In der Prädikat-Logik formalisiert universale Quantifizierung den Begriff, dass etwas (ein logisches Prädikat) für alles oder jedes relevante Ding wahr ist.

Die resultierende Behauptung ist eine allgemein gemessene Behauptung, und wir haben über das Prädikat allgemein gemessen.

In der symbolischen Logik ist der universale quantifier (normalerweise, ein gedrehter A) das Symbol, das verwendet ist, um universale Quantifizierung anzuzeigen, und wird häufig als "gegeben irgendwelcher" oder "für alle" informell gelesen. Universale Quantifizierung ist von der existenziellen Quantifizierung verschieden ("dort besteht"), der behauptet, dass das Eigentum oder die Beziehung für mindestens ein Mitglied des Gebiets halten.

Quantifizierung wird im Allgemeinen im Artikel über die Quantifizierung bedeckt. Symbole werden verschlüsselt.

Grundlagen

Nehmen Sie an, dass es vorausgesetzt, dass ist

Das würde scheinen, eine logische Verbindung wegen des wiederholten Gebrauches zu sein, "und". Jedoch, "usw.". kann als eine Verbindung in der formalen Logik nicht interpretiert werden. Statt dessen muss die Behauptung umformuliert werden:

Das ist eine einzelne Behauptung mit der universalen Quantifizierung.

Wie man

sagen kann, ist diese Behauptung genauer als die ursprüngliche. Während "usw.". informell schließt natürliche Zahlen und nichts mehr ein, das wurde nicht streng gegeben. In der universalen Quantifizierung, andererseits, werden die natürlichen Zahlen ausführlich erwähnt.

Dieses besondere Beispiel ist wahr, weil gegen jede natürliche Zahl n und die Behauptung "2 ausgewechselt werden konnte · n = n + n" würde wahr sein. Im Gegensatz,

ist

weil falsch, wenn n mit, zum Beispiel, 1, die Behauptung "2 eingesetzt wird · 1> 2 + 1" ist falsch. Es ist dass "2 immateriell · n> 2 + n" ist für am meisten natürliche Zahlen n wahr: Sogar die Existenz eines einzelnen Gegenbeispiels ist genug, um die universale falsche Quantifizierung zu beweisen.

Andererseits,

für alle zerlegbaren Nummern n, 2 · n> 2 + n

ist

wahr, weil keines der Gegenbeispiele zerlegbare Zahlen ist. Das zeigt die Wichtigkeit vom Gebiet des Gesprächs an, das angibt, den Werte n nehmen können. Insbesondere bemerken Sie dass, wenn das Gebiet des Gesprächs eingeschränkt wird, um nur aus jenen Gegenständen zu bestehen, die ein bestimmtes Prädikat dann für die universale Quantifizierung befriedigen, verlangt das einen logischen bedingten. Zum Beispiel,

ist

zu logisch gleichwertig

Hier, "wenn... dann" Aufbau das logische bedingte anzeigt.

Notation

In der symbolischen Logik wird das universale quantifier Symbol (ein umgekehrter in einer Ohne-Serife-Schriftart, Unicode 0x2200) verwendet, um universale Quantifizierung anzuzeigen.

Zum Beispiel, wenn P (n) das Prädikat "2 ist · n> 2 + n" und N ist der Satz von natürlichen Zahlen dann:

:

ist die (falsche) Behauptung:

Ähnlich, wenn Q (n) das Prädikat "n ist, ist", dann zerlegbar

:

ist die (wahre) Behauptung:

und seitdem "n ist zerlegbar" deutet an, dass n bereits eine natürliche Zahl sein muss, können wir diese Behauptung zur Entsprechung verkürzen:

:

Mehrere Schwankungen in der Notation für die Quantifizierung (die für alle Formen gelten) können im Quantifizierungsartikel gefunden werden. Es gibt eine spezielle Notation verwendet nur für die universale Quantifizierung, die gegeben wird:

:

Die Parenthesen zeigen universale Quantifizierung standardmäßig an.

Eigenschaften

Ablehnung

Bemerken Sie, dass eine gemessene Aussagefunktion eine Behauptung ist; so, wie Behauptungen, können gemessene Funktionen verneint werden. Die Notation, die die meisten Mathematiker und Logiker verwerten, um Ablehnung anzuzeigen, ist:. Jedoch verwenden einige (wie Douglas Hofstadter) die Tilde (~).

Zum Beispiel, wenn P (x) die Aussagefunktion "x ist, ist", dann, für ein Weltall des Gesprächs X aller lebenden Menschen, die universale Quantifizierung verheiratet

wird gegeben:

:

Es kann gesehen werden, dass das unwiderruflich falsch ist. Ehrlich wird es das festgesetzt

oder, symbolisch:

:.

Wenn die Behauptung für jedes Element des Weltalls des Gesprächs nicht wahr ist, dann, das Weltall des Gesprächs wagend, ist nichtleer, es muss mindestens ein Element geben, für das die Behauptung falsch ist. D. h. die Ablehnung dessen ist zu logisch gleichwertig "Dort besteht eine lebende Person x solch, dass er nicht verheiratet ist", oder:

:

Allgemein, dann, ist die Ablehnung einer universalen Quantifizierung einer Aussagefunktion eine existenzielle Quantifizierung der Ablehnung dieser Aussagefunktion; symbolisch,

:

Es ist falsch, um festzustellen, dass "alle Personen" nicht verheiratet sind (d. h. "dort keine Person besteht, die" verheiratet ist), wenn es gemeint wird, dass "nicht alle Personen" verheiratet sind (d. h. "dort eine Person besteht, die" nicht verheiratet ist):

:

Andere Bindewörter

Das universale (und existenziell) quantifier Bewegungen, die über die logischen Bindewörter , , , und so lange der andere operand unverändert sind, wird nicht betroffen; das ist:

::::::::

Umgekehrt, für die logischen Bindewörter , , und , der quantifiers Flip:

::::::::

Regeln der Schlussfolgerung

Eine Regel der Schlussfolgerung ist eine Regel, die einen logischen Schritt von der Hypothese bis Beschluss rechtfertigt. Es gibt mehrere Regeln der Schlussfolgerung, die den universalen quantifier verwerten.

Universaler instantiation beschließt, dass, wenn, wie man bekannt, die Aussagefunktion allgemein wahr ist, dann muss es für jedes willkürliche Element des Weltalls des Gesprächs wahr sein. Symbolisch wird das als vertreten

:

wo c ein völlig willkürliches Element des Weltalls des Gesprächs ist.

Universale Generalisation beschließt, dass die Aussagefunktion allgemein wahr sein muss, wenn es für ein willkürliches Element des Weltalls des Gesprächs wahr ist. Symbolisch, für einen willkürlichen c,

:

Das Element c muss völlig willkürlich sein; sonst folgt die Logik nicht: Wenn c nicht willkürlich ist, und stattdessen ein spezifisches Element des Weltalls des Gesprächs ist, dann bezieht P (c) nur eine existenzielle Quantifizierung der Aussagefunktion ein.

Der leere Satz

Durch die Tagung ist die Formel immer unabhängig von der Formel P (x) wahr; sieh ausdruckslose Wahrheit.

Universaler Verschluss

Der universale Verschluss einer Formel φ ist die Formel ohne freie erhaltene Variablen durch das Hinzufügen eines universalen quantifier für jede freie Variable in φ. Zum Beispiel, der universale Verschluss von

:

ist

:.

Siehe auch

• Existenzielle Quantifizierung
• Quantifiers
• Logik der ersten Ordnung

Zeichen

• (ch. 2)