In der Algebra setzen der vernünftige Wurzellehrsatz (oder vernünftige Wurzeltest) eine Einschränkung auf vernünftige Lösungen (oder Wurzeln) von der polynomischen Gleichung fest

:

mit Koeffizienten der ganzen Zahl.

Wenn a und Nichtnull, sind

dann jede vernünftige Lösung x,

wenn geschrieben, als ein Bruchteil x = p/q in niedrigsten Begriffen (d. h. ist der größte allgemeine Teiler von p und q 1), befriedigt

• p ist ein Faktor der ganzen Zahl des unveränderlichen Begriffes a, und
• q ist ein Faktor der ganzen Zahl des Hauptkoeffizienten a.

So kann eine Liste von möglichen vernünftigen Wurzeln der Gleichung mit der Formel abgeleitet werden.

Der vernünftige Wurzellehrsatz ist ein spezieller Fall (für einen einzelnen geradlinigen Faktor) vom Lemma von Gauss auf dem factorization von Polynomen. Der integrierte Wurzellehrsatz ist ein spezieller Fall des vernünftigen Wurzellehrsatzes wenn der Hauptkoeffizient = 1.

Beweise

Ein elementarer Beweis

Lassen Sie P (x) = Axt + Axt +... + Axt + für einen a..., ein  Z, und nehmen Sie P (p/q) = 0 für einen coprime p, q  Z an:

:

Wenn wir den unveränderlichen Begriff zur rechten Seite auswechseln und durch q multiplizieren, bekommen wir

:

Wir sehen, dass p Zeiten, denen die Menge der ganzen Zahl in Parenthesen −aq gleichkommt, so teilt p aq. Aber p ist coprime zu q und deshalb zu q, so durch (die verallgemeinerte Form) das Lemma von Euklid muss es den restlichen Faktor des Produktes teilen.

Wenn wir stattdessen den Hauptbegriff zur rechten Seite auswechseln und durch q multiplizieren, bekommen wir

:

Und aus ähnlichen Gründen können wir beschließen, dass q a teilt.

Beweis mit dem Lemma von Gauss

Sollte dort ein nichttrivialer Faktor sein, der alle Koeffizienten des Polynoms teilt, dann kann man sich durch den größten allgemeinen Teiler der Koeffizienten teilen, um ein primitives Polynom im Sinne des Lemmas von Gauss zu erhalten; das verändert den Satz von vernünftigen Wurzeln nicht und stärkt nur die Teilbarkeitsbedingungen. Dieses Lemma sagt dass wenn die polynomischen Faktoren in, dann es auch Faktoren in als ein Produkt von primitiven Polynomen. Jetzt entspricht jede vernünftige Wurzel einem Faktor des Grads 1 in des Polynoms, und sein primitiver Vertreter ist dann, annehmend, dass p und q coprime sind. Aber jedes Vielfache in dessen hat Hauptbegriff, der durch q und unveränderlichen Begriff teilbar ist, der durch p teilbar ist, der die Behauptung beweist. Dieses Argument zeigt, dass mehr allgemein jeder nicht zu vereinfachende Faktor von P Koeffizienten der ganzen Zahl, und Führung und unveränderliche Koeffizienten kann haben sollen, die die entsprechenden Koeffizienten von P teilen.

Beispiel

Zum Beispiel, jede vernünftige Lösung der Gleichung

:

muss unter den durch symbolisch angezeigten Zahlen sein

:±

der die Liste von möglichen Antworten gibt:

:

Diese Wurzelkandidaten können mit dem Schema von Horner (zum Beispiel) geprüft werden. In diesem besonderen Fall gibt es genau eine vernünftige Wurzel. Wenn ein Wurzelkandidat die Gleichung nicht befriedigt, kann sie verwendet werden, um die Liste von restlichen Kandidaten zu verkürzen. Zum Beispiel, x = 1 befriedigt die Gleichung nicht, weil die linke Seite 1 gleich ist. Das bedeutet, dass, x = 1 + vertretend, t ein Polynom in t mit dem unveränderlichen Begriff 1 nachgibt, während der Koeffizient von t dasselbe als der Koeffizient von x bleibt. Die Verwendung des vernünftigen Wurzellehrsatzes gibt so die folgenden möglichen Wurzeln für t nach:

:

Deshalb,

:

Lassen Sie Kandidaten einwurzeln, die auf beiden Listen nicht vorkommen, werden ausgeschlossen. Die Liste von vernünftigen Wurzelkandidaten ist so zu gerade x = 2 und x = 2/3 zurückgewichen.

Wenn eine Wurzel r

wird gefunden, das Schema von Horner wird auch ein Polynom des Grads n &minus nachgeben; 1, dessen Wurzeln, zusammen mit r, genau die Wurzeln des ursprünglichen Polynoms sind. Es kann auch der Fall sein, dass keiner der Kandidaten eine Lösung ist; in diesem Fall hat die Gleichung keine vernünftige Lösung. Wenn die Gleichung an einem unveränderlichen Begriff a Mangel hat, dann 0 ist eine der vernünftigen Wurzeln der Gleichung.

Siehe auch

• Die Regierung von Descartes von Zeichen
• Lehrsatz von Gauss-Lucas
• Eigenschaften von polynomischen Wurzeln
• Inhalt (Algebra)

Zeichen

• Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Grundlagen der Universitätsalgebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3. Ausgabe 1990, internationale Standardbuchnummer 0-673-38638-4, Seiten 216-221
• Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: Die historischen Wurzeln der elementaren Mathematik. Bote-Veröffentlichungen von Dover 1998, internationale Standardbuchnummer 0486255638, Seiten 116-117
• Ron Larson: Rechnung: Eine Angewandte Annäherung. Cengage das Lernen von 2007, internationale Standardbuchnummer 9780618958252, Seiten 23-24

Links

• RationalRootTheorem an PlanetMath
• Ein anderer Beweis, dass n Wurzeln von ganzen Zahlen, abgesehen von den vollkommenen n-ten Mächten durch Scott E. Brodie vernunftwidrig

sind

• Der Vernünftige Wurzeltest an purplemath.com