In der Mathematik sind Kettenkomplex und cochain Komplex im Feld der algebraischen Topologie ursprünglich verwendete Konstruktionen. Sie sind algebraische Mittel, die Beziehungen zwischen den Zyklen und Grenzen in verschiedenen Dimensionen eines topologischen Raums zu vertreten. Mehr allgemein, homological Algebra schließt die Studie von Kettenkomplexen im Auszug ohne jede Verweisung auf einen zu Grunde liegenden Raum ein. In diesem Fall werden Kettenkomplexe axiomatisch als algebraische Strukturen studiert.

Anwendungen von Kettenkomplexen definieren gewöhnlich und wenden ihre Homologie-Gruppen (cohomology Gruppen für cochain Komplexe) an; in abstrakteren Einstellungen werden verschiedene Gleichwertigkeitsbeziehungen auf Komplexe angewandt (zum Beispiel mit der Kette homotopy Idee anfangend). Kettenkomplexe werden in abelian Kategorien auch leicht definiert.

Formelle Definition

Ein Kettenkomplex ist eine Folge von abelian Gruppen oder Modulen... A, A, A, A, A... verbunden durch den Homomorphismus (genannt Grenzmaschinenbediener) d: AA, solch, dass die Zusammensetzung irgendwelcher zwei Konsekutivkarten Null ist: d  d = 0 für den ganzen n. Sie werden gewöhnlich als ausgeschrieben:

::

A_ {n+1} \xrightarrow {d_ {n+1}} A_n \xrightarrow {d_n} A_ {n-1} \xrightarrow {d_ {n-1}} A_ {n-2} \to

\cdots \xrightarrow {d_2} A_1 \xrightarrow {d_1 }\

A_0 \xrightarrow {d_0} A_ {-1} \xrightarrow {d_ {-1}} A_ {-2} \xrightarrow {d_ {-2}}

\cdots

</Mathematik>

Eine Variante auf dem Konzept des Kettenkomplexes ist die des cochain Komplexes. Ein cochain Komplex ist eine Folge von abelian Gruppen oder Modulen...... verbunden durch den solchen Homomorphismus, dass die Zusammensetzung irgendwelcher zwei Konsekutivkarten Null ist: für den ganzen n:

::

\cdots \to

A^ {-2} \xrightarrow {d^ {-2} }\

A^ {-1} \xrightarrow {d^ {-1} }\

A^0 \xrightarrow {d^0 }\

A^1 \xrightarrow {d^1 }\

A^2 \to \cdots \to

A^ {n-1} \xrightarrow {D^ {n-1} }\

A^n \xrightarrow {d^n }\

A^ {n+1} \to \cdots. </math>

Der Index entweder in oder wird den Grad (oder Dimension) genannt. Der einzige Unterschied in den Definitionen der Kette und cochain Komplexe ist, dass, in Kettenkomplexen, die Grenzmaschinenbediener Dimension vermindern, wohingegen in cochain Komplexen sie Dimension vergrößern.

Ein begrenzter Kettenkomplex ist derjenige, in dem fast alle A 0 sind; d. h. ein begrenzter Komplex hat sich nach links und direkt durch 0's ausgestreckt. Ein Beispiel ist der Komplex, der die Homologie-Theorie eines (begrenzten) simplicial Komplexes definiert. Ein Kettenkomplex wird oben begrenzt, wenn alle Grade über etwas festem Grad N 0 sind, und unten begrenzt wird, wenn alle Grade unter etwas festem Grad 0 sind. Klar wird ein Komplex oben und unten begrenzt, wenn, und nur wenn der Komplex begrenzt wird.

Die Indizes auslassend, kann von der grundlegenden Beziehung auf d als gedacht werden

::

Die Elemente der individuellen Gruppen eines Kettenkomplexes werden Ketten genannt (oder cochains im Fall von einem cochain Komplex.) Das Image von d ist die Gruppe von Grenzen, oder in einem cochain Komplex, coboundaries. Der Kern von d (d. h., die Untergruppe, die an 0 durch d gesandt ist), ist die Gruppe von Zyklen, oder im Fall von einem cochain Komplex, cocycles. Von der grundlegenden Beziehung liegen die (co) Grenzen innerhalb der (co) Zyklen. Dieses Phänomen wird in einer systematischen Weise studiert (co) Homologie-Gruppen zu verwenden.

Beispiele

Einzigartige Homologie

Nehmen Sie an, dass uns ein topologischer Raum X gegeben wird.

Definieren Sie C (X) für natürlichen n, um die freie abelian Gruppe zu sein, die formell durch einzigartigen n-simplices in X erzeugt ist, und die Grenzkarte zu definieren

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(\partial_n \sigma = \sum_ {i=0} ^n (-1) ^i \sigma ([v_0, \ldots, \hat v_i, \ldots, v_n]), </Mathematik>

wo der Hut die Weglassung eines Scheitelpunkts anzeigt. D. h. die Grenze eines einzigartigen Simplexes lässt Summe von Beschränkungen zu seinen Gesichtern abwechseln. Ihm kann  ² = 0 gezeigt werden, so ist ein Kettenkomplex; die einzigartige Homologie ist die Homologie dieses Komplexes; d. h.

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de Rham cohomology

Die DifferenzialK-Formen auf jeder glatten mannigfaltigen M Form eine abelian Gruppe (tatsächlich ein R-Vektorraum) haben Ω (M) unter der Hinzufügung genannt.

Die Außenableitung d stellt Ω (M) zu Ω (M) kartografisch dar, und d = 0 folgt im Wesentlichen von der Symmetrie der zweiten Ableitungen, so sind die Vektorräume von K-Formen zusammen mit der Außenableitung ein cochain Komplex:

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Die Homologie dieses Komplexes ist der de Rham cohomology

: {Lokal unveränderliche Funktionen auf der M mit Werten in F}

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Kettenkarten

Eine Kettenkarte f zwischen zwei Kettenkomplexen und ist eine Folge des Modul-Homomorphismus für jeden n, der mit den Grenzmaschinenbedienern auf den zwei Kettenkomplexen pendelt:. Solch eine Karte sendet Zyklen an Zyklen und Grenzen zu Grenzen, und steigt so zu einer Karte auf homology: hinunter.

Eine dauernde Karte von topologischen Räumen veranlasst Kettenkarten sowohl im einzigartigen als auch in den Kettenkomplexen von de Rham, die oben beschrieben sind (und im Allgemeinen für den Kettenkomplex, der jede Homologie-Theorie von topologischen Räumen definiert), und so veranlasst eine dauernde Karte eine Karte auf der Homologie. Weil die auf einer Zusammensetzung von Karten veranlasste Karte die Zusammensetzung der veranlassten Karten ist, sind diese Homologie-Theorien functors von der Kategorie von topologischen Räumen mit dauernden Karten zur Kategorie von abelian Gruppen mit dem Gruppenhomomorphismus.

Es lohnt sich zu bemerken, dass das Konzept der Kettenkarte zu derjenigen der Grenze durch den Aufbau des Kegels einer Kettenkarte abnimmt.

Kette homotopy

Kette homotopies gibt eine wichtige Gleichwertigkeitsbeziehung zwischen Kettenkarten. Kette homotopic Kettenkarten veranlasst dieselben Karten auf Homologie-Gruppen. Ein besonderer Fall ist, dass Homotopic-Karten zwischen zwei Räumen X und Y dieselben Karten von der Homologie X zur Homologie von Y veranlassen. Kette homotopies hat eine geometrische Interpretation; es, wird zum Beispiel, im Buch von Bott und Tu beschrieben. Sieh Homotopy Kategorie von Kettenkomplexen für die weitere Information.

Siehe auch

• Homologie
• Differenzial hat Algebra sortiert