Invariance des Gebiets ist ein Lehrsatz in der Topologie über homeomorphic Teilmengen des Euklidischen Raums R. Es setzt fest:

:If U ist eine offene Teilmenge von R und f: U → R ist eine injective dauernde Karte, dann V = f ist (U) offen, und f ist ein homeomorphism zwischen U und V.

Der Lehrsatz und sein Beweis sind wegen L.E.J. Brouwers, veröffentlicht 1912. Der Beweis verwendet Werkzeuge der algebraischen Topologie, namentlich der Brouwer befestigter Punkt-Lehrsatz.

Zeichen

Der Beschluss des Lehrsatzes kann als gleichwertig formuliert werden: "f ist eine offene Karte".

Normalerweise, um zu überprüfen, dass f ein homeomorphism ist, würde man nachprüfen müssen, dass sowohl f als auch seine umgekehrte Funktion f dauernd sind; der Lehrsatz sagt, dass, wenn das Gebiet eine offene Teilmenge von R und dem Image ist, auch in R ist, dann ist die Kontinuität von f automatisch. Außerdem sagt der Lehrsatz, dass, wenn zwei Teilmengen U und V von R homeomorphic sind, und U offen ist, dann V muss ebenso offen sein. (Bemerken Sie, dass V ist

öffnen Sie sich als eine Teilmenge von R, und nicht nur in der Subraumtopologie. Offenheit V in der Subraumtopologie ist automatisch.

) Beide dieser Behauptungen sind überhaupt nicht offensichtlich und sind nicht allgemein wahr, wenn man Euklidischen Raum verlässt.

Es ist von entscheidender Wichtigkeit, dass sowohl Gebiet als auch Reihe von f im Euklidischen Raum derselben Dimension enthalten werden. Denken Sie zum Beispiel die Karte f: (0,1)  R mit f (t) = (t, 0). Diese Karte ist injective und dauernd, das Gebiet ist eine offene Teilmenge von R, aber das Image ist in R nicht offen. Ein mehr äußerstes Beispiel ist g: (-1.1,1)  R mit g (t) = (t-1, t-t), weil hier g injective und dauernd ist, aber keinen homeomorphism auf sein Image sogar nachgibt.

Der Lehrsatz ist auch in unendlichen Dimensionen nicht allgemein wahr. Denken Sie zum Beispiel den Banachraum l aller begrenzten echten Folgen. Definieren Sie f: l  l als die Verschiebung f (x, x...) = (0, x, x...). Dann ist f injective und dauernd, das Gebiet ist in l offen, aber das Image ist nicht.

Folgen

Eine wichtige Folge des Gebiets invariance Lehrsatz ist, dass R homeomorphic zu R wenn M  n nicht sein kann. Tatsächlich kann keine nichtleere offene Teilmenge von R homeomorphic zu jeder offenen Teilmenge von R in diesem Fall sein. (Beweis: Wenn die M als ein Subraum von R und die nichtleeren offenen Teilmengen von R, wenn betrachtet, als Teilmengen von R nicht offen ist. Wir wenden den Lehrsatz im RaumR. an)...

Generalisationen

Das Gebiet invariance Lehrsatz kann zu Sammelleitungen verallgemeinert werden: Wenn M und N topologische N-Sammelleitungen ohne Grenze und f sind: M  N ist eine dauernde Karte, die lokal isomorph ist (das Meinen, dass jeder Punkt in der M eine solche Nachbarschaft hat, dass auf diese Nachbarschaft eingeschränkter f injective ist), dann ist f eine offene Karte (das Meinen, dass f (U) in N offen ist, wann auch immer U eine offene Teilmenge von M) ist.

Es gibt auch Generalisationen zu bestimmten Typen von dauernden Karten von einem Banachraum bis sich.

Siehe auch

• Der offene kartografisch darstellende Lehrsatz für andere Bedingungen, die sicherstellen, dass eine gegebene dauernde Karte offen ist.

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