In der Mathematik, einer Algebra von von Neumann oder ist W*-algebra *-algebra begrenzter Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert, der in der schwachen Maschinenbediener-Topologie geschlossen wird und den Identitätsmaschinenbediener enthält. Sie wurden von John von Neumann ursprünglich eingeführt, der durch seine Studie von einzelnen Maschinenbedienern, Gruppendarstellungen, ergodic Theorie und Quant-Mechanik motiviert ist. Sein doppelter commutant Lehrsatz zeigt, dass die analytische Definition zu einer rein algebraischen Definition als eine Algebra von symmetries gleichwertig ist.

Zwei grundlegende Beispiele von Algebra von von Neumann sind wie folgt. RingL(R) im Wesentlichen begrenzter messbarer Funktionen auf der echten Linie ist eine Ersatzalgebra von von Neumann, die auf die pointwise Multiplikation auf dem Raum von Hilbert L(R) des Quadrats integrable Funktionen handelt. Die Algebra B (H) aller begrenzten Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert H ist eine Algebra von von Neumann, nichtauswechselbar, wenn der Raum von Hilbert Dimension mindestens 2 hat.

Algebra von Von Neumann wurden zuerst dadurch studiert; er und Francis Murray haben die grundlegende Theorie, unter dem eigentlichen Namen von Ringen von Maschinenbedienern, in einer Reihe von Papieren geschrieben in den 1930er Jahren und 1940er Jahren entwickelt nachgedruckt in den gesammelten Arbeiten dessen.

Einleitende Rechnungen von Algebra von von Neumann werden in den Online-Zeichen und dem gegeben

und die Bücher durch, und. Die drei Volumen-Arbeit davon gibt eine enzyklopädische Rechnung der Theorie. Das Buch dadurch bespricht fortgeschrittenere Themen.

Definitionen

Es gibt drei allgemeine Weisen, Algebra von von Neumann zu definieren.

Der erste und allgemeinste Weg ist, sie, wie schwach geschlossen, *-algebras begrenzter Maschinenbediener (auf einem Raum von Hilbert) zu definieren, die Identität enthaltend. In dieser Definition das schwache (Maschinenbediener) kann Topologie durch viele andere allgemeine Topologien einschließlich der starken, ultrastarken oder ultraschwachen Maschinenbediener-Topologien ersetzt werden. *-algebras begrenzter Maschinenbediener, die in der Norm-Topologie geschlossen werden, sind C*-algebras, so insbesondere ist jede Algebra von von Neumann C*-algebra.

Die zweite Definition ist, dass eine Algebra von von Neumann eine Teilmenge der begrenzten Maschinenbediener ist, die unter * geschlossen sind und seinem doppelten commutant, oder gleichwertig dem commutant von einer Teilmenge gleich sind, die unter * geschlossen ist. Der

doppelter commutant Lehrsatz von von Neumann sagt, dass die ersten zwei Definitionen gleichwertig sind.

Die ersten zwei Definitionen beschreiben einen von Neumann Algebra konkret als eine Reihe von Maschinenbedienern, die einem gegebenen Raum von Hilbert folgt. hat gezeigt, dass Algebra von von Neumann auch abstrakt als C*-algebras definiert werden können, die einen Vordoppel-haben; mit anderen Worten ist die Algebra von von Neumann, betrachtet als ein Banachraum, der Doppel-von einem anderen Banachraum genannt den Vordoppel-. Die Vordoppel-von einer Algebra von von Neumann ist tatsächlich bis zum Isomorphismus einzigartig.

Einige Autoren verwenden "Algebra von von Neumann" für die Algebra zusammen mit einer Raumhandlung von Hilbert, und "W*-algebra" für das abstrakte Konzept, so ist eine Algebra von von Neumann W*-algebra zusammen mit einem Raum von Hilbert und einer passenden treuen unital Handlung auf dem Raum von Hilbert. Die konkreten und abstrakten Definitionen einer Algebra von von Neumann sind den konkreten und abstrakten Definitionen C*-algebra ähnlich, der entweder wie Norm-geschlossen, * Algebra von Maschinenbedienern auf einem Raum von Hilbert, oder als *-algebras solcher Banach dass || * = || || a* definiert werden kann.

Fachsprache

Etwas von der Fachsprache in der Algebra-Theorie von von Neumann kann verwirrend sein, und die Begriffe haben häufig verschiedene Bedeutungen außerhalb des Themas.

• Ein Faktor ist eine Algebra von von Neumann mit dem trivialen Zentrum, d. h. einem Zentrum, das nur aus Skalarmaschinenbedienern besteht.
• Eine begrenzte Algebra von von Neumann ist diejenige, die das direkte Integral von begrenzten Faktoren ist. Ähnlich richtig sind unendliche Algebra von von Neumann das direkte Integral richtig unendlicher Faktoren.
• Eine Algebra von von Neumann, die einem trennbaren Raum von Hilbert folgt, wird trennbar genannt. Bemerken Sie, dass solche Algebra in der Norm-Topologie selten trennbar sind.
• Die Algebra von von Neumann, die von einer Reihe von begrenzten Maschinenbedienern auf einem Raum von Hilbert erzeugt ist, ist die kleinste Algebra von von Neumann, die alle jene Maschinenbediener enthält.
• Das Tensor-Produkt von zwei Algebra von von Neumann, die zwei Räumen von Hilbert folgen, wird definiert, um die Algebra von von Neumann zu sein, die durch ihr algebraisches Tensor-Produkt erzeugt ist, betrachtet als Maschinenbediener auf dem Raumtensor-Produkt von Hilbert der Räume von Hilbert.

Indem

wir über die Topologie auf einer Algebra von von Neumann vergessen, können wir es (unital) *-algebra, oder gerade ein Ring denken. Algebra von Von Neumann sind halberblich: Jedes begrenzt erzeugte Untermodul eines projektiven Moduls ist selbst projektiv. Es hat mehrere Versuche zu axiomatize die zu Grunde liegenden Ringe von Algebra von von Neumann, einschließlich Baer *-rings und AW* Algebra gegeben. *-algebra aufgenommener Maschinenbediener einer begrenzten Algebra von von Neumann ist ein von Neumann regelmäßiger Ring. (Die Algebra von von Neumann selbst ist im Allgemeinen nicht regelmäßiger von Neumann.)

Ersatzalgebra von von Neumann

Die Beziehung zwischen Ersatzalgebra von von Neumann und Maß-Räumen ist dem zwischen auswechselbarem C*-algebras und lokal kompakten Räumen von Hausdorff analog. Jede Ersatzalgebra von von Neumann ist zu L (X) für einen Maß-Raum (X, μ) und umgekehrt isomorph, weil jeder σ-finite Raum X, * misst, ist Algebra L (X) eine Algebra von von Neumann.

Wegen dieser Analogie ist die Theorie von Algebra von von Neumann Nichtersatzmaß-Theorie genannt worden, während die Theorie dessen manchmal C*-algebras Nichtersatztopologie genannt wird.

Vorsprünge

Maschinenbediener E in einer Algebra von von Neumann, nach dem E = EE = E* Vorsprünge genannt werden; sie sind genau die Maschinenbediener, die einen orthogonalen Vorsprung von H auf einen geschlossenen Subraum geben.

Wie man

sagt, gehört ein Subraum des Raums von Hilbert H der Algebra von von Neumann M, wenn es das Image von etwas Vorsprung in der M ist. Informell sind das die geschlossenen Subräume, die mit Elementen der M beschrieben werden können, oder diese M darüber "weiß". Der Verschluss des Images jedes Maschinenbedieners in der M oder der Kern jedes Maschinenbedieners in der M gehört der M, und der Verschluss des Images jedes Subraums, der der M unter einem Maschinenbediener der M auch gehört, gehört der M. Es gibt 1:1 Ähnlichkeit zwischen Vorsprüngen der M und Subräume, die ihm gehören.

Die grundlegende Theorie von Vorsprüngen wurde dadurch ausgearbeitet.

Zwei Subräume, die der M gehören, werden gleichwertiger (Murray von Neumann) genannt, wenn es eine teilweise Isometrie gibt, die das erste isomorph auf den anderen kartografisch darstellt, der ein Element der Algebra von von Neumann ist (informell, wenn M "weiß", dass die Subräume isomorph sind). Das veranlasst eine natürliche Gleichwertigkeitsbeziehung auf Vorsprüngen durch das Definieren E, um zu F gleichwertig zu sein, wenn die entsprechenden Subräume, oder mit anderen Worten gleichwertig sind, wenn es eine teilweise Isometrie von H gibt, der das Image von E isometrisch zum Image von F kartografisch darstellt und ein Element der Algebra von von Neumann ist. Eine andere Weise, das festzusetzen, besteht darin, dass E zu F wenn E=uu und F=uu für eine teilweise Isometrie u in M. gleichwertig

ist

Die Gleichwertigkeitsbeziehung ~ so definiert ist im folgenden Sinn zusätzlich: Nehmen Sie E ~ F und E ~ F an. Wenn E ⊥ E und F ⊥ F, dann E + E ~ F + F. Das ist im Allgemeinen nicht wahr, wenn man einheitliche Gleichwertigkeit in der Definition von ~ verlangt, d. h. wenn wir sagen, dass E zu F wenn u*Eu = F für einen einheitlichen u gleichwertig ist..

Die Subräume, die der M gehören, werden durch die Einschließung teilweise bestellt, und das veranlasst eine teilweise Ordnung ≤ Vorsprünge.

Es gibt auch eine natürliche teilweise Ordnung auf dem Satz von Gleichwertigkeitsklassen von Vorsprüngen, die durch die teilweise Ordnung &le veranlasst sind; Vorsprünge. Wenn M ein Faktor, &le ist; ist ein Gesamtbezug auf Gleichwertigkeitsklassen von Vorsprüngen, die in der Abteilung auf Spuren unten beschrieben sind.

Wie man

sagt, ist ein Vorsprung (oder Subraum, der M gehört) E, begrenzt, wenn es keinen Vorsprung F &lt gibt; E, der zu E gleichwertig ist. Zum Beispiel sind alle endlich-dimensionalen Vorsprünge (oder Subräume) begrenzt (da Isometrien zwischen Räumen von Hilbert die Dimension befestigt verlassen), aber der Identitätsmaschinenbediener auf einem unendlich-dimensionalen Raum von Hilbert ist in der Algebra von von Neumann aller begrenzten Maschinenbediener darauf nicht begrenzt, da es zu einer richtigen Teilmenge von sich isometrisch isomorph ist. Jedoch ist es für unendliche dimensionale Subräume möglich, begrenzt zu sein.

Orthogonale Vorsprünge sind Nichtersatzentsprechungen von Anzeigefunktionen in L(R). L(R) ist ||·||-closure des durch die Anzeigefunktionen erzeugten Subraums. Ähnlich wird eine Algebra von von Neumann durch seine Vorsprünge erzeugt; das ist eine Folge des geisterhaften Lehrsatzes für selbst adjungierte Maschinenbediener.

Die Vorsprünge eines begrenzten Faktors bilden eine dauernde Geometrie.

Faktoren

Eine Algebra von von Neumann N, dessen Zentrum nur aus Vielfachen des Identitätsmaschinenbedieners besteht, wird einen Faktor genannt. hat gezeigt, dass jede Algebra von von Neumann auf einem trennbaren Raum von Hilbert zu einem direkten Integral von Faktoren isomorph ist. Diese Zergliederung ist im Wesentlichen einzigartig. So kann das Problem, Isomorphismus-Klassen von Algebra von von Neumann auf trennbaren Räumen von Hilbert zu klassifizieren, auf dieses des Klassifizierens von Isomorphismus-Klassen von Faktoren reduziert werden.

hat

gezeigt, dass jeder Faktor einen von 3 Typen, wie beschrieben, unten hat.

Die Typ-Klassifikation kann zu Algebra von von Neumann erweitert werden, die nicht Faktoren sind, und eine Algebra von von Neumann vom Typ X ist, wenn es als ein direktes Integral von Faktoren des Typs X zersetzt werden kann; zum Beispiel hat jede Ersatzalgebra von von Neumann Typ I. Jede Algebra von von Neumann kann geschrieben werden

einzigartig als eine Summe von Algebra von von Neumann von Typen I, II, und III.

Es gibt mehrere andere Weisen, Faktoren in Klassen zu teilen, die manchmal verwendet werden:

• Ein Faktor wird getrennt genannt (oder zähmen Sie gelegentlich), wenn er Typ I, und dauernd hat (oder gelegentlich wild), wenn er Typ II oder III hat.
• Ein Faktor wird halbbegrenzt genannt, wenn er Typ I oder II, und rein unendlich hat, wenn er Typ III hat.
• Ein Faktor wird begrenzt genannt, wenn der Vorsprung 1 begrenzt und sonst richtig unendlich ist. Faktoren von Typen I und II können entweder begrenzt oder richtig unendlich sein, aber Faktoren des Typs III sind immer richtig unendlich.

Faktoren des Typs I

Wie man

sagt, ist ein Faktor vom Typ I, wenn es einen minimalen Vorsprung E  0, d. h. einen Vorsprung E solch gibt, dass es keinen anderen Vorsprung F mit 0, und die begrenzten Maschinenbediener auf einem trennbaren unendlich-dimensionalen Raum von Hilbert, einem Faktor des Typs I gibt.

Faktoren des Typs II

Wie man

sagt, ist ein Faktor vom Typ II, wenn es keine minimalen Vorsprünge gibt, aber es gibt begrenzte Nichtnullvorsprünge. Das deutet an, dass jeder Vorsprung E im Sinn halbiert werden kann, dass es gleichwertige Vorsprünge F und solchen G dass E = F + G gibt. Wenn der Identitätsmaschinenbediener in einem Faktor des Typs II begrenzt ist, wie man sagt, ist der Faktor des Typs II; sonst, wie man sagt, ist es des Typs II. Die besten verstandenen Faktoren des Typs II sind der hyperbegrenzte Faktor des Typs II und der hyperbegrenzte Faktor des Typs II, der dadurch gefunden ist.

Das sind die einzigartigen hyperbegrenzten Faktoren von Typen II und II; es gibt eine unzählbare Zahl anderen

Faktoren dieser Typen, die das Thema der intensiven Studie sind. bewiesen das grundsätzliche Ergebnis das

ein Faktor des Typs II hat einen einzigartigen begrenzten Tracial-Staat,

und der Satz von Spuren von Vorsprüngen ist [0,1].

Ein Faktor des Typs II hat eine halbbegrenzte Spur, die bis zu einzigartig

ist

Wiederschuppen und der Satz von Spuren von Vorsprüngen sind [0, ]. Der Satz von reellen Zahlen λ solch, dass es einen automorphism Wiederschuppen der Spur durch einen Faktor von λ gibt, wird die grundsätzliche Gruppe des Faktors des Typs II genannt.

Das Tensor-Produkt eines Faktors des Typs II und eines unendlichen

Faktor des Typs I hat Typ II, und umgekehrt jeden Faktor von

Typ II kann wie das gebaut werden. Die grundsätzliche Gruppe eines Typs

II Faktor wird definiert, um die grundsätzliche Gruppe seines Tensor-Produktes mit dem unendlichen (trennbaren) Faktor des Typs I zu sein. Viele Jahre lang war es ein offenes Problem, einen Faktor des Typs II zu finden, dessen grundsätzliche Gruppe nicht war, hat die Gruppe des ganzen positiven reals, aber Connes dann gezeigt, dass die Gruppenalgebra von von Neumann einer zählbaren getrennten Gruppe mit dem Eigentum von Kazhdan T (wird die triviale Darstellung im Doppelraum isoliert), wie SL (Z), eine zählbare grundsätzliche Gruppe hat. Nachher hat Sorin Popa gezeigt, dass die grundsätzliche Gruppe für bestimmte Gruppen, einschließlich des halbdirekten Produktes von Z durch SL (Z) trivial sein kann.

Ein Beispiel eines Faktors des Typs II ist die Gruppenalgebra von von Neumann

einer zählbaren unendlichen getrennten solcher Gruppe, dass jede nichttriviale conjugacy Klasse unendlich ist.

gefunden eine unzählbare Familie solcher Gruppen mit nichtisomorphen Gruppenalgebra von von Neumann, so die Existenz von unzählbar vielen verschiedenen trennbaren Faktoren des Typs II zeigend.

Faktoren des Typs III

Letzt sind Faktoren des Typs III Faktoren, die keine begrenzten Nichtnullvorsprünge überhaupt enthalten. In ihrer ersten Zeitung waren unfähig zu entscheiden, ob sie bestanden haben; die ersten Beispiele wurden später dadurch gefunden. Da der Identitätsmaschinenbediener immer in jenen Faktoren unendlich ist, wurden sie manchmal Typ III in der Vergangenheit genannt, aber kürzlich dass Notation durch die Notation III ersetzt worden ist, wo λ eine reelle Zahl im Zwischenraum [0,1] ist. Genauer, wenn das Spektrum von Connes (seiner Modulgruppe) 1 dann ist, ist der Faktor des Typs III, wenn das Spektrum von Connes alle integrierten Mächte &lambda ist; für 0, und wenn das Spektrum von Connes der ganze positive reals dann ist, ist der Typ III. (Das Connes Spektrum ist eine geschlossene Untergruppe des positiven reals, so sind das die einzigen Möglichkeiten.) Die einzige Spur auf Faktoren des Typs III nimmt Wert  auf allen positiven Nichtnullelementen und irgendwelchen zwei Nichtnullvorsprüngen

sind

gleichwertig. Auf einmal, wie man betrachtete, waren Faktoren des Typs III unnachgiebige Gegenstände, aber Tomita-Takesaki Theorie

hat zu einer guten Struktur-Theorie geführt. Insbesondere jeder Faktor des Typs III kann auf eine kanonische Weise als das durchquerte Produkt eines Faktors des Typs II und der reellen Zahlen geschrieben werden.

Der Vordoppel-

Jede Algebra-M von von Neumann hat eine VordoppelM, die der Banachraum des ganzen ultraschwach dauernden geradlinigen functionals auf der M ist. Wie der Name darauf hinweist, ist M (als ein Banachraum) die Doppel-von seinen Vordoppel-. Der Vordoppel-ist im Sinn einzigartig, dass jeder andere Banachraum, dessen Doppel-M ist, zu M. kanonisch isomorph ist, hat gezeigt, dass die Existenz eines Vordoppel-Algebra von von Neumann unter C* Algebra charakterisiert.

Die Definition des Vordoppel-, der oben gegeben ist, scheint, von der Wahl des Raums von Hilbert abzuhängen, dem M folgt, weil das die ultraschwache Topologie bestimmt.

Jedoch kann der Vordoppel-auch definiert werden, ohne den Raum von Hilbert zu verwenden, dem M, durch das Definieren davon folgt, um der Raum zu sein, der durch den ganzen positiven normalen geradlinigen functionals auf M. erzeugt ist

(Hier "normal" bedeutet, dass es suprema, wenn angewandt, auf zunehmende Netze selbst adjoint Maschinenbediener bewahrt; oder gleichwertig zu zunehmenden Folgen von Vorsprüngen.)

Die VordoppelM ist ein geschlossener Subraum der DoppelM (der aus dem ganzen mit der Norm dauernden geradlinigen functionals auf M besteht), aber ist allgemein kleiner. Der Beweis, dass M (gewöhnlich) nicht dasselbe als M ist, ist nichtkonstruktiv und verwendet das Axiom der Wahl auf eine wesentliche Weise; es ist sehr hart, ausführliche Elemente der M auszustellen, die nicht in der M sind. Zum Beispiel werden exotische positive geradlinige Formen auf der Algebra von von Neumann l (Z) durch freie Ultrafilter gegeben; sie entsprechen exotisch *-homomorphisms in C und beschreiben den Stone-Cech compactification Z.

Beispiele:

1. Die Vordoppel-von der Algebra von von Neumann L(R) im Wesentlichen begrenzter Funktionen auf R ist der Banachraum L(R) von Integrable-Funktionen. Der Doppel-von L(R) ist ausschließlich größer als L(R) Zum Beispiel, ein funktioneller auf L(R), der das Maß von Dirac &delta erweitert; auf dem geschlossenen Subraum von begrenzten dauernden Funktionen kann C(R) nicht als eine Funktion in L(R) vertreten werden.
2. Die Vordoppel-von der Algebra von von Neumann B (H) begrenzter Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert H ist der Banachraum aller Spur-Klassenmaschinenbediener mit der Spur-Norm = Tr (A). Der Banachraum von Spur-Klassenmaschinenbedienern ist selbst der Doppel-von C*-algebra Kompaktmaschinenbediener (der nicht eine Algebra von von Neumann ist).

Gewichte, Staaten und Spuren

Gewichte und ihre speziellen Fall-Staaten und Spuren werden im Detail darin besprochen.

• Ein Gewicht ω auf einer Algebra von von Neumann ist eine geradlinige Karte vom Satz von positiven Elementen (diejenigen der Form aa) zu [0, ].
• Ein positiver geradliniger funktioneller ist ein Gewicht mit ω (1) begrenzt (oder eher die Erweiterung von ω zur ganzen Algebra durch die Linearität).
• Ein Staat ist ein Gewicht mit ω (1) =1.
• Eine Spur ist ein Gewicht mit ω (aa) = ω (aa) für den ganzen a.
• Ein Tracial-Staat ist eine Spur mit ω (1) =1.

Jeder Faktor hat eine solche Spur, dass die Spur eines Nichtnullvorsprungs Nichtnull ist

und die Spur eines Vorsprungs ist unendlich, wenn, und nur wenn der Vorsprung unendlich ist.

Solch eine Spur ist bis zum Wiederschuppen einzigartig. Für Faktoren, die trennbar oder begrenzt sind, sind zwei Vorsprünge gleichwertig, wenn, und nur wenn sie dieselbe Spur haben. Der Typ eines Faktors kann von von den möglichen Werten dieser Spur wie folgt gelesen werden:

• Typ I: 0, x, 2x...., nx für einen positiven x (gewöhnlich normalisiert, um 1/n oder 1 zu sein).
• Typ I: 0, x, 2x....,  für einen positiven x (gewöhnlich normalisiert, um 1 zu sein).
• Typ II: [0, x] für einen positiven x (gewöhnlich normalisiert, um 1 zu sein).
• Typ II: [0, ].
• Typ III: 0, .

Wenn eine Algebra von von Neumann einem Raum von Hilbert folgt, der eine Norm 1 Vektor v, enthält

dann das funktionelle → (av, v) ist ein normaler Staat. Dieser Aufbau kann umgekehrt werden, um eine Handlung auf zu geben

ein Raum von Hilbert von einem normalen Staat: Das ist der GNS Aufbau für normale Staaten.

Module über einen Faktor

In Anbetracht eines abstrakten trennbaren Faktors kann man um eine Klassifikation seiner Module bitten, die trennbaren Räume von Hilbert vorhabend, denen es folgt. Die Antwort wird wie folgt gegeben: Jedes solches Modul H kann eine M Dimension dunkel (H) (nicht seine Dimension als ein komplizierter Vektorraum) solch gegeben werden, dass Module isomorph sind, wenn, und nur wenn sie dieselbe M Dimension haben. Die M Dimension ist zusätzlich, und ein Modul ist zu einem Subraum eines anderen Moduls isomorph, wenn, und nur wenn es kleinere oder gleiche M Dimension hat.

Ein Modul wird normal genannt, wenn es einen zyklischen sich trennenden Vektoren hat. Jeder Faktor hat eine Standarddarstellung, die bis zum Isomorphismus einzigartig ist. Die Standarddarstellung hat eine antigeradlinige Involution J solch dass JMJ = M′.

Für begrenzte Faktoren wird das Standardmodul durch den GNS auf den einzigartigen normalen Tracial-Staat angewandten Aufbau gegeben, und die M Dimension wird normalisiert, so dass das Standardmodul M Dimension 1 hat, während für unendliche Faktoren das Standardmodul das Modul mit der M Dimension ist, die &infin gleich ist;.

Die mögliche M Dimensionen von Modulen wird wie folgt gegeben:

• Typ I (n begrenzt): Die M Dimension kann einige von 0/n, 1/n, 2/n, 3/n...,  sein. Das Standardmodul hat M Dimension 1 (und komplizierte Dimension n.)
• Typ I Die M Dimension kann einige 0, 1, 2, 3...,  sein. Die Standarddarstellung von B (H) ist H⊗H; seine M Dimension ist

∞.

• Typ II: Die M Dimension kann irgendetwas in [0, ] sein. Es wird normalisiert, so dass das Standardmodul M Dimension 1 hat. Die M Dimension wird auch die Kopplungskonstante des Moduls H genannt.
• Typ II: Die M Dimension kann irgendetwas in [0, ] sein. Es gibt im Allgemeinen keine kanonische Weise, es zu normalisieren; der Faktor kann Außenautomorphisms das Multiplizieren der M Dimension durch Konstanten haben. Die Standarddarstellung ist diejenige mit der M Dimension

∞.

• Typ III: Die M Dimension kann 0 oder  sein. Irgendwelche zwei Nichtnullmodule sind isomorph, und alle Nichtnullmodule sind normal.

Verantwortliche Algebra von von Neumann

und andere haben dass die folgenden Bedingungen auf einer Algebra von von Neumann M bewiesen

auf einem trennbaren Raum von Hilbert sind H die ganze Entsprechung:

• M ist hyperbegrenzt oder AFD oder ungefähr begrenzt dimensional oder ungefähr begrenzt: Das bedeutet, dass die Algebra eine steigende Folge von begrenzten dimensionalen Subalgebra mit der dichten Vereinigung enthält. (Warnung: Einige Autoren verwenden "hyperbegrenzt", um "AFD und begrenzt" zu bedeuten.)
• M ist verantwortlich: Das bedeutet, dass die Abstammungen der M mit Werten in normalem Doppelbanach bimodule alle inner sind.
• M hat das Eigentum von Schwartz P: Für jeden begrenzten Maschinenbediener T auf H hat der schwache Maschinenbediener geschlossen konvexer Rumpf der Elemente enthält uTu ein Element, das mit der M pendelt.
• M ist halbgetrennt: Das bedeutet, dass die Identitätskarte von der M bis M eine schwache pointwise Grenze von völlig positiven Karten der begrenzten Reihe ist.
• M hat Eigentum E oder das Hakeda-Tomiyama Erweiterungseigentum: Das bedeutet, dass es einen Vorsprung der Norm 1 von begrenzten Maschinenbedienern auf H zur M gibt '.
• M ist injective: Jede völlig positive geradlinige Karte von irgendwelchem selbst adjoint geschlossener Subraum, der 1 jeder unital C-Algebra zur M enthält, kann zu einer völlig positiven Karte von bis M erweitert werden.

Es gibt keinen allgemein akzeptierten Begriff für die Klasse von Algebra oben; Connes hat vorgeschlagen, dass verantwortlich der Standardbegriff sein sollte.

Die verantwortlichen Faktoren sind klassifiziert worden: Es gibt ein einzigartiges von jedem der Typen I, ich, II, II, III,

für 0 entsprechen bestimmtem ergodic

Flüsse. (Für den Typ III, der das nennt, ist eine Klassifikation etwas irreführend, weil es bekannt ist, dass es keine leichte Weise gibt, die entsprechenden Ergodic-Flüsse zu klassifizieren.) Wurden diejenigen des Typs I und II durch klassifiziert, und die restlichen wurden durch, abgesehen vom Fall des Typs III klassifiziert

der von Haagerup vollendet wurde.

Alle verantwortlichen Faktoren können mit dem Gruppenmaß-Raumaufbau von Murray und von Neumann für eine einzelne ergodic Transformation gebaut werden. Tatsächlich sind sie genau die Faktoren, die als durchquerte Produkte durch freie ergodic Handlungen von Z oder Z auf Algebra von abelian von Neumann L (X) entstehen. Faktoren des Typs I kommen vor, wenn der Maß-Raum X atomar ist und die transitive Handlung. Wenn X weitschweifig oder nichtatomar ist, ist es zu [0,1] als ein Maß-Raum gleichwertig. Faktoren des Typs II kommen vor, wenn X eine Entsprechung begrenzt (II) oder unendlich (II) Maß, invariant unter einer Handlung dessen zulässt. Faktoren des Typs III kommen in den restlichen Fällen vor, wo es kein Invariant-Maß, aber nur eine Invariant-Maß-Klasse gibt: Diese Faktoren werden Faktoren von Krieger genannt.

Tensor-Produkte von Algebra von von Neumann

Das Hilbert Raumtensor-Produkt von zwei Räumen von Hilbert ist die Vollziehung ihres algebraischen Tensor-Produktes.

Man kann ein Tensor-Produkt von Algebra von von Neumann definieren (eine Vollziehung des algebraischen Tensor-Produktes der Algebra betrachtet als Ringe), der wieder eine Algebra von von Neumann ist, und folgen Sie dem Tensor-Produkt der entsprechenden Räume von Hilbert. Das Tensor-Produkt von zwei begrenzten Algebra, ist und das Tensor-Produkt einer unendlichen Algebra begrenzt, und eine Nichtnullalgebra ist unendlich. Der Typ des Tensor-Produktes von zwei Algebra von von Neumann (Ich, II, oder III) ist das Maximum ihrer Typen. Der Umwandlungslehrsatz für Tensor-Produkte setzt das fest

:

(wo M′ zeigt den commutant M) an.

Das Tensor-Produkt einer unendlichen Zahl von Algebra von von Neumann, wenn getan, naiv, ist gewöhnlich eine lächerlich große nichttrennbare Algebra. Stattdessen hat gezeigt, dass man einen Staat auf jeder der Algebra von von Neumann wählen sollte, verwenden Sie das, um einen Staat auf dem algebraischen Tensor-Produkt zu definieren, das an das Produkt ein Raum von Hilbert und eine (vernünftig kleine) Algebra von von Neumann gewöhnt sein kann. studiert der Fall, wo alle Faktoren begrenzte Matrixalgebra sind; diese Faktoren werden Araki-Wald-Faktoren genannt, oder ITPFI Faktoren (tritt ITPFI "für unendliches Tensor-Produkt von begrenzten Faktoren des Typs I" ein). Der Typ des unendlichen Tensor-Produktes kann sich drastisch ändern, weil die Staaten geändert werden; zum Beispiel kann das unendliche Tensor-Produkt einer unendlichen Zahl von Faktoren des Typs I jeden Typ abhängig von der Wahl von Staaten haben. Insbesondere gefunden eine unzählbare Familie von nichtisomorphen hyperbegrenzten Faktoren des Typs III für 0 Faktoren, jeden mit dem Staat, der gegeben ist durch:

Alle hyperbegrenzten Algebra von von Neumann nicht des Typs III sind zu Araki-Wald-Faktoren isomorph, aber es gibt unzählbar viele Typ III, die nicht sind.

Bimodules und Subfaktoren

Ein

bimodule

(oder Ähnlichkeit) ist ein Raum von Hilbert H mit Modul-Handlungen von zwei pendelnden Algebra von von Neumann. Bimodules haben eine viel reichere Struktur als dieses von Modulen. Jeder bimodule, den mehr als zwei Faktoren immer einem Subfaktor seit einem der Faktoren geben, wird immer im commutant vom anderen enthalten. Es gibt auch eine feine Verhältnistensor-Produktoperation wegen Connes auf bimodules. Die Theorie von Subfaktoren, die von Vaughan Jones begonnen sind, legt diese zwei anscheinend verschiedenen Gesichtspunkte bei.

Bimodules sind auch für die Gruppenalgebra von von Neumann M einer getrennten Gruppe wichtig. Tatsächlich, wenn V einheitliche Darstellung dessen ist, dann, bezüglich als die diagonale Untergruppe von x, ist die entsprechende veranlasste Darstellung auf l (V) natürlich ein bimodule für zwei pendelnde Kopien der M. Wichtige Darstellung theoretische Eigenschaften dessen kann völlig in Bezug auf bimodules formuliert werden und deshalb Sinn für die Algebra von von Neumann selbst haben. Zum Beispiel haben Connes und Jones eine Definition einer Entsprechung des Eigentums von Kazhdan T für Algebra von von Neumann auf diese Weise gegeben.

Nichtverantwortliche Faktoren

Algebra von Von Neumann des Typs ich bin immer, aber für die anderen Typen verantwortlich, gibt es eine unzählbare Zahl von verschiedenen nichtverantwortlichen Faktoren, die sehr hart scheinen, zu klassifizieren, oder sogar von einander zu unterscheiden. Dennoch hat Voiculescu gezeigt, dass die Klasse von nichtverantwortlichen Faktoren, die aus dem Gruppenmaß-Raumaufbau kommen, von der Klasse zusammenhanglos ist, die aus der Gruppe Algebra von von Neumann von freien Gruppen kommt. Später hat Narutaka Ozawa bewiesen, dass Gruppe Algebra von von Neumann von Hyperbelgruppen geben Hauptfaktoren des Typs II, d. h. nach, die factored als Tensor-Produkte von Faktoren des Typs II, ein Ergebnis nicht sein können, das zuerst von Leeming Ge für freie Gruppenfaktoren mit dem freien Wärmegewicht von Voiculescu bewiesen ist.

Die Arbeit von Popa an grundsätzlichen Gruppen von nichtverantwortlichen Faktoren vertritt einen anderen bedeutenden Fortschritt. Die Theorie von Faktoren "außer dem hyperbegrenzten" breitet sich zurzeit mit vielen neuen und überraschenden Ergebnissen schnell aus; es hat nahe Verbindungen mit Starrheitsphänomenen in der geometrischen Gruppentheorie und ergodic Theorie.

Beispiele

• Die im Wesentlichen begrenzten Funktionen auf einem σ-finite messen Raum bilden einen auswechselbaren (Typ I) Algebra von von Neumann, die den L-Funktionen folgt. Sicher nicht \U 03C3\begrenzte Maß-Räume, gewöhnlich überlegt pathologisch, L (X) ist nicht eine Algebra von von Neumann; zum Beispiel könnte der σ-algebra von messbaren Mengen die zählbare-cocountable Algebra auf einem unzählbaren Satz sein.
• Die begrenzten Maschinenbediener auf jedem Raum von Hilbert bilden eine Algebra von von Neumann, tatsächlich ein Faktor vom Typ I.
• Wenn wir einheitliche Darstellung einer Gruppe G auf einem Raum von Hilbert H dann haben, bilden die begrenzten Maschinenbediener, die mit G pendeln, eine Algebra von von Neumann G′ wessen Vorsprünge genau zu den geschlossenen Subräumen von H invariant unter G entsprechen. Gleichwertige Subdarstellungen entsprechen gleichwertigen Vorsprüngen in G′. der doppelte commutant G′′ G ist auch eine Algebra von von Neumann.
• Die Gruppenalgebra von von Neumann einer getrennten Gruppe G ist die Algebra aller begrenzten Maschinenbediener auf H = l (G), mit der Handlung von G auf H durch die richtige Multiplikation pendelnd. Man kann zeigen, dass das die Algebra von von Neumann ist, die von den Maschinenbedienern entsprechend der Multiplikation vom links mit einem Element g &isin erzeugt ist; G. Es ist ein Faktor (des Typs II), wenn jede nichttriviale conjugacy Klasse von G (zum Beispiel, eine non-abelian freie Gruppe) unendlich ist, und der hyperbegrenzte Faktor des Typs II ist, wenn außerdem G eine Vereinigung von begrenzten Untergruppen (zum Beispiel, die Gruppe aller Versetzungen der ganzen Zahlen ist, die alle außer einer begrenzten Zahl der Elemente bestechen).
• Das Tensor-Produkt von zwei Algebra von von Neumann, oder einer zählbaren Zahl mit Staaten, ist eine Algebra von von Neumann, wie beschrieben, in der Abteilung oben.
• Das durchquerte Produkt einer Algebra von von Neumann durch einen getrennten (oder mehr allgemein lokal kompakt) Gruppe kann definiert werden, und ist eine Algebra von von Neumann. Spezielle Fälle sind der Gruppenmaß-Raumaufbau von Faktoren von Murray und von Neumann und Krieger.
• Die Algebra von von Neumann einer messbaren Gleichwertigkeitsbeziehung und eines messbaren groupoid können definiert werden. Diese Beispiele verallgemeinern Gruppenalgebra von von Neumann und den Gruppenmaß-Raumaufbau.

Anwendungen

Algebra von Von Neumann haben Anwendungen in verschiedenen Gebieten von Mathematik wie Knoten-Theorie, statistischer Mechanik, Quant-Feldtheorie, Lokaler Quant-Physik, Freier Wahrscheinlichkeit, Nichtersatzgeometrie, Darstellungstheorie, Geometrie und Wahrscheinlichkeit gefunden.

.

• (Eine Übersetzung, das erste Buch über Algebra von von Neumann.)
• ; unvollständige Zeichen von einem Kurs.
• Eine historische Rechnung der Entdeckung von Algebra von von Neumann.
• . Dieses Papier gibt ihre grundlegenden Eigenschaften und die Abteilung in Typen I, II, und III, und findet insbesondere Faktoren nicht des Typs I.
• . Das ist eine Verlängerung des vorherigen Papiers, das Eigenschaften der Spur eines Faktors studiert.
• . Das studiert, wenn Faktoren, und in besonderen Shows isomorph sind, dass alle ungefähr begrenzten Faktoren des Typs II isomorph sind.
• . Das ursprüngliche Papier auf Algebra von von Neumann.
• . Das definiert die ultrastarke Topologie.
• . Das bespricht unendliche Tensor-Produkte von Räumen von Hilbert und den Algebra, die ihnen folgen.
• . Das zeigt die Existenz von Faktoren des Typs III
• . Das zeigt, dass einige anscheinend topologische Eigenschaften in Algebra von von Neumann rein algebraisch definiert werden können.
• . Das bespricht, wie man eine Algebra von von Neumann als eine Summe oder Integral von Faktoren schreibt.
• . Die Papiere von Reprints von Neumann auf Algebra von von Neumann.