In der Mathematik ist ein 3-Bereiche-eine hoch-dimensionale Entsprechung eines Bereichs. Es besteht aus dem Satz von Punkten, die von einem festen Mittelpunkt im 4-dimensionalen Euklidischen Raum gleich weit entfernt sind. Da ein gewöhnlicher Bereich (oder 2-Bereiche-) eine zweidimensionale Oberfläche ist, die die Grenze eines Balls in drei Dimensionen bildet, ist ein 3-Bereiche-ein Gegenstand mit drei Dimensionen, der die Grenze eines Balls in vier Dimensionen bildet. Ein 3-Bereiche-ist ein Beispiel eines 3-Sammelleitungen-.

Definition

In Koordinaten ist ein 3-Bereiche-mit dem Zentrum (C, C, C, C) und Radius r der Satz aller Punkte (x, x, x, x) im echten, 4-dimensionalen Raum (R) solch dass

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Der 3-Bereiche-, der am Ursprung mit dem Radius 1 in den Mittelpunkt gestellt ist, wird die Einheit 3-Bereiche-genannt und wird gewöhnlich S angezeigt:

:

Es ist häufig günstig, R als der Raum mit 2 komplizierten Dimensionen (C) oder der quaternions (H) zu betrachten. Die 3-Bereiche-Einheit wird dann durch gegeben

:

oder

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Diese Beschreibung als der quaternions der Norm ein, identifiziert den 3-Bereiche-mit dem versors im quaternion Abteilungsring. Da der Einheitskreis für planare Polarkoordinaten wichtig ist, so ist der 3-Bereiche-in der polaren Ansicht von an der quaternion Multiplikation beteiligten 4-Räume-wichtig. Sieh polare Zergliederung eines quaternion für Details dieser Entwicklung des drei-Bereiche-.

Diese Ansicht vom 3-Bereiche-ist die Basis für die Studie des elliptischen Raums, wie entwickelt, durch Georges Lemaître

Eigenschaften

Elementare Eigenschaften

Das 3-dimensionale Kubikhypergebiet eines 3-Bereiche-vom Radius r ist

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während das 4-dimensionale quartic Hypervolumen (das Volumen des 4-dimensionalen Gebiets, das durch den 3-Bereiche-begrenzt ist), ist

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Jede nichtleere Kreuzung eines 3-Bereiche-mit einem dreidimensionalen Hyperflugzeug ist ein 2-Bereiche-(wenn das Hyperflugzeug Tangente zum 3-Bereiche-nicht ist, in welchem Fall die Kreuzung ein einzelner Punkt ist). Als 3-Bereiche-Bewegungen durch ein gegebenes dreidimensionales Hyperflugzeug bricht die Kreuzung als ein Punkt auf, wird dann ein 2-Bereiche-Wachsen, der seine maximale Größe erreicht, wenn das Hyperflugzeug direkt durch den "Äquator" des 3-Bereiche-schneidet. Dann weicht der 2-Bereiche-wieder unten zu einem einzelnen Punkt als die 3-Bereiche-Blätter das Hyperflugzeug zurück.

Topologische Eigenschaften

Ein 3-Bereiche-ist eine kompakte, verbundene, 3-dimensionale Sammelleitung ohne Grenze. Es ist auch einfach verbunden. Was das im weiten Sinn bedeutet, ist, dass jede Schleife oder kreisförmiger Pfad, auf dem 3-Bereiche-unaufhörlich zu einem Punkt zusammenschrumpfen gelassen werden kann, ohne den 3-Bereiche-zu verlassen. Die Poincaré-Vermutung, bewiesen 2003 von Grigori Perelman, bestimmt, dass der 3-Bereiche-die einzige dreidimensionale Sammelleitung (bis zu homeomorphism) mit diesen Eigenschaften ist.

Der 3-Bereiche-ist homeomorphic zum einem Punkt compactification davon. Im Allgemeinen wird jeder topologische Raum, der homeomorphic zum 3-Bereiche-ist, einen topologischen 3-Bereiche-genannt.

Die Homologie-Gruppen des 3-Bereiche-sind wie folgt: H (S, Z) und H (S, Z) sind zyklisch, während H (S, Z) = {0} für alle anderen Indizes i beide unendlich. Jeder topologische Raum mit diesen Homologie-Gruppen ist als eine 3-Bereiche-Homologie bekannt. Am Anfang hat Poincaré vermutet, dass alle Homologie-3 Bereiche homeomorphic zu S sind, aber dann hat er selbst einen non-homeomorphic ein, jetzt bekannt als der Homologie-Bereich von Poincaré gebaut. Ungeheuer noch viel, wie man jetzt bekannt, bestehen Homologie-Bereiche. Zum Beispiel gibt Dehn, der sich mit dem Hang 1/n auf jedem Knoten im drei-Bereiche-füllt, einen Homologie-Bereich; normalerweise sind diese nicht homeomorphic zum drei-Bereiche-.

Betreffs der homotopy Gruppen haben wir π (S) = π (S) = {0}, und π ist (S) zyklisch unendlich. Die höheren-homotopy Gruppen (k  4) sind der ganze begrenzte abelian, aber folgen sonst keinem wahrnehmbaren Muster. Weil mehr Diskussion homotopy Gruppen von Bereichen sieht.

Geometrische Eigenschaften

Der 3-Bereiche-ist natürlich eine glatte Sammelleitung, tatsächlich, eine geschlossene eingebettete Subsammelleitung von R. Das Euklidische metrische auf R veranlasst einen metrischen auf dem 3-Bereiche-Geben davon die Struktur einer Sammelleitung von Riemannian. Als mit allen Bereichen hat der 3-Bereiche-unveränderliche positive 1/r gleiche Schnittkrümmung, wo r der Radius ist.

Viel von der interessanten Geometrie der 3-Bereiche-Stämme von der Tatsache, dass der 3-Bereiche-eine natürliche durch die quaternion Multiplikation gegebene Lüge-Gruppenstruktur hat (sieh die Abteilung unten auf der Gruppenstruktur). Die einzigen weiteren Bereiche mit solch einer Struktur sind der 0-Bereiche- und der 1 Bereich (sieh Kreisgruppe).

Verschieden vom 2-Bereiche-lässt der 3-Bereiche-zu, Vektorfelder (Abteilungen seines Tangente-Bündels) zu nichtverschwinden. Man kann sogar drei linear unabhängige und nichtverschwindende Vektorfelder finden. Diese können genommen werden, um irgendwelche nach-links-invariant Vektorfelder zu sein, die eine Basis für die Lüge-Algebra des 3-Bereiche-bilden. Das deutet an, dass der 3-Bereiche-parallelizable ist. Hieraus folgt dass das Tangente-Bündel des 3-Bereiche-trivial ist. Für eine allgemeine Diskussion der Zahl von geradlinigen unabhängigen Vektorfeldern auf einem N-Bereich, sieh die Artikel-Vektorfelder auf Bereichen.

Es gibt eine interessante Handlung der Kreisgruppe T auf S das Geben des 3-Bereiche-die Struktur eines als das Bündel von Hopf bekannten Hauptkreisbündels. Wenn man an S als eine Teilmenge von C denkt, wird die Handlung durch gegeben

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Der Bahn-Raum dieser Handlung ist homeomorphic zum Zwei-Bereiche-S. Da S nicht homeomorphic zu S×S ist, ist das Bündel von Hopf nichttrivial.

Topologischer Aufbau

Es gibt mehrere wohl bekannte Aufbauten des drei-Bereiche-. Hier beschreiben wir das Kleben eines Paares von drei Bällen und dann dem einem Punkt compactification.

Das Kleben

Ein 3-Bereiche-kann topologisch durch "das Kleben" zusammen der Grenzen eines Paares von 3 Bällen gebaut werden. Die Grenze eines 3-Bälle-ist ein 2-Bereiche-, und diese zwei 2 Bereiche sollen identifiziert werden. D. h. stellen Sie sich ein Paar von 3 Bällen derselben Größe vor, dann stellen Sie sie superauf, so dass ihre 2-kugelförmigen Grenzen zusammenpassen, und das Zusammenbringen von Paaren von Punkten auf dem Paar von 2 Bereichen zu einander identisch gleichwertig sein lassen. In der Analogie mit dem Fall des 2-Bereiche-(sieh unten) wird die Kleben-Oberfläche einen äquatorialen Bereich genannt.

Bemerken Sie, dass das Innere der 3 Bälle an einander nicht geklebt wird. Eine Weise, an die vierte Dimension zu denken, ist als eine dauernde reellwertige Funktion der 3-dimensionalen Koordinaten des 3-Bälle-, vielleicht betrachtet, "Temperatur" zu sein. Wir nehmen die "Temperatur", um Null entlang dem klebenden 2-Bereiche-zu sein und einen der 3 Bälle "heiß" sein zu lassen und anderen 3-Bälle-"kalt" sein lassen. Vom "heißen" 3-Bälle-konnte als die "obere Halbkugel" gedacht werden, und von der 3-Bälle-"Kälte" konnte als die "niedrigere Halbkugel" gedacht werden. Die Temperatur ist an den Zentren der zwei 3 Bälle am höchsten am/niedrigsten.

Dieser Aufbau ist einem Aufbau eines 2-Bereiche-, durchgeführten durch das Kleben der Grenzen eines Paares von Platten analog. Eine Platte ist ein 2-Bälle-, und die Grenze einer Platte ist ein Kreis (ein 1 Bereich). Lassen Sie ein Paar von Platten desselben Diameters sein. Stellen Sie sie superauf und kleben Sie entsprechende Punkte an ihren Grenzen. Wieder kann man an die dritte Dimension als Temperatur denken. Ebenfalls können wir den 2-Bereiche-aufblasen, das Paar von Platten bewegend, um die nördlichen und südlichen Halbkugeln zu werden.

Ein Punkt compactification

Nach dem Entfernen eines einzelnen Punkts vom 2-Bereiche-, was bleibt, ist homeomorphic zum Euklidischen Flugzeug. Ebenso, einen einzelnen Punkt von den 3-Bereiche-Erträgen dreidimensionaler Raum entfernend.

Eine äußerst nützliche Weise, das zu sehen, ist über den stereografischen Vorsprung. Wir beschreiben zuerst die niedrig-dimensionale Version.

Lassen Sie den Südpolen einer Einheit ausruhen, die auf dem xy-plane im drei-Räume-2-Bereiche-ist. Wir stellen einen Punkt des Bereichs (minus der Nordpol) zum Flugzeug kartografisch dar, indem wir an die Kreuzung der Linie mit dem Flugzeug senden. Der stereografische Vorsprung eines 3-Bereiche-(wieder das Entfernen des Nordpols) stellt zum drei-Räume-auf dieselbe Weise kartografisch dar. (Bemerken Sie, dass, seitdem sterographic Vorsprung conformal ist, werden runde Bereiche runden Bereichen oder Flugzeugen gesandt.)

Eine etwas verschiedene Weise, an den einen Punkt compactification zu denken, ist über die Exponentialkarte. Das Zurückbringen in unser Bild der Einheit das Zwei-Bereiche-Sitzen auf dem Euklidischen Flugzeug: Denken Sie einen geodätischen im Flugzeug, das am Ursprung gestützt ist, und stellen Sie das zu einem geodätischen in der zwei-Bereiche-von derselben Länge kartografisch dar, die am Südpol gestützt ist. Laut dieser Karte werden alle Punkte des Kreises des Radius in den Nordpol gesandt. Da die offene Einheitsplatte homeomorphic zum Euklidischen Flugzeug ist, ist das wieder ein ein Punkt compactification.

Die Exponentialkarte für den 3-Bereiche-wird ähnlich gebaut; es kann auch mit der Tatsache besprochen werden, dass der 3-Bereiche-die Lüge-Gruppe der Einheit quaternions ist.

Koordinatensysteme auf dem 3-Bereiche-

Die vier Euklidischen Koordinaten für S sind überflüssig, da sie der Bedingung das unterworfen sind. Als eine 3-dimensionale Sammelleitung sollte man im Stande sein, S durch drei Koordinaten zu parametrisieren, gerade als man das 2-Bereiche-Verwenden von zwei Koordinaten (wie Breite und Länge) parametrisieren kann. Wegen der nichttrivialen Topologie von S ist es unmöglich, einen einzelnen Satz von Koordinaten zu finden, die den kompletten Raum bedecken. Ebenso auf dem 2-Bereiche-muss man mindestens zwei Koordinatenkarten verwenden. Einige verschiedene Wahlen von Koordinaten werden unten gegeben.

Hyperkugelförmige Koordinaten

Es ist günstig, eine Art hyperkugelförmige Koordinaten auf S in der Analogie zu den üblichen kugelförmigen Koordinaten auf S zu haben. Eine solche Wahl — keineswegs einzigartig — ist (ψ, θ, φ), wo zu verwenden

::::

wo ψ und θ die Reihe 0 zu π durchgehen, und φ 0 zu 2π überfließt. Bemerken Sie, dass, für jeden festen Wert von ψ, θ und φ eine 2-Bereiche-von der Radius-Sünde (ψ) abgesehen von den degenerierten Fällen parametrisieren, wenn ψ 0 oder π gleich ist, in welchem Fall sie einen Punkt beschreiben.

Die Runde, die auf dem 3-Bereiche-in diesen Koordinaten metrisch ist, wird durch gegeben

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und das Volumen formt sich durch

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Diese Koordinaten haben eine elegante Beschreibung in Bezug auf quaternions. Jede Einheit quaternion q kann als ein versor geschrieben werden:

:q = e =, weil ψ + τ ψ\sündigen

wo τ eine Einheit imaginärer quaternion ist; d. h. ein quaternion, der τ = 1 befriedigt. Das ist die quaternionic Entsprechung der Formel von Euler. Jetzt kann die Einheit imaginärer quaternions alle lügen auf der Einheit, die in Im H so jeder solcher τ 2-Bereiche-ist, geschrieben werden:

:τ =, weil θ i + θ sündigen, weil φ j + θ Sünde φ k sündigen

Mit τ in dieser Form wird die Einheit quaternion q durch gegeben

:q = e = x + x i + x j + x k

wo der x's als oben ist.

Wenn q verwendet wird, um Raumfolgen zu beschreiben (vgl quaternions und Raumfolgen), beschreibt er eine Folge über τ durch einen Winkel 2ψ.

Koordinaten von Hopf

Eine andere Wahl von hyperkugelförmigen Koordinaten, (η, ξ, ξ), macht vom Einbetten von S in C Gebrauch. In komplizierten Koordinaten (z z)  C schreiben wir

::

Hier geht η die Reihe 0 zu π/2 durch, und ξ und ξ können irgendwelche Werte zwischen 0 und 2π nehmen. Diese Koordinaten sind in der Beschreibung des 3-Bereiche-nützlich, weil Hopf stopfen

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Für jeden festen Wert von η zwischen 0 und π/2 parametrisieren die Koordinaten (ξ, ξ) einen 2-dimensionalen Ring. In den degenerierten Fällen, wenn η 0 oder π/2 gleich ist, beschreiben diese Koordinaten einen Kreis.

Die Runde, die auf dem 3-Bereiche-in diesen Koordinaten metrisch ist, wird durch gegeben:und das Volumen formt sich durch:

Stereografische Koordinaten

Ein anderer günstiger Satz von Koordinaten kann über den stereografischen Vorsprung von S von einem Pol auf das entsprechende äquatoriale R Hyperflugzeug erhalten werden. Zum Beispiel, wenn wir vom Punkt vorspringen (1, 0, 0, 0) können wir einen Punkt p in S als schreiben

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wo u = (u, u, u) ein Vektor in R und || u = u + u + u ist. In der zweiten Gleichheit oben haben wir p mit einer Einheit quaternion und u = u i + u j + u k mit einem reinen quaternion identifiziert. (Bemerken Sie, dass der Zähler und Nenner hier pendeln, wenn auch quaternionic Multiplikation allgemein nichtauswechselbar ist). Das Gegenteil dieser Karte nimmt p = (x, x, x, x) in S zu

:

Wir könnten genauso gut vom Punkt vorgesprungen sein (1, 0, 0, 0), in welchem Fall der Punkt p durch gegeben wird

:

wo v = (v, v, v) ein anderer Vektor in R ist. Das Gegenteil dieser Karte nimmt p zu

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Bemerken Sie, dass die U-Koordinaten überall, aber (1, 0, 0, 0) und die V-Koordinaten überall, aber (1, 0, 0, 0) definiert werden. Das definiert einen Atlas auf S, der aus zwei Koordinatenkarten oder "Flecken" besteht, die zusammen alle S bedecken. Bemerken Sie, dass die Übergang-Funktion zwischen diesen zwei Karten auf ihrem Übergreifen durch gegeben wird

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und umgekehrt.

Gruppenstruktur

Wenn betrachtet, als der Satz der Einheit quaternions erbt S eine wichtige Struktur, nämlich diese der quaternionic Multiplikation. Weil der Satz der Einheit quaternions unter der Multiplikation geschlossen wird, übernimmt S die Struktur einer Gruppe. Außerdem, seitdem quaternionic Multiplikation ist glatt, S kann als eine echte Lüge-Gruppe betrachtet werden. Es ist ein nonabelian, Kompaktlüge-Gruppe der Dimension 3. Wenn gedacht, als eine Lüge-Gruppe ist S häufig angezeigter Sp (1) oder U (1, H).

Es stellt sich heraus, dass die einzigen Bereiche, die eine Lüge-Gruppenstruktur zulassen, S, Gedanke als der Satz von komplexen Einheitszahlen, und S, der Satz der Einheit quaternions sind. Man könnte denken, dass S, der Satz der Einheit octonions, eine Lüge-Gruppe bilden würde, aber das scheitert, seitdem octonion Multiplikation ist nichtassoziativ. Die octonionic Struktur gibt wirklich S ein wichtiges Eigentum: parallelizability. Es stellt sich heraus, dass die einzigen Bereiche, die parallelizable sind, S, S, und S sind.

Indem

man eine Matrixdarstellung des quaternions, H verwendet, erhält man eine Matrixdarstellung von S. Eine günstige Wahl wird durch Pauli matrices gegeben:

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Diese Karte gibt einen injective Algebra-Homomorphismus von H bis den Satz 2×2 Komplex matrices. Es hat das Eigentum, dass der absolute Wert eines quaternion q der Quadratwurzel der Determinante des Matriximages von q gleich ist.

Der Satz der Einheit quaternions wird dann durch matrices der obengenannten Form mit der Einheitsdeterminante gegeben. Diese Matrixuntergruppe ist genau die spezielle einheitliche Gruppe SU (2). So S weil ist eine Lüge-Gruppe zu SU (2) isomorph.

Mit unseren hyperkugelförmigen Koordinaten (η, ξ, ξ) können wir dann jedes Element von SU (2) in der Form schreiben

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Eine andere Weise, dieses Ergebnis festzusetzen, besteht darin, wenn wir die Matrixdarstellung eines Elements von SU (2) als eine geradlinige Kombination von Pauli matrices ausdrücken. Es wird gesehen, dass ein willkürliches Element als geschrieben werden kann. Die Bedingung, dass die Determinante von U +1 ist, deutet an, dass die Koeffizienten beschränkt werden, auf einem 3-Bereiche-zu liegen.

In der Literatur

Im Flatland von Edwin Abbott Abbott, veröffentlicht 1884, und in Sphereland, einer 1965-Fortsetzung zu Flatland durch Dionys Burger, wird der 3-Bereiche-einen Überbereich genannt, und ein 4-Bereiche-wird einen Hyperbereich genannt.

In der amerikanischen Zeitschrift der Physik schreibend, beschreibt Mark A. Peterson drei verschiedene Weisen, sich 3 Bereiche zu vergegenwärtigen, und weist auf Sprache in Der Gotteskomödie hin, die darauf hinweist, dass Dante das Weltall ebenso angesehen hat.

Siehe auch

Hyperbereich

• 1 Bereich, 2-Bereiche-, N-Bereich
• tesseract, polychoron, Simplex
• Pauli matrices
• Folge-Gruppe SO (3)
• Karten auf SO (3)
• quaternions und Raumfolgen
• Bündel von Hopf, Bereich von Riemann
• Bereich von Poincaré
• Blattbildung von Reeb
• Ring von Clifford
• David W. Henderson, Geometrie Erfahrend: In Euklidischen, Kugelförmigen und Hyperbolischen Räumen, der zweiten Ausgabe, 2001, http://www.math.cornell.edu/~henderson/books/eg00 (Kapitel 20: Hyperbolische und 3-Bereiche-3 Räume.)
• Jeffrey R. Weeks, Die Gestalt des Raums: Wie man Sich Oberflächen und Dreidimensionale Sammelleitungen, 1985 (http://books.google.com/books?id=Lurp6nB4LtQC&printsec=frontcover) Vergegenwärtigt (Kapitel 14: Der Hyperbereich) (Sagt: Eine Warnung auf der Fachsprache: Unser zwei-Bereiche-wird im dreidimensionalen Raum definiert, wo es die Grenze eines dreidimensionalen Balls ist. Diese Fachsprache ist unter Mathematikern, aber nicht unter Physikern normal. So seien Sie nicht überrascht, ob Sie Leute finden, die den zwei-Bereiche-ein drei-Bereiche-nennen.)

Links

• Referenzen: Dieser Artikel verwendet das abwechselnde Namengeben-Schema für Bereiche, in denen ein Bereich im n-dimensional Raum ein N-Bereich genannt wird.