In der Geometrie ist ein Hyperwürfel eine n-dimensional Entsprechung eines Quadrats (n = 2) und ein Würfel (n = 3). Es ist eine geschlossene, kompakte, konvexe Zahl, deren 1 Skelett aus Gruppen von entgegengesetzten parallelen Liniensegmenten besteht, die in jeder der Dimensionen des Raums, Senkrechte zu einander und derselben Länge ausgerichtet sind. Eine längste Diagonale eines Hyperwürfels der Einheit in N-Dimensionen ist dem gleich.

Ein n-dimensional Hyperwürfel wird auch einen N-Würfel genannt. Der Begriff "Maß-polytope" wird auch namentlich in der Arbeit von H.S.M. Coxeter gebraucht (ursprünglich von Elte, 1912), aber es ist jetzt ersetzt worden.

Der Hyperwürfel ist der spezielle Fall eines Hyperrechtecks (auch hat einen orthotope genannt).

Ein Einheitshyperwürfel ist ein Hyperwürfel, dessen Seite Länge eine Einheit hat. Häufig wird der Hyperwürfel, dessen Ecken (oder Scheitelpunkte) die 2 Punkte in R mit Koordinaten sind, die 0 oder 1 gleich sind, "den" Einheitshyperwürfel genannt.

Aufbau

:0 - Ein Punkt ist ein Hyperwürfel der Dimensionsnull.

:1 - Wenn man diesen Punkt eine Einheitslänge bewegt, wird er ein Liniensegment kehren, das ein Einheitshyperwürfel der Dimension ein ist.

:2 - Wenn man sich bewegt, diese Linie segmentieren seine Länge in einer rechtwinkligen Richtung von sich; es kehrt ein 2-dimensionales Quadrat.

:3 - Wenn man die eine Quadrateinheitslänge in der Richtungssenkrechte zum Flugzeug bewegt, liegt es darauf, es wird einen 3-dimensionalen Würfel erzeugen.

:4 - Wenn man den Würfel eine Einheitslänge in die vierte Dimension bewegt, erzeugt es einen 4-dimensionalen Einheitshyperwürfel (eine Einheit tesseract).

Das kann zu jeder Zahl von Dimensionen verallgemeinert werden. Dieser Prozess des Fegens von Volumina kann mathematisch als eine Summe von Minkowski formalisiert werden: Der d-dimensional Hyperwürfel ist die Summe von Minkowski von d gegenseitig rechtwinkligen Einheitslänge-Liniensegmenten, und ist deshalb ein Beispiel eines zonotope.

Das 1 Skelett eines Hyperwürfels ist ein Hyperwürfel-Graph.

Koordinaten

Ein Einheitshyperwürfel von n Dimensionen ist der konvexe Rumpf der durch alle Zeichen-Versetzungen der Kartesianischen Koordinaten gegebenen Punkte. Es hat eine Rand-Länge 1 und ein n-dimensional Volumen 1.

Ein n-dimensional Hyperwürfel wird auch häufig als der konvexe Rumpf aller Zeichen-Versetzungen der Koordinaten betrachtet. Diese Form wird häufig wegen der Bequemlichkeit gewählt, die Koordinaten auszuschreiben. Seine Rand-Länge ist 2, und sein n-dimensional Volumen ist 2.

Verwandte Familien von polytopes

Die Hyperwürfel sind eine der wenigen Familien von regelmäßigen polytopes, die in jeder Zahl von Dimensionen vertreten werden.

Die Hyperwürfel-(Ausgleich)-Familie ist eine von drei regelmäßigen polytope Familien, die von Coxeter als γ etikettiert sind. Die anderen zwei sind der Hyperwürfel Doppelfamilie, das Quer-Polytopes, etikettiert als β, und der simplices, etikettiert als α. Eine vierte Familie, der unendliche tessellations von Hyperwürfeln, hat er als δ etikettiert.

Eine andere verwandte Familie von halbregelmäßigem und gleichförmigem polytopes ist die demihypercubes, die von Hyperwürfeln mit abwechselnden Scheitelpunkten gebaut werden, die gelöschte und in den Lücken hinzugefügte Simplexseiten, als hγ etikettiert haben.

Elemente

Ein Hyperwürfel der Dimension n hat 2n "Seiten" (eine 1-dimensionale Linie hat 2 Endpunkte; ein 2-dimensionales Quadrat hat 4 Seiten oder Ränder; ein 3-dimensionaler Würfel hat 6 2-dimensionale Gesichter; ein 4-dimensionaler tesseract hat 8 Zellen). Die Zahl von Scheitelpunkten (Punkte) eines Hyperwürfels ist 2 (ein Würfel hat 2 Scheitelpunkte, zum Beispiel).

Eine einfache Formel, um die Zahl von "n-2" zu berechnen - liegt in einem n-dimensional Hyperwürfel ist:

Die Zahl der M dimensionale Hyperwürfel (gerade gekennzeichnet als M Würfel von hier auf) an der Grenze eines N-Würfels ist

: wo und n! zeigt den factorial von n an.

Zum Beispiel enthält die Grenze eines 4-Würfel-(n=4) 8 Würfel (3 Würfel), 24 Quadrate (2 Würfel), 32 Linien (1 Würfel) und 16 Scheitelpunkte (0 Würfel).

Diese Identität kann durch kombinatorische Argumente bewiesen werden; jeder der Scheitelpunkte definiert einen Scheitelpunkt in

a - dimensionale Grenze. Es gibt Weisen zu wählen, welche Linien ("Seiten"), der den Subraum definiert, in dem die Grenze ist. Aber jede Seite ist aufgezählte Zeiten, da sie das viele Scheitelpunkte hat, müssen wir uns mit dieser Zahl teilen. Folglich die Identität oben.

Diese Zahlen können auch durch die geradlinige Wiederauftreten-Beziehung erzeugt werden

: mit, und unbestimmte Elemente = 0.

Zum Beispiel fügt das Verlängern eines Quadrats über seine 4 Scheitelpunkte eine Extralinie (Rand) pro Scheitelpunkt hinzu, und fügt auch das zweite Endquadrat hinzu, um einen Würfel zu bilden, = 12 Linien insgesamt gebend.

Graphen

Ein N-Würfel kann innerhalb eines regelmäßigen 2n-gonal Vielecks durch ein Verdrehen orthogonalen Vorsprungs, gezeigt hier vom Liniensegment bis den 12-Würfel-geplant werden.

Beziehung zu n-simplices

Der Graph der Ränder des N-Hyperwürfels ist zum Diagramm von Hasse (n-1) - das Gesichtsgitter des Simplexes isomorph. Das kann durch die Ortsbestimmung des N-Hyperwürfels gesehen werden, so dass zwei entgegengesetzte Scheitelpunkte vertikal, entsprechend (n-1) - Simplex selbst und der ungültige polytope beziehungsweise liegen. Jeder Scheitelpunkt, der mit dem Spitzenscheitelpunkt dann einzigartig verbunden ist, stellt zu einem (n-1) - die Seiten des Simplexes (n-2 Gesichter), und jeder Scheitelpunkt kartografisch dar, der mit jenen Scheitelpunkt-Karten zu einem der N-3-Gesichter des Simplexes, und so weiter, und den Scheitelpunkten verbunden ist, die mit der untersten Scheitelpunkt-Karte zu den Scheitelpunkten des Simplexes verbunden sind.

Diese Beziehung kann verwendet werden, um das Gesichtsgitter (n-1) - Simplex effizient zu erzeugen, da auf allgemeinen polytopes anwendbare Gesichtsgitter-Enumerationsalgorithmen mehr rechenbetont teuer sind.

Siehe auch

• Gruppe von Hyperoctahedral, die Symmetrie-Gruppe des Hyperwürfels
• Hyperbereich
• Simplex
• Hyperwürfel-Verbindungsnetz der Computerarchitektur

Zeichen

• p. 296, Tabelle I (iii): Regelmäßiger Polytopes, drei regelmäßige polytopes in n Dimensionen (n  5)

• Vgl wird Kapitel 7.1" Kubische Darstellung von Boolean-Funktionen", worin der Begriff "des Hyperwürfels" als ein Mittel eingeführt wird, eine Entfernung 1 Code (Grauer Code) als die Scheitelpunkte eines Hyperwürfels, und dann des Hyperwürfels mit seinen so etikettierten Scheitelpunkten zu demonstrieren, in zwei Dimensionen zerquetscht, um entweder ein Diagramm von Veitch oder Karte von Karnaugh zu bilden.

Außenverbindungen

• www.4d-screen.de (Folge 4D - 7D-Würfel)

• Einen Hyperwürfel durch Enrique Zeleny, Wolfram-Demonstrationsprojekt rotieren lassend.
• Stereoskopischer belebter Hyperwürfel