Foton (vertreten durch die blaue Sinus-Welle), der ein Paar des Quark-Antiquarks wird. Dann strahlt man einen gluon (vertreten durch die grüne Spirale) aus.]]

Diagramme von Feynman sind bildliche Darstellungen der mathematischen Ausdrücke, das Verhalten von subatomaren Partikeln regelnd. Das Schema wird für seinen Erfinder, Nobel Preisgekrönter amerikanischer Physiker Richard Feynman genannt, und wurde zuerst 1948 eingeführt. Die Wechselwirkung von subatomaren Partikeln kann kompliziert und schwierig sein, intuitiv zu verstehen, und die Diagramme von Feynman berücksichtigen eine einfache Vergegenwärtigung dessen, was eine ziemlich geheimnisvolle und abstrakte Formel sonst sein würde. Wie David Kaiser schreibt, "seit der Mitte des 20. Jahrhunderts haben sich theoretische Physiker diesem Werkzeug zunehmend zugewandt, um ihnen zu helfen, kritische Berechnungen zu übernehmen," und weil solche "Diagramme von Feynman fast jeden Aspekt der theoretischen Physik revolutioniert haben". Während die Diagramme in erster Linie auf die Quant-Feldtheorie angewandt werden, können sie auch in anderen Feldern wie Halbleitertheorie verwendet werden.

Die Berechnung von Wahrscheinlichkeitsumfängen in der theoretischen Partikel-Physik verlangt den Gebrauch von ziemlich großen und komplizierten Integralen über eine Vielzahl von Variablen. Diese Integrale haben wirklich jedoch eine regelmäßige Struktur, und können grafisch als Diagramme von Feynman vertreten werden. Ein Feynman Diagramm ist ein Beitrag einer besonderen Klasse von Partikel-Pfaden, die sich anschließen und sich wie beschrieben, durch das Diagramm aufspalten. Genauer, und technisch ist ein Diagramm von Feynman eine grafische Darstellung eines perturbative Beitrags zum Übergang-Umfang oder der Korrelationsfunktion eines Quants mechanische oder statistische Feldtheorie. Innerhalb der kanonischen Formulierung der Quant-Feldtheorie vertritt ein Diagramm von Feynman einen Begriff in der Vergrößerung des Dochts der perturbative S-Matrix. Wechselweise vertritt der Pfad integrierte Formulierung der Quant-Feldtheorie den Übergang-Umfang als eine belastete Summe aller möglichen Geschichten des Systems von der Initiale bis den Endstaat, entweder in Bezug auf Partikeln oder in Bezug auf Felder. Der Übergang-Umfang wird dann als das Matrixelement der S-Matrix zwischen der Initiale und den Endstaaten des Quant-Systems gegeben.

Motivation und Geschichte

Wenn

man rechnet, böse Abteilungen in der Partikel-Physik streuend, kann die Wechselwirkung zwischen Partikeln durch das Starten von einem freien Feld beschrieben werden, das die eingehenden und ausgehenden Partikeln, und einschließlich einer Wechselwirkung Hamiltonian beschreibt, um zu beschreiben, wie die Partikeln einander ablenken. Der Umfang für das Zerstreuen ist die Summe jeder möglichen Wechselwirkungsgeschichte über alle möglichen Zwischenpartikel-Staaten. Die Zahl von Zeiten die Wechselwirkung Hamiltonian handelt, ist die Ordnung der Unruhe-Vergrößerung und die zeitabhängige Unruhe-Theorie für Felder, ist als die Reihe von Dyson bekannt. Wenn die Zwischenstaaten in Zwischenzeiten Energie eigenstates sind (Sammlungen von Partikeln mit einem bestimmten Schwung), wird die Reihe altmodische Unruhe-Theorie genannt.

Die Reihe von Dyson kann als eine Summe über Diagramme von Feynman abwechselnd umgeschrieben werden, wo an jedem Wechselwirkungsscheitelpunkt sowohl die Energie als auch der Schwung erhalten werden, aber wo die Länge des Energieschwungs vier Vektor der Masse nicht gleich ist. Die Feynman Diagramme sind viel leichter, nachzugehen, als altmodische Begriffe, weil der altmodische Weg die Partikel und Antiteilchen-Beiträge als getrennt behandelt. Jedes Feynman Diagramm ist die Summe von exponential vielen altmodischen Begriffen, weil jede innere Linie entweder eine Partikel oder ein Antiteilchen getrennt vertreten kann. In einer nichtrelativistischen Theorie gibt es keine Antiteilchen, und es gibt keine Verdoppelung, so schließt jedes Diagramm von Feynman nur einen Begriff ein.

Feynman hat eine Vorschrift gegeben, für den Umfang für jedes gegebene Diagramm aus einer Feldtheorie Lagrangian - die Regeln von Feynman zu berechnen. Jede innere Linie entspricht einem Faktor des Verbreiters der entsprechenden virtuellen Partikel; jeder Scheitelpunkt, wo sich Linien treffen, gibt einen Faktor ist auf einen Wechselwirkungsbegriff in Lagrangian zurückzuführen gewesen, und eingehende und ausgehende Linien tragen eine Energie, Schwung und Drehung.

Zusätzlich zu ihrem Wert als ein mathematisches Werkzeug gewähren Diagramme von Feynman tief physischen Einblick in die Natur von Partikel-Wechselwirkungen. Partikeln wirken auf jede verfügbare Weise aufeinander; tatsächlich wird virtuellen Zwischenpartikeln erlaubt, sich schneller fortzupflanzen, als Licht. Die Wahrscheinlichkeit jedes Endstaates wird dann durch das Summieren über alle diese Möglichkeiten erhalten. Das wird an die funktionelle integrierte Formulierung der Quant-Mechanik nah gebunden, auch erfunden davon Sieh Pfad integrierte Formulierung.

Die naive Anwendung solcher Berechnungen erzeugt häufig Diagramme, deren Umfänge unendlich sind, weil die Partikel-Wechselwirkungen der kurzen Entfernung ein sorgfältiges Begrenzungsverfahren verlangen, um Partikel-Selbstwechselwirkungen einzuschließen. Die Technik der Wiedernormalisierung, die von Ernst Stueckelberg und Hans Bethe angedeutet ist und von Dyson, Feynman, Schwinger und Tomonaga durchgeführt ist, ersetzt diese Wirkung und beseitigt die lästige Unendlichkeit. Nach der Wiedernormalisierung das Berechnungsverwenden vergleichen Diagramme von Feynman experimentelle Ergebnisse mit der sehr hohen Genauigkeit.

Diagramm von Feynman und Pfad integrierte Methoden werden auch in der statistischen Mechanik verwendet.

Alternative Namen

Murray Gell-Mann hat immer Diagramme von Feynman als Diagramme von Stueckelberg, nach einem schweizerischen Physiker, Ernst Stueckelberg gekennzeichnet, der eine ähnliche Notation viele Jahre früher ausgedacht hat. Stueckelberg wurde durch das Bedürfnis nach einem offenbar kovarianten Formalismus für die Quant-Feldtheorie motiviert, aber hat wie automatisiert, keine Weise zur Verfügung gestellt, Symmetrie-Faktoren und Schleifen zu behandeln, obwohl er erst war, um die richtige physische Interpretation in Bezug auf den fortgeschrittenen und das rückwärts gerichtete in Zeitpartikel-Pfaden, allen ohne das mit dem Pfad integrierte zu finden. Historisch wurden sie manchmal Diagramme von Feynman-Dyson oder Graphen von Dyson genannt, weil, als sie eingeführt wurden, der integrierte Pfad die Abstammung des fremden und Freeman Dysons aus der altmodischen Unruhe-Theorie war, war leichter, für in früheren Methoden erzogene Physiker zu folgen. Jedoch 2006 hat Dyson selbst bestätigt, dass die Diagramme Diagramme von Feynman genannt werden sollten, weil "er uns unterrichtet hat, wie man sie verwendet".

Darstellung der physischen Wirklichkeit

In ihren Präsentationen von grundsätzlichen Wechselwirkungen, die von der Partikel-Physik-Perspektive geschrieben sind, hat Gerard 't Hooft und Martinus Veltman gute Argumente dafür gegeben, die ursprünglichen, nichtnormalisierten Diagramme von Feynman als die am meisten kurz gefasste Darstellung unseres gegenwärtigen Standes der Erkenntnisse über die Physik des Quant-Zerstreuens von grundsätzlichen Partikeln zu nehmen. Ihre Motivationen sind mit den Überzeugungen von James Daniel Bjorken und Sidney Drell im Einklang stehend: "Die Feynman Graphen und Regeln der Berechnung fassen Quant-Feldtheorie in einer Form im nahen Kontakt mit den experimentellen Zahlen zusammen, die man verstehen will. Obwohl die Behauptung der Theorie in Bezug auf Graphen Unruhe-Theorie einbeziehen kann, zeigt der Gebrauch von grafischen Methoden im Vielkörperproblem, dass dieser Formalismus flexibel genug ist, um sich mit Phänomenen von nonperturbative Charakteren zu befassen... Etwas Modifizierung der Regeln von Feynman der Berechnung kann die wohl durchdachte mathematische Struktur der lokalen kanonischen Quant-Feldtheorie gut überleben..." Bis jetzt gibt es keine gegenüberliegenden Meinungen.

In Quant-Feldtheorien werden die Diagramme von Feynman bei Lagrangian durch Feynman-Regeln erhalten.

Interpretation des Partikel-Pfads

Ein Feynman Diagramm ist eine Darstellung von Quant-Feldtheorie-Prozessen in Bezug auf Partikel-Pfade. Die Partikel-Schussbahnen werden durch die Linien des Diagramms vertreten, das schnörkelig oder, mit einem Pfeil oder ohne abhängig vom Typ der Partikel gerade sein kann. Ein Punkt, wo Linien zu anderen Linien in Verbindung stehen, ist ein Wechselwirkungsscheitelpunkt, und das ist, wo sich die Partikeln treffen und aufeinander wirken: durch das Ausstrahlen oder das Aufsaugen neuer Partikeln, die Ablenkung von einander oder das Ändern des Typs.

Es gibt drei verschiedene Typen von Linien: Innere Linien verbinden zwei Scheitelpunkte, eingehende Linien strecken sich von "der Vergangenheit" bis zu einen Scheitelpunkt aus und vertreten einen anfänglichen Staat, und aus dem Amt geschieden Linien strecken sich von einem Scheitelpunkt bis "die Zukunft" aus und vertreten den Endstaat. Manchmal ist der Boden des Diagramms die Vergangenheit und die Spitze die Zukunft; andere Zeiten ist die Vergangenheit nach links und die Zukunft nach rechts. Wenn es Korrelationsfunktionen berechnet, anstatt Umfänge zu streuen, gibt es keine Vergangenheit und Zukunft, und alle Linien sind inner. Die Partikeln beginnen dann und enden auf wenig x's, die die Positionen der Maschinenbediener vertreten, deren Korrelation berechnet wird.

Diagramme von Feynman sind eine bildliche Darstellung eines Beitrags zum Gesamtumfang für einen Prozess, der auf mehrere verschiedene Weisen geschehen kann. Wenn sich eine Gruppe von eingehenden Partikeln von einander zerstreuen soll, kann vom Prozess als derjenige gedacht werden, wohin die Partikeln über alle möglichen Pfade einschließlich Pfade reisen, die rückwärts rechtzeitig gehen.

Diagramme von Feynman sind häufig mit Raum-Zeit-Diagrammen und Luftblase-Raum-Images verwirrt, weil sie alle das Partikel-Zerstreuen beschreiben. Diagramme von Feynman sind Graphen, die die Schussbahnen von Partikeln in Zwischenstufen eines sich zerstreuenden Prozesses vertreten. Verschieden von einem Luftblase-Raum-Bild vertritt nur die Summe aller Diagramme von Feynman jede gegebene Partikel-Wechselwirkung; Partikeln wählen kein besonderes Diagramm jedes Mal, wenn sie aufeinander wirken. Das Gesetz der Summierung ist gemäß dem Grundsatz der Überlagerung---jedes Diagramm trägt einen Faktor zum Gesamtumfang für den Prozess bei.

Beschreibung

Ein Feynman Diagramm vertritt einen perturbative Beitrag zum Umfang eines Quant-Übergangs von einem anfänglichen Quant-Staat bis einen Endquant-Staat.

Zum Beispiel im Prozess der Elektronpositron-Vernichtung ist der anfängliche Staat ein Elektron und ein Positron, der Endstaat: zwei Fotonen.

Wie man

häufig annimmt, ist der anfängliche Staat am verlassenen des Diagramms und des Endstaates am Recht (obwohl andere Vereinbarung auch ganz häufig verwendet wird).

Ein Feynman Diagramm besteht aus Punkten, genannt Scheitelpunkte und den Scheitelpunkten beigefügte Linien.

Die Partikeln im anfänglichen Staat werden durch in der Richtung auf den anfänglichen Staat hervorstehende Linien gezeichnet (z.B, nach links), die Partikeln im Endstaat werden durch Linien vertreten, die in der Richtung auf den Endstaat (z.B, nach rechts) hervorstehen.

In QED gibt ihm zwei Typen von Partikeln: Elektronen/Positrone (hat fermions genannt), und Fotonen (genannt Maß bosons). Sie werden in Diagrammen von Feynman wie folgt vertreten:

1. Das Elektron im anfänglichen Staat wird durch eine durchgezogene Linie mit einem Pfeil vertreten, der zum Scheitelpunkt hinweist ( ·).
2. Das Elektron im Endstaat wird durch eine Linie mit einem Pfeil vertreten, der weg vom Scheitelpunkt hinweist: (· ).
3. Der Positron im anfänglichen Staat wird durch eine durchgezogene Linie mit einem Pfeil vertreten, der weg vom Scheitelpunkt hinweist: ( ·).
4. Der Positron im Endstaat wird durch eine Linie mit einem Pfeil vertreten, der zum Scheitelpunkt hinweist: (· ).
5. Das Foton in der Initiale und dem Endstaat wird durch eine wellige Linie vertreten (und).

In QED einem Scheitelpunkt hat immer drei ihm beigefügte Linien: eine bosonic Linie, eine fermionic Linie mit dem Pfeil zum Scheitelpunkt und eine fermionic Linie mit dem Pfeil weg vom Scheitelpunkt.

Die Scheitelpunkte könnten durch einen bosonic oder fermionic Verbreiter verbunden werden. Ein bosonic Verbreiter wird durch eine wellige Linie vertreten, die zwei Scheitelpunkte verbindet (· ~ ·). Ein fermionic Verbreiter wird durch eine durchgezogene Linie (mit einem Pfeil in einem oder einer anderen Richtung) das Anschließen von zwei Scheitelpunkten vertreten, (·  ·).

Die Zahl von Scheitelpunkten gibt die Ordnung des Begriffes in der Unruhe-Reihenentwicklung des Übergang-Umfangs.

Elektronpositron-Vernichtungsbeispiel

Die Elektronpositron-Vernichtungswechselwirkung:

hat einen Beitrag aus der zweiten Ordnung Diagramm von Feynman gezeigt angrenzend:

Im anfänglichen Staat (am Boden; frühe Zeit) es gibt ein Elektron (e) und ein Positron (e) und im Endstaat (oben; spätes Mal) es gibt zwei Fotonen (γ).

Kanonische quantization Formulierung

Perturbative S-Matrix

Der Wahrscheinlichkeitsumfang für einen Übergang eines Quant-Systems vom anfänglichen Staat bis den Endstaat wird durch das Matrixelement gegeben

:

wo die S-Matrix ist.

In der kanonischen Quant-Feldtheorie wird die S-Matrix innerhalb des Wechselwirkungsbildes durch die Unruhe-Reihe in den Mächten der Wechselwirkung Lagrangian, vertreten

:</Mathematik>

wo die Wechselwirkung Lagrangian ist und das zeitbestellte Produkt von Maschinenbedienern bedeutet.

Ein Feynman Diagramm ist eine grafische Darstellung eines Begriffes in der Vergrößerung des Dochts des zeitbestellten Produktes im-Th-Ordnungsbegriff der S-Matrix,

:

wo das normale Produkt der Maschinenbediener bedeutet und auf die mögliche Zeichen-Änderung aufpasst, wenn man die fermionic Maschinenbediener eintauscht, um sie für eine Zusammenziehung (ein Verbreiter) zusammenzubringen.

Regeln von Feynman

Die Diagramme werden gemäß den Regeln von Feynman gezogen, die von der Wechselwirkung Lagrangian abhängen. Für QED Wechselwirkung Lagrangian, die Wechselwirkung eines fermionic Feldes mit einem Bosonic-Maß-Feld beschreibend, können die Regeln von Feynman im Koordinatenraum wie folgt formuliert werden:

1. Jede Integrationskoordinate wird durch einen Punkt vertreten (manchmal hat einen Scheitelpunkt genannt);
2. Ein bosonic Verbreiter wird durch eine wackelige Linie vertreten, die zwei Punkte verbindet;
3. Ein fermionic Verbreiter wird durch eine durchgezogene Linie vertreten, die zwei Punkte verbindet;
4. Ein bosonic Feld wird durch eine wackelige dem Punkt beigefügte Linie vertreten;
5. Ein fermionic Feld wird durch eine durchgezogene Linie vertreten, die dem Punkt mit einem Pfeil zum Punkt beigefügt ist;
6. Ein fermionic Feld wird durch eine durchgezogene Linie vertreten, die dem Punkt mit einem Pfeil vom Punkt beigefügt ist;

Beispiel: Die zweite Ordnung geht in QED in einer Prozession

Der zweite Ordnungsunruhe-Begriff in der S-Matrix ist

:

Das Zerstreuen von fermions

Die Vergrößerung des Dochts des integrand gibt (unter anderen) den folgenden Begriff

wo

ist die elektromagnetische Zusammenziehung (Verbreiter) im Maß von Feynman. Dieser Begriff wird durch das Diagramm von Feynman beim Recht vertreten. Dieses Diagramm gibt Beiträge zu den folgenden Prozessen:

1. das Zerstreuen (anfänglicher Staat am richtigen, endgültigen Staat am verlassenen des Diagramms);

1. das Zerstreuen (anfänglicher Staat am verlassenen, Endstaat am Recht auf das Diagramm);

1. das Zerstreuen (anfänglicher Staat am Boden/Spitze, Endstaat an der Spitze/Boden des Diagramms).

Compton, der sich zerstreut und Vernichtung/Generation von Paaren

Ein anderer interessanter Begriff in der Vergrößerung ist

:wo:

ist die fermionic Zusammenziehung (Verbreiter).

Pfad integrierte Formulierung

In einem mit dem Pfad integrierten definiert Feld Lagrangian, das über alle möglichen Feldgeschichten integriert ist, den Wahrscheinlichkeitsumfang, um von einer Feldkonfiguration bis einen anderen zu gehen. Um Sinn zu haben, sollte die Feldtheorie einen bestimmten Boden-Staat haben, und das Integral sollte ein kleines bisschen rotieren gelassen in die imaginäre Zeit durchgeführt werden.

Das Skalarfeld Lagrangian

Ein einfaches Beispiel ist das freie relativistische Skalarfeld in D-Dimensionen, deren integrierte Handlung ist:

::

Der Wahrscheinlichkeitsumfang für einen Prozess ist:

::

wo A und B raumähnliche Hyperoberflächen sind, die die Grenzbedingungen definieren. Die Sammlung ganz auf der Starthyperoberfläche gibt den Anfangswert des Feldes, das der Startposition für eine Punkt-Partikel analog ist, und die Feldwerte an jedem Punkt der Endhyperoberfläche definieren den Endfeldwert, dem erlaubt wird, sich zu ändern, einen verschiedenen Umfang gebend, um an verschiedenen Werten zu enden. Das ist der Feld-zu-Feld-Übergang-Umfang.

Der integrierte Pfad gibt den Erwartungswert von Maschinenbedienern zwischen dem anfänglichen und endgültigen Staat:

::

und in der Grenze, dass A und B zur unendlichen Vergangenheit und der unendlichen Zukunft, der einzige Beitrag zurücktreten, dass Sachen vom Boden-Staat sind (ist das nur streng wahr, wenn das mit dem Pfad integrierte ein bisschen rotieren gelassen in die imaginäre Zeit definiert wird). Vom integrierten Pfad sollte als analog einem Wahrscheinlichkeitsvertrieb gedacht werden, und es ist günstig, es zu definieren, so dass das Multiplizieren mit einer Konstante nichts ändert:

::

Der Normalisierungsfaktor auf dem Boden wird die Teilungsfunktion nach dem Feld genannt, und es fällt mit der statistischen mechanischen Teilungsfunktion bei der Nulltemperatur, wenn rotieren gelassen, in die imaginäre Zeit zusammen.

Die Umfänge der Initiale-zu-endgültig werden schlecht-definiert, wenn man an die Kontinuum-Grenze gleich von Anfang an denkt, weil die Schwankungen im Feld unbegrenzt werden können. So sollte als das mit dem Pfad integrierte auf einem getrennten Quadratgitter mit dem Gitter-Abstand gedacht werden und die Grenze sorgfältig genommen werden sollte. Wenn die Endresultate von der Gestalt des Gitters oder dem Wert von a nicht abhängen, dann besteht die Kontinuum-Grenze.

Auf einem Gitter...

Auf einem Gitter, (i), kann das Feld in Weisen von Fourier ausgebreitet werden:

::

\phi (x) = \int {dk\over (2\pi) ^d} \phi (k) e^ {ik\cdot x} = \int_k \phi (k) e^ {ikx }\\.

</Mathematik>

Hier ist das Integrationsgebiet über auf einen Würfel der Seitenlänge eingeschränkten k, so dass großen Werten von k nicht erlaubt wird. Es ist wichtig zu bemerken, dass das K-Maß die Faktoren von Fourier enthält, verwandelt sich, das ist die beste Standardtagung für K-Integrale in QFT. Das Gitter bedeutet, dass Schwankungen an großem k nicht erlaubt wird, sofort beizutragen, fangen sie nur an, in der Grenze beizutragen. Manchmal, statt eines Gitters, werden die Feldweisen gerade an hohen Werten von k stattdessen abgeschnitten.

Es ist auch von Zeit zu Zeit günstig zu denken, dass das Raum-Zeit-Volumen begrenzt ist, so dass die k Weisen auch ein Gitter sind. Das ist ausschließlich so nicht notwendig wie die Raumgitter-Grenze, weil Wechselwirkungen in k nicht lokalisiert werden, aber es ist günstig, um die Faktoren vor den K-Integralen und den Schwung erhaltenden Delta-Funktionen nachzugehen, die entstehen werden.

Auf einem Gitter, (ii), muss die Handlung discretized sein:

::

wo

In Bezug auf das Gitter Weisen von Fourier kann die Handlung geschrieben werden:

::

S = \int_k ((1-\cos (k_1)) + (1-\cos (k_2)) +... + (1-\cos (k_d))) \phi^ * _ k \phi^k \.

</Mathematik>

Für k in der Nähe von der Null ist das:

::

S = \int_k {1\over 2} k^2 | \phi (k) | ^2 \.

</Mathematik>

Jetzt haben wir das Kontinuum, das Fourier von der ursprünglichen Handlung umgestaltet. Im begrenzten Volumen ist die Menge nicht unendlich klein, aber wird das Volumen eines gemachten Kastens durch das Grenzen an Weisen von Fourier, oder.

Das Feld ist reellwertig, so verwandelt sich der Fourier, folgt:

::

In Bezug auf echte und imaginäre Teile ist der echte Teil dessen sogar Funktion von k, während der imaginäre Teil seltsam ist. Der Fourier verwandelt sich vermeidet doppeltes Zählen, so dass es geschrieben werden kann:

::

über ein Integrationsgebiet, das über jedes Paar (k,-k) genau einmal integriert.

Für ein kompliziertes Skalarfeld mit der Handlung

::

der Fourier verwandelt sich ist zwanglos:

::

und das Integral ist über den ganzen k.

Die Integrierung über alle verschiedenen Werte dessen ist zur Integrierung über alle Weisen von Fourier gleichwertig, weil sich Einnahme eines Fouriers verwandelt, ist eine einheitliche geradlinige Transformation von Feldkoordinaten. Wenn Sie Koordinaten in einem mehrdimensionalen Integral durch eine geradlinige Transformation ändern, wird der Wert des neuen Integrals durch die Determinante der Transformationsmatrix gegeben. Wenn

::dann::

\det (A) \int dx_1 dx_2... dx_n = \int dy_1 dy_2... dy_n \.

</Mathematik>

Wenn A eine Folge, dann ist

::

A^T = ICH

\</Mathematik>

so dass, und das Zeichen abhängt, ob die Folge ein Nachdenken einschließt oder nicht.

Die Matrix, die Koordinaten von dazu ändert, kann von aus der Definition eines Fouriers gelesen werden verwandeln sich.

::

und der Inversionslehrsatz von Fourier erzählt Ihnen das Gegenteil:

::

der der Komplex verbunden ist - stellen bis zu Faktoren dessen um. Auf einem begrenzten Volumen-Gitter ist die Determinante Nichtnull und unabhängig der Feldwerte.

::

und der integrierte Pfad ist ein getrennter Faktor an jedem Wert von k.

::

\exp \biggl ({ich \over 2} \sum_k k^2 \phi^ * (k) \phi (k) \biggr) D\phi = \prod_k \int_ {\\phi_k} e^