte Reihe folgt es aus dem Neuordnungslehrsatz von Riemann, dass vorbehaltlose Konvergenz absolute Konvergenz einbezieht. Da eine Reihe mit Werten in einem endlich-dimensionalen normed Raum absolut konvergent ist, wenn jeder seiner eindimensionalen Vorsprünge absolut konvergent ist, folgt es leicht, dass absolute und vorbehaltlose Konvergenz für die R-valued Reihe zusammenfällt.

Aber es gibt unbedingt und nichtabsolut konvergente Reihe mit Werten im Raum von Hilbert: Wenn eine orthonormale Basis ist, nehmen.

Ein Lehrsatz von Dvoretzky-Rogers behauptet, dass jeder unendlich-dimensionale Banachraum unbedingt, aber nichtabsolut konvergente Reihe zugibt.

Produkte der Reihe

Das Cauchy Produkt von zwei Reihen läuft zum Produkt der Summen zusammen, wenn mindestens eine der Reihen absolut zusammenlaufen. D. h. denken Sie:

::

Das Cauchy Produkt wird als die Summe von Begriffen c wo definiert:

:

Dann, wenn entweder a- oder B-Summe absolut, dann zusammenläuft

:

Absolute Konvergenz von Integralen

Wie man

sagt, läuft das Integral einer echten oder Komplex-geschätzten Funktion absolut wenn zusammen

Wenn = [a, b] ein geschlossener begrenzter Zwischenraum ist, ist jede dauernde Funktion integrable, und da f dauernd |f dauernd einbezieht, ähnlich ist jede dauernde Funktion absolut integrable. Es ist nicht allgemein wahr, dass absolut integrable Funktionen auf [a, b] integrable sind: Lassen Sie, eine nichtmessbare Teilmenge zu sein und zu nehmen, wo die charakteristische Funktion von S ist. Dann ist f nicht Lebesgue messbar, aber |f ist unveränderlich. Jedoch ist es ein Standardergebnis, das, wenn f Riemann integrable ist, |f auch. Das hält auch für integrierten Lebesgue; sieh unten. Andererseits kann eine Funktion f Kurzweil-Henstock integrable sein (oder "messen integrable"), während |f nicht ist. Das schließt den Fall von unpassend Riemann integrable Funktionen ein.

Ähnlich, wenn A ein Zwischenraum der unendlichen Länge ist, ist es wohl bekannt, dass es unpassend Riemann integrable Funktionen f gibt, die nicht absolut integrable sind. Tatsächlich in Anbetracht jeder Reihe kann man die verbundene Schritt-Funktion als definiert dadurch betrachten. Dann läuft absolut zusammen, läuft bedingt zusammen oder weicht gemäß dem entsprechenden Verhalten von ab

Ein anderes Beispiel eines konvergenten, aber nicht absolut konvergenten unpassenden integrierten Riemanns ist.

Auf jedem Maß-Raum wird einer reellwertigen Funktion integrierter Lebesgue in Bezug auf seine positiven und negativen Teile, so die Tatsachen definiert:

1. f bezieht integrable f integrable ein
2. f messbar f bezieht integrable f integrable ein

werden im Wesentlichen in die Definition von integriertem Lebesgue eingebaut. Insbesondere die Theorie auf das Zählen-Maß auf einem Satz S anwendend, erlangt man den Begriff der nicht eingeordneten Summierung der Reihe wieder, die von Moore-Smith entwickelt ist, der verwendet (was jetzt genannt wird) Netze. Wenn S = N der Satz von natürlichen Zahlen, Lebesgue integrability, nicht eingeordnetem summability und absoluter Konvergenz ist, fallen alle zusammen.

Schließlich hält der ganze obengenannte für Integrale mit Werten in einem Banachraum. Die Definition von GeBanach-schätztem integriertem Riemann ist eine offensichtliche Modifizierung der üblichen. Für Lebesgue muss integrierter die Zergliederung in positive und negative Teile mit der funktionelleren analytischen Annäherung von Daniell überlisten, integrierten Bochner erhaltend.

Siehe auch

• Konvergenz der Reihe von Fourier
• Bedingte Konvergenz
• Weisen der Konvergenz (kommentierter Index)
• Rektor von Cauchy schätzt
• Ein Gegenbeispiel hat sich auf den Lehrsatz von Fubini bezogen
• 1/2  1/4 + 1/8  1/16 +

···

• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +

···

• Walter Rudin, Grundsätze der Mathematischen Analyse (McGraw-Hügel: New York, 1964).