Der Algorithmus von Gauss-Legendre ist ein Algorithmus, um die Ziffern von π zu schätzen. Es ist bemerkenswert, um mit nur 25 Wiederholungen schnell konvergent zu sein, die 45 Millionen richtige Ziffern von π erzeugen. Jedoch besteht der Nachteil darin, dass es intensives Gedächtnis ist und es deshalb manchmal über Machin ähnliche Formeln nicht verwendet wird.

Die Methode basiert auf der individuellen Arbeit von Carl Friedrich Gauss (1777-1855) und Adrien-Marie Legendre (1752-1833) verbunden mit modernen Algorithmen für die Multiplikation und Quadratwurzeln. Es ersetzt wiederholt zwei Zahlen durch ihre Arithmetik und geometrisches Mittel, um ihrem arithmetischen geometrischen Mittel näher zu kommen.

Die Version, die unten präsentiert ist, ist auch bekannt als der Brent-Salamin (oder Salamin-Brent) Algorithmus; es wurde 1975 von Richard Brent und Eugene Salamin unabhängig entdeckt. Es wurde verwendet, um die ersten 206,158,430,000 dezimalen Ziffern von π am 18. bis zum 20. September 1999 zu schätzen, und die Ergebnisse wurden mit dem Algorithmus von Borwein überprüft.

Algorithmus

1. Anfangswert-Einstellung:

:

2. Wiederholen Sie die folgenden Instruktionen bis zum Unterschied dessen, und ist innerhalb der gewünschten Genauigkeit:

:

b_ {n+1} & = \sqrt {a_n b_n}, \\

t_ {n+1} & = t_n - p_n (a_n - a_ {n+1}) ^2, \\

p_ {n+1} & = 2p_n.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

3. π wird dann als näher gekommen:

:

Die ersten drei Wiederholungen geben (Annäherungen, die bis zu und einschließlich der ersten falschen Ziffer gegeben sind):

:::

Der Algorithmus hat zweite Ordnung konvergente Natur, die im Wesentlichen bedeutet, dass sich die Zahl von richtigen Ziffern mit jedem Schritt des Algorithmus verdoppelt.

Mathematischer Hintergrund

Grenzen des arithmetischen geometrischen Mittels

Das arithmetische geometrische Mittel von zwei Zahlen, a und b, wird durch das Rechnen der Grenze der Folgen gefunden

:

b_ {n+1} & = \sqrt {a_n b_n},

\end {richten }\aus

</Mathematik>

der beide zu derselben Grenze zusammenlaufen.

Wenn und dann die Grenze ist, wo das ganze elliptische Integral der ersten Art ist

:

Wenn. dann

:

wo das ganze elliptische Integral der zweiten Art ist:

:

Gauss hat von beiden dieser Ergebnisse gewusst.

Die Identität von Legendre

Für und solch, dass Legendre die Identität bewiesen hat:

:

Methode von Gauss-Legendre

Die Werte können in die Identität von Legendre eingesetzt werden, und die Annäherungen an K, E kann durch Begriffe in den Folgen für das arithmetische geometrische Mittel mit gefunden werden und.

Siehe auch

• Numerische Annäherungen von π\