:Not, der mit dem zusammenhängenden Konzept der Wellengleichung verwirrt

ist

Eine Welle-Funktion oder wavefunction sind ein Wahrscheinlichkeitsumfang in der Quant-Mechanik, die den Quant-Staat einer Partikel beschreibt, und wie es sich benimmt. Gewöhnlich sind seine Werte komplexe Zahlen und für eine einzelne Partikel, es ist eine Funktion der Zeit und Raums. Die Gesetze der Quant-Mechanik (die Gleichung von Schrödinger) beschreiben, wie sich die Welle-Funktion mit der Zeit entwickelt. Die Welle-Funktion benimmt sich qualitativ wie andere Wellen, wie Wasserwellen oder Wellen auf einer Schnur, weil die Gleichung von Schrödinger mathematisch ein Typ der Wellengleichung ist. Das erklärt den Namen "Welle-Funktion", und verursacht Dualität der Welle-Partikel.

Die allgemeinsten Symbole für eine Welle-Funktion sind ψ oder Ψ (Kleinbuchstabe und Kapital psi).

Obwohl ψ eine komplexe Zahl ist, | ist ψ echt, und entspricht der Wahrscheinlichkeitsdichte, eine Partikel in einem gegebenen Platz zu einem festgelegten Zeitpunkt zu finden, wenn die Position der Partikel gemessen wird.

Die SI-Einheiten für ψ hängen vom System ab. Für eine Partikel in drei Dimensionen sind seine Einheiten M. Diese ungewöhnlichen Einheiten sind erforderlich, so dass ein Integral | ψ über ein Gebiet des dreidimensionalen Raums eine unitless Wahrscheinlichkeit ist (d. h., die Wahrscheinlichkeit, dass die Partikel in diesem Gebiet ist). Für verschiedene Zahlen von Partikeln und/oder Dimensionen können die Einheiten verschieden sein (obwohl durch die dimensionale Analyse bestimmt werden kann).

Die Welle-Funktion ist zur Quant-Mechanik absolut zentral — es macht das Thema, wie es ist. Es ist auch die Quelle der mysteriösen Folgen und philosophischen Schwierigkeiten darin, was Quant-Mechanik in der Natur, und sogar bedeutet, wie sich Natur selbst an der Atomskala und darüber hinaus — Themen benimmt, die fortsetzen, heute diskutiert zu werden.

Historischer Hintergrund

In den 1920er Jahren und 1930er Jahren gab es zwei Abteilungen (so, um zu sprechen), von theoretischen Physikern, die gleichzeitig Quant-Mechanik gegründet haben: ein für die Rechnung und ein für die geradlinige Algebra. Diejenigen, die die Techniken der Rechnung verwendet haben, haben Louis de Broglie, Erwin Schrödinger, Paul Dirac, Hermann Weyl, Oskar Klein, Walter Gordon, Douglas Hartree und Vladimir Fock eingeschlossen. Diese Hand der Quant-Mechanik ist bekannt als "Welle-Mechanik" geworden. Diejenigen, die die Methoden der geradlinigen Algebra angewandt haben, haben Werner Heisenberg, Max Born, Wolfgang Pauli und John Slater eingeschlossen. Diese andere Hand der Quant-Mechanik ist gekommen, um "Matrixmechanik" genannt zu werden. Schrödinger war derjenige, der nachher gezeigt hat, dass die zwei Annäherungen gleichwertig waren. In jedem Fall war der wavefunction am Zentrum der Aufmerksamkeit in zwei Formen, Quant-Mechanik seine Einheit gebend.

De Broglie konnte als der Gründer des Welle-Modells 1925, wegen seiner symmetrischen Beziehung zwischen Schwung und Wellenlänge betrachtet werden: die Gleichung von De Broglie. Schrödinger hat nach einer Gleichung gesucht, die diese Wellen beschreiben würde und erst war, um eine Gleichung zu bauen und zu veröffentlichen, für die die Welle-Funktion 1926, gestützt auf der klassischen Energiebewahrung befriedigt hat. Tatsächlich wird es jetzt die Gleichung von Schrödinger genannt. Jedoch war keiner, sogar Schrödinger und De Broglie, darauf klar, wie man es interpretiert. Was fungierte das bösartig?

Ungefähr 1924-27, Geboren, Heisenberg, haben Bohr und andere die Perspektive des Wahrscheinlichkeitsumfangs zur Verfügung gestellt. Das ist die Kopenhagener Interpretation der Quant-Mechanik. Es gibt viele andere Interpretationen der Quant-Mechanik, aber das wird als das wichtigste betrachtet - da Quant-Berechnungen verstanden werden können.

1927 haben Hartree und Fock den ersten Schritt in einem Versuch gemacht, die N-Körperwelle-Funktion zu lösen, und haben den Selbstkonsistenz-Zyklus entwickelt: Ein wiederholender Algorithmus, um der Lösung näher zu kommen. Jetzt ist es auch bekannt als die Hartree-Fock Methode. Die Schieferdecker-Determinante und dauerhaft (einer Matrix) war ein Teil der Methode, die vom Schieferdecker zur Verfügung gestellt ist.

Interessanterweise ist Schrödinger wirklich auf eine Gleichung gestoßen, für die die Welle-Funktion relativistische Energiebewahrung befriedigt hat, bevor er den nichtrelativistischen veröffentlicht hat, aber es führt zu unannehmbaren Folgen für diese Zeit, so hat er es verworfen. 1927 haben Klein, Gorden und Fock es auch, aber das Machen eines Schritts weiter gefunden: Verstrickt hat die elektromagnetische Wechselwirkung darin und bewiesen, dass es Lorentz-invariant war. De Broglie hat auch genau dieselbe Gleichung 1928 erreicht. Diese Wellengleichung ist jetzt meistens als die Gleichung von Klein-Gordon bekannt.

Vor 1928 hat Dirac seine Gleichung von der ersten erfolgreichen vereinigten Kombination der speziellen Relativität und Quant-Mechanik zum Elektron - die Gleichung von Dirac abgeleitet. Er hat einen ungewöhnlichen Charakter des wavefunction für diese Gleichung gefunden: Es war keine einzige komplexe Zahl, aber ein spinor. Drehung ist automatisch in die Eigenschaften des wavefunction eingetreten. Obwohl es Probleme gab, war Dirac zur Auflösung von ihnen fähig. Um dieselbe Zeit hat Weyl auch seine relativistische Gleichung gefunden, die auch spinor Lösungen hatte. Später wurden andere Wellengleichungen entwickelt: Sieh Relativistische Wellengleichungen für die weitere Information.

Mathematische Einführung

Wavefunctions als Mehrvariable fungiert - analytischer Rechnungsformalismus

Mehrvariable Rechnung und Analyse (Studie von Funktionen, Änderung usw.) können verwendet werden, um den wavefunction in mehreren Situationen zu vertreten. Oberflächlich ist dieser Formalismus einfach, aus den folgenden Gründen zu verstehen.

• Es ist mehr direkt intuitiv, um Wahrscheinlichkeitsumfänge als Funktionen der Zeit und Raums zu haben. An jeder Position und Zeitkoordinate hat der Wahrscheinlichkeitsumfang einen Wert durch die direkte Berechnung.
• Funktionen können Welle ähnliche Bewegung mit periodischen Funktionen leicht beschreiben, und Analyse von Fourier kann sogleich getan werden.
• Funktionen sind leicht, zu erzeugen, sich zu vergegenwärtigen und, wegen der bildlichen Natur des Graphen einer Funktion (d. h. Kurven, Konturen und Oberflächen) zu dolmetschen. Wenn die Situation in einer hohen Zahl von Dimensionen ist (sagen Sie 3. Raum) - es ist möglich, die Funktion in einer niedrigeren dimensionalen Scheibe zu analysieren (sagen Sie ein 2. Flugzeug), oder zeichnen Sie von Anschlägen der Funktion die Umrisse, das Verhalten des Systems innerhalb dieses beschränkten Gebiets zu bestimmen.

Obwohl diese Funktionen dauernd sind, sind sie nicht deterministisch; eher sind sie Wahrscheinlichkeitsvertrieb. Vielleicht sonderbar ist diese Annäherung nicht die allgemeinste Weise, Wahrscheinlichkeitsumfänge zu vertreten. Die fortgeschritteneren Techniken verwenden geradlinige Algebra (die Studie von Vektoren, matrices, usw.) und, mehr allgemein stille, abstrakte Algebra (algebraische Strukturen, Generalisationen von Euklidischen Räumen usw.).

Welle fungiert als ein abstrakter Vektorraum - geradliniger/abstrakter Algebra-Formalismus

Der Satz aller möglichen Welle-Funktionen bildet (zu jeder vorgegebenen Zeit) einen abstrakten mathematischen Vektorraum. Spezifisch wird die komplette Welle-Funktion als ein einzelner abstrakter Vektor behandelt:

:

wo ein in der Notation des Büstenhalters-ket geschriebener Spaltenvektor ist. Die Behauptung, dass "Welle-Funktionen einen abstrakten Vektorraum" einfach bilden, bedeutet, dass es möglich ist, zusammen verschiedene Welle-Funktionen hinzuzufügen, und Welle-Funktionen mit komplexen Zahlen zu multiplizieren (sieh Vektorraum für Details). (Technisch, wegen der Normalisierungsbedingung, bilden Welle-Funktionen einen projektiven Raum aber nicht einen gewöhnlichen Vektorraum.) Ist dieser Vektorraum unendlich-dimensional, weil es keinen begrenzten Satz von Funktionen gibt, die zusammen in verschiedenen Kombinationen hinzugefügt werden können, um jede mögliche Funktion zu schaffen. Außerdem ist es ein Raum von Hilbert, weil das Skalarprodukt von Welle-Funktionen und als definiert werden kann

:

wo * verbundenen Komplex anzeigt.

Es gibt mehrere Vorteile für das Verstehen von Welle-Funktionen als Elemente eines abstrakten Vektorraums:

• Alle starken Werkzeuge der geradlinigen Algebra können verwendet werden, um Welle-Funktionen zu manipulieren und zu verstehen. Zum Beispiel:
• Geradlinige Algebra erklärt, wie ein Vektorraum eine Basis gegeben werden kann, und dann jeder Vektor in dieser Basis ausgedrückt werden kann. Das erklärt die Beziehung zwischen einer Welle-Funktion im Positionsraum und einer Welle-Funktion im Schwung-Raum und weist darauf hin, dass es andere Möglichkeiten auch gibt.
• Notation des Büstenhalters-ket kann verwendet werden, um Welle-Funktionen zu manipulieren.
• Die Idee, dass Quant-Staaten Vektoren in einem Raum von Hilbert sind, ist in allen Aspekten der Quant-Mechanik und Quant-Feldtheorie völlig allgemein, wohingegen die Idee, dass Quant-Staaten "Welle"-Funktionen des Raums Komplex-geschätzt werden, nur in bestimmten Situationen wahr ist.

Einführung in den Vektor-Formalismus

In Anbetracht eines isolierten physischen Systems sind die erlaubten Staaten dieses Systems (d. h. die Staaten konnte das System besetzen, ohne die Gesetze der Physik zu verletzen), ein Teil eines Raums von Hilbert H. Einige Eigenschaften solch eines Raums sind

• Wenn und zwei erlaubte Staaten sind, dann ist auch ein erlaubter Staat, zur Verfügung gestellt. (Diese Bedingung ist wegen der Normalisierung, sieh unten.)
• Es gibt immer eine orthonormale Basis von erlaubten Staaten des Vektorraums H.

Physisch ist die Natur des Skalarprodukts auf der Basis im Gebrauch abhängig, weil die Basis gewählt wird, um den Quant-Staat des Systems zu widerspiegeln.

Wenn die Basis ein zählbarer Satz und orthonormal ist, der ist

:

dann kann ein willkürlicher Vektor als ausgedrückt werden

:

wo die Bestandteile die (komplizierten) Zahlen sind, ist Diese Welle-Funktion als ein getrenntes Spektrum bekannt, da die Basen getrennt sind.

Wenn die Basis ein unzählbarer Satz ist, hält die orthonormality Bedingung ähnlich

:dann kann ein willkürlicher Vektor als ausgedrückt werden:

wo die Bestandteile die Funktionen sind, ist Diese Welle-Funktion als ein dauerndes Spektrum bekannt, da die Basen dauernd sind.

Paramount zur Analyse ist das Delta von Kronecker, und die Delta-Funktion von Dirac, da die verwendeten Basen orthonormal sind. Die ausführlichere Diskussion von Welle-Funktionen als Elemente von Vektorräumen ist unten im Anschluss an weitere Definitionen.

Voraussetzungen

Der wavefunction muss die folgenden Einschränkungen für die Berechnungen und physische Interpretation befriedigen, um Sinn zu haben:

• Es muss überall begrenzt sein.
• Es muss überall eine dauernde Funktion, und unaufhörlich differentiable (mindestens bis zu allen möglichen ersten Ordnungsableitungen) sein.
• Als eine Folgeerscheinung würde die Funktion sonst einzeln geschätzt vielfache Wahrscheinlichkeiten kommen an derselben Position und Zeit, wieder unphysisch vor.
• Es muss überall die relevante Normalisierungsbedingung befriedigen, so dass die Partikel/System von Partikeln irgendwo mit 100-%-Gewissheit besteht.

Wenn diesen Anforderungen nicht entsprochen wird, ist es nicht möglich, den wavefunction als ein Wahrscheinlichkeitsumfang zu interpretieren; die Werte des wavefunction und seiner ersten Ordnungsableitungen können nicht begrenzt und (mit genau einem Wert) bestimmt sein, d. h. Wahrscheinlichkeiten können unendlich und auf irgendwelche Position und Zeit vielfach geschätzt sein - der Quatsch ist, weil es die Wahrscheinlichkeitsaxiome nicht befriedigt. Außerdem, wenn es den wavefunction verwenden wird, um ein messbares erkennbare vom Quant-System zu berechnen, ohne diesen Anforderungen zu entsprechen, wird es nicht begrenzte oder bestimmte Werte geben, um von - in diesem Fall zu rechnen, das erkennbare kann mehrere Werte nehmen und kann unendlich sein. Das ist unphysisch und nicht hat beobachtet, wenn es in einem Experiment misst. Folglich ist ein wavefunction nur bedeutungsvoll, wenn diese Bedingungen zufrieden sind.

Information über Quant-Systeme

Obwohl der wavefunction Information enthält, ist es geschätzte Menge einer komplexen Zahl; nur seine Verhältnisphase und Verhältnisumfang können gemessen werden. Es erzählt nichts über die Umfänge oder Richtungen von messbarem observables direkt. Ein Maschinenbediener zieht diese Information heraus, indem er dem wavefunction ψ folgt. Für Details und Beispiele darauf, wie Quant mechanische Maschinenbediener der Welle-Funktion, der Umwandlung von Maschinenbedienern und den Erwartungswerten von Maschinenbedienern folgt; sieh Maschinenbediener (Physik).

Definition (einzelne Drehung 0 Partikel in einer Raumdimension)

Positionsraum wavefunction

Für jetzt, ziehen Sie den einfachen Fall einer einzelnen Partikel ohne Drehung in einer Raumdimension in Betracht. (Allgemeinere Fälle werden unten besprochen). Der Staat solch einer Partikel wird durch seine Welle-Funktion völlig beschrieben:

:

wo x Position ist und t Zeit ist. Diese Funktion wird Komplex-geschätzt, bedeutend, dass das eine komplexe Zahl ist.

Wenn die Position der Partikel gemessen wird, ist seine Position nicht deterministisch, aber wird durch einen Wahrscheinlichkeitsvertrieb beschrieben. Die Wahrscheinlichkeit, dass seine Position x im Zwischenraum [a, b] sein wird (Bedeutung eines  x  b) ist:

:

wo t die Zeit ist, in der die Partikel gemessen wurde. Mit anderen Worten, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass die Partikel an x, aber nicht einer anderen Position ist.

Das führt zur Normalisierungsbedingung:

:

weil, wenn die Partikel gemessen wird, es 100-%-Wahrscheinlichkeit gibt, dass es irgendwo sein wird.

Schwung-Raum wavefunction

Die Partikel hat auch eine Welle-Funktion im Schwung-Raum:

:

wo p der Schwung in einer Dimension ist, die jeder Wert von zu sein kann, und t Zeit ist. Wenn der Schwung der Partikel gemessen wird, ist das Ergebnis nicht deterministisch, aber wird durch einen Wahrscheinlichkeitsvertrieb beschrieben:

:

analog dem Positionsfall.

Die Normalisierungsbedingung ist auch ähnlich:

:

Beziehung zwischen wavefunctions

Die mit der Position Raum- und mit dem Schwungraumwelle-Funktionen sind Fourier verwandelt sich von einander, deshalb enthalten beide dieselbe Information, und jeder allein ist genügend, um jedes Eigentum der Partikel zu berechnen. Für die eine Dimension:

:

&\\upharpoonleft \downharpoonright \\

\Psi (x, t) & = \frac {1} {\\sqrt {2\pi\hbar} }\\int\limits_ {-\infty} ^\\infty E^ {ipx/\hbar} \Phi (p, t) \mathrm {d} p.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Manchmal wird der Welle-Vektor k im Platz des Schwungs p verwendet, da sie durch die Beziehung von de Broglie verbunden sind

:

und der gleichwertige Raum wird K-Raum genannt. Wieder macht es keinen Unterschied, der verwendet wird, da p und k - bis zu einer Konstante gleichwertig sind. In der Praxis wird der Positionsraum wavefunction viel öfter verwendet als der Schwung-Raum wavefunction.

Beispiel der Normalisierung

Eine Partikel wird auf 1D Gebiet zwischen x = 0 und x = L eingeschränkt; seine Welle-Funktion ist:

:

\Psi (x, t) & = Ae^ {ich (kx-\omega t)}, & x \in [0, L] \\

\Psi (x, t) & = 0, & x \notin [0, L] \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

und ist Null anderswohin. Um die Welle zu normalisieren, fungieren wir müssen den Wert des willkürlichen unveränderlichen A finden; gelöst von

:

Von Ψ haben wir | Ψ;

:

so wird das Integral;

:

deshalb ist die Konstante;

:

Durch die normalisierte Welle-Funktion (im Gebiet) wird dann gegeben;

:

Definition (andere Fälle)

Viele spinnen 0 Partikeln in einer Raumdimension

Der vorherige wavefunction kann verallgemeinert werden, um N Partikeln in einer Dimension zu vereinigen:

:

Die Wahrscheinlichkeit, dass Partikel 1 in einem X-Zwischenraum R = [a, b] und Partikel 2 im Zwischenraum R = [a, b] usw., bis zur Partikel N im Zwischenraum R = [a, b] ist, haben alle gleichzeitig in der Zeit t gemessen, wird durch gegeben:

:

Die Normalisierungsbedingung wird:

:.

In jedem Fall gibt es N eindimensionale Integrale, ein für jede Partikel.

Eine Drehung 0 Partikel in drei Raumdimensionen

Positionsraum wavefunction

Die mit der Positionraumwelle-Funktion einer einzelnen Partikel in drei Raumdimensionen ist dem Fall einer Raumdimension oben ähnlich:

:

wo r die Position im dreidimensionalen Raum ist (r ist für (x, y, z)) kurz, und t ist Zeit. Als immer ist eine komplexe Zahl. Wenn die Position der Partikel in der Zeit t gemessen wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in Gebiet R ist:

:

(ein dreidimensionales Integral über Gebiet R, mit dem Differenzialvolumen-Element Dr, auch schriftlicher "dV" oder "dx dy dz"). Die Normalisierungsbedingung ist:

:

wo die Integrale der ganze dreidimensionale Raum (oder 3. Schwung-Raum) übernommen werden.

Schwung-Raum wavefunction

Es gibt einen entsprechenden Schwung-Raum wavefunction für drei Dimensionen auch:

:

wo p der Schwung im 3-dimensionalen Raum ist, und t Zeit ist. Dieses Mal gibt es drei Bestandteile des Schwungs, der Werte zu in jeder Richtung in Kartesianischen Koordinaten x, y, z haben kann.

Durch die Wahrscheinlichkeit, die Schwung-Bestandteile p zwischen a und b, p zwischen c und d und p zwischen e und f zu messen, wird gegeben:

:

folglich die Normalisierung:

:

analog dem Raum dp = ist dpdpdp ein Differenzial-3-Schwünge-Volumen-Element im Schwung-Raum.

Beziehung zwischen wavefunctions

Die Generalisation des vorherigen Fouriers verwandelt sich ist

:&\\upharpoonleft \downharpoonright \\

\Psi (\mathbf {r} t) & = \frac {1} ist {\\sqrt {\\(2\pi\hbar\right) ^3} }\\int\limits_ e^ {ich \mathbf {r }\\cdot \mathbf {p}/\hbar} \Phi (\mathbf {p}, t) \mathrm {d} ^3\mathbf {p} abgereist.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Viele spinnen 0 Partikeln in drei Raumdimensionen

Wenn es viele Partikeln gibt, im Allgemeinen gibt es nur eine Welle-Funktion, nicht eine getrennte Welle-Funktion für jede Partikel. Die Tatsache, dass eine Welle-Funktion viele Partikeln beschreibt, ist, was Quant-Verwicklung und das EPR Paradox möglich macht. Die mit der Positionraumwelle-Funktion für N Partikeln wird geschrieben:

:

wo r die Position der ith Partikel im dreidimensionalen Raum ist, und t Zeit ist. Wenn die Positionen der Partikeln alle gleichzeitig in der Zeit t, die Wahrscheinlichkeit gemessen werden, dass Partikel 1 in Gebiet R ist, und Partikel 2 in Gebiet R ist, und so weiter ist:

:

Die Normalisierungsbedingung ist:

:

(zusammen ist das 3N eindimensionale Integrale).

In der Quant-Mechanik gibt es eine grundsätzliche Unterscheidung zwischen identischen Partikeln und unterscheidbaren Partikeln. Zum Beispiel sind irgendwelche zwei Elektronen von einander im Wesentlichen nicht zu unterscheidend; die Gesetze der Physik machen es unmöglich, auf eine Kennnummer" auf einem bestimmten Elektron "zu stampfen, um es nachzugehen. Das übersetzt zu einer Voraussetzung an den wavefunction: Zum Beispiel, wenn Partikeln 1 und 2, dann nicht zu unterscheidend sind:

:

wo + Zeichen erforderlich ist, wenn die Partikeln bosons, und sind - ist Zeichen erforderlich, wenn sie fermions sind. Mehr genau festgesetzt:

:

wo s = Quantenzahl, spinnen

:integer für bosons:

:and-halbganze Zahl für fermions:

Wie man

sagt, ist der wavefunction (keine Zeichen-Änderung) unter dem Boson-Austausch symmetrisch und (Zeichen-Änderungen) unter dem Fermion-Austausch antisymmetrisch. Diese Eigenschaft des wavefunction ist als der Grundsatz von Pauli bekannt.

Für N aufeinander wirkende Partikeln, d. h. Partikeln, die gegenseitig aufeinander wirken und ein Vielkörpersystem einsetzen, ist der wavefunction eine Funktion aller Positionen der Partikeln und Zeit, es kann in den getrennten wavefunctions der Partikeln nicht getrennt werden. Jedoch für aufeinander nichtwirkende Partikeln, d. h. Partikeln, die gegenseitig nicht aufeinander wirken und sich unabhängig in einem zeitunabhängigen Potenzial bewegen, kann der wavefunction ins Produkt von getrenntem wavefunctions für jede Partikel getrennt werden:

:

Eine Partikel mit der Drehung in drei Dimensionen

Für eine Partikel mit der Drehung kann die Welle-Funktion im "PositionsDrehungsraum" als geschrieben werden:

:

wo r eine Position im dreidimensionalen Raum ist, ist t Zeit, und s ist die Drehungsvorsprung-Quantenzahl entlang der z Achse. (Die z Achse ist eine willkürliche Wahl; andere Äxte können stattdessen verwendet werden, wenn die Welle-Funktion passend umgestaltet wird, sieh unten.) Der s Parameter, verschieden von r und t, ist eine getrennte Variable. Zum Beispiel für spin-1/2 kann Partikel, s nur +1/2 oder-1/2 und nicht jeder andere Wert sein. (Im Allgemeinen, für die Drehung s, kann s s, s-1...,-s sein.), Wenn die Position und Drehung der Partikel gleichzeitig in der Zeit t, die Wahrscheinlichkeit gemessen werden, dass seine Position in R ist, und seine Drehungsvorsprung-Quantenzahl ist ein bestimmter Wert, der M ist:

:Die Normalisierungsbedingung ist::.

Da die Drehungsquantenzahl getrennte Werte hat, muss sie als eine Summe aber nicht ein Integral, übernommen alle möglichen Werte geschrieben werden.

Viele Partikeln mit der Drehung in drei Dimensionen

Ebenfalls der wavefunction für N Partikeln ist jeder mit der Drehung:

:

Die Wahrscheinlichkeit, dass Partikel 1 in Gebiet R mit der Drehung s = M und Partikel 2 ist, ist in Gebiet R mit der Drehung s = M liest usw. (Wahrscheinlichkeitssubschriften sind jetzt wegen ihrer großen Länge umgezogen):

:Die Normalisierungsbedingung ist::

Jetzt gibt es 3N eindimensionale von N-Summen gefolgte Integrale.

Wieder für aufeinander nichtwirkende Partikeln in einem zeitunabhängigen Potenzial ist der wavefunction das Produkt von getrenntem wavefunctions für jede Partikel:

:

Normalisierung invariance

Es ist wichtig, dass die mit der Welle-Funktion vereinigten Eigenschaften invariant unter der Normalisierung sind. Wenn die Normalisierung einer Welle-Funktion die Eigenschaften geändert hat, wird der Prozess sinnlos, weil wir noch keine Information über die mit der nichtnormalisierten Welle-Funktion vereinigte Partikel nachgeben können.

Alle Eigenschaften der Partikel, wie Schwung, Energie, Erwartungswert der Position, vereinigt Wahrscheinlichkeitsvertrieb usw., werden von der Gleichung von Schrödinger (oder andere relativistische Wellengleichungen) gelöst. Die Gleichung von Schrödinger ist eine lineare Differenzialgleichung so, wenn Ψ normalisiert wird und AΨ wird (A, ist die Normalisierung unveränderlich), dann liest die Gleichung:

:

der die ursprüngliche Gleichung von Schrödinger ist. Das heißt, ist die Gleichung von Schrödinger invariant unter der Normalisierung, und folglich vereinigte Eigenschaften sind unverändert.

Wavefunctions als Vektorräume

Wie erklärt, oben sind Quant-Staaten immer Vektoren in einem abstrakten Vektorraum (technisch, ein komplizierter projektiver Raum von Hilbert). Für die Welle-Funktionen oben hat der Raum von Hilbert gewöhnlich nicht nur unendliche Dimensionen, aber unzählbar ungeheuer viele Dimensionen. Jedoch ist geradlinige Algebra für endlich-dimensionale Vektorräume viel einfacher. Deshalb ist es nützlich, auf ein Beispiel zu schauen, wo der Raum von Hilbert von Welle-Funktionen dimensional begrenzt ist.

Basisdarstellung

Eine Welle-Funktion beschreibt den Staat eines physischen Systems, durch die Erweiterung davon in Bezug auf andere mögliche Staaten desselben Systems - insgesamt gekennzeichnet wie eine Basis oder Darstellung. Worin folgt, wie man annimmt, werden alle Welle-Funktionen normalisiert.

Ein Element eines Vektorraums kann in verschiedenen Grundelementen ausgedrückt werden; und so dasselbe für Welle-Funktionen gilt. Die Bestandteile einer Welle-Funktion, die denselben physischen Staat beschreibt, nehmen verschiedene komplizierte Werte abhängig von der Basis, die wird verwendet; jedoch, gerade wie Elemente eines Vektorraums, ist die Welle-Funktion selbst auf der gewählten Basis unabhängig. Die Auswahl eines neuen Koordinatensystems ändert den Vektoren selbst, nur die Darstellung des Vektoren in Bezug auf den neuen Koordinatenrahmen nicht, da die Bestandteile verschieden sein werden, aber die geradlinige Kombination von ihnen kommt noch dem Vektoren gleich.

Begrenzte dimensionale Basisvektoren

Um anzufangen, denken Sie die begrenzte Basisdarstellung. Eine Welle-Funktion mit n Bestandteilen beschreibt, wie man den Staat des physischen Systems als die geradlinige Kombination von n Basiselementen, (ich = 1, 2... n) ausdrückt. Der folgende ist eine Depression des verwendeten Formalismus.

Formalismus

Herkömmlicher Vektor: Ψ und herkömmliche Notation

Als ein Spaltenvektor oder Säulenmatrix:

:

Staatsvektor: Ψ und Notation des Büstenhalters-ket

Gleichwertig in der Notation des Büstenhalters-ket kann der Staat einer Partikel mit der Welle-Funktion Ψ als ein ket geschrieben werden;

:

\sum_ {ich

1\^n c_i \left | \phi_i \right \rangle

c_1 \left \phi_1 \right \rangle + c_2 \left \phi_2 \right \rangle + \cdots c_n \left \phi_n \right \rangle

\begin {bmatrix} \left \langle \phi_1 \vert \psi \right \rangle \\\vdots \\\left \langle \phi_n \vert \psi \right \rangle \end {bmatrix}

\begin {bmatrix} c_1 \\\vdots \\c_n \end {bmatrix}. </Mathematik>

Der entsprechende Büstenhalter ist der Komplex, der der umgestellten Matrix (in eine Reihe-Matrix/Zeilenvektoren) verbunden ist:

:

\langle \psi | = | \psi \rangle^ {*} & = \begin {bmatrix} \langle \phi_1 | \psi \rangle & \cdots & \langle \phi_n | \psi \rangle \end {bmatrix} ^ {*} = \begin {bmatrix} \langle \phi_1 | \psi \rangle^ {*} & \cdots & \langle \phi_n | \psi \rangle^ {*} \end {bmatrix} \\

& = \begin {bmatrix} c_1 & \cdots & c_n \end {bmatrix} ^ {*} = \begin {bmatrix} c_1^ {*} & \cdots & c_n^ {*} \end {bmatrix }\

\end {richten} {aus}

\\! </Mathematik>

Durch "den Staat einer Partikel mit wavefunction Ψ", schriftlich als, bedeutet das die Variablen, die das System in Bezug auf den wavefunction charakterisieren. Die mit einem besonderen Staat vereinigte Welle-Funktion kann als eine Vergrößerung des Staates in einer Basis dessen gesehen werden. Zum Beispiel konnte eine Basis für eine freie Partikel sein, die in einer Dimension, mit dem Schwung eigenstates ψ entsprechend der ±x Richtung reist:

:

Ein anderes Beispiel ist die Überlagerung von zwei Energie eigenstates für eine Partikel, die in einem 1-d Kasten gefangen ist (diese Staaten sind stationärer Staat):

:

Das charakteristischste Beispiel ist eine Partikel in einer Drehung oder unten Konfiguration:

:

(sieh unten für Details dieses häufigen Falls). Bemerken Sie, wie kets dem gewöhnlichen Begriff von Vektoren nicht völlig analog sind - eher sind sie Etiketten für einen Staat eines wavefunction, die auf eine ähnliche Weise verwendet werden. In allen obengenannten Beispielen ist die Partikel nicht in irgendwelchem bestimmtem oder bevorzugtem Staat, aber eher in beiden zur gleichen Zeit - folglich der Begriff Überlagerung. Die freie Partikel konnte sein haben Schwung im +x oder der-x Richtung gleichzeitig, die gefangene Partikel im 1-d Potenzial kann gut in der Energie eigenstates entsprechend eigenvalues E und E zur gleichen Zeit sein, die Partikel mit der Drehung konnte in der Drehung oder unten Orientierung in jedem Moment der Zeit sein. Dessen Verhältnischance Staat vorkommt, ist mit (Modul-Quadrate) Koeffizienten verbunden.

Die Wahl von Basisvektoren ist wichtig, weil zwei Spaltenvektoren mit denselben Bestandteilen zwei verschiedene Staaten eines Systems vertreten können, wenn ihre verbundenen Basisstaaten verschieden sind.

Um das zu illustrieren, lassen Sie haben die Basen und lassen haben Basen, d. h.

:

\begin {bmatrix} \left \langle \phi_1 \vert \psi \right \rangle \\\vdots \\\left \langle \phi_n \vert \psi \right \rangle \end {bmatrix}

\begin {bmatrix} c_1 \\\vdots \\c_n \end {bmatrix}, </Mathematik>

:

\begin {bmatrix} \left \langle \varphi_1 \vert \psi \right \rangle \\\vdots \\\left \langle \varphi_n \vert \psi \right \rangle \end {bmatrix}

\begin {bmatrix} c_1 \\\vdots \\c_n \end {bmatrix}, </Mathematik>

der einbezieht

Wenn für jeden Index i;

es folgt dann

Die orthonormality Beziehung ist:

:

Die physische Bedeutung der Bestandteile dessen wird durch das Welle-Funktionszusammenbruch-Postulat gegeben:

Wenn die Staaten verschiedene, bestimmte Werte, λ, von einigen erkennbar haben (Schwung, Position, usw.) und ein Maß dieser Variable auf einem System im Staat durchgeführt wird

:

dann ist die Wahrscheinlichkeit, λ zu messen. Wenn das Maß λ nachgibt, bleibt das System im Staat. D. h. der wavefunction bricht von zusammen zu:

:.

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Staaten muss zu 1 resümieren (sieh Normalisierung kets unten verwenden), fordernd:

:

Jeder Reihe- oder Säulenmatrixzugang entspricht einem Koeffizienten (von einem ket) in der geradlinigen Kombination. Die Gleichheit

:

kann mit der orthonormality Beziehung, nachgeprüft werden

:

der jedem Bestandteil erlaubt, einfach durch das Multiplizieren dadurch gefunden zu werden. Für den Bestandteil q (zwischen 1 und n),

:

& = c_1 \left \langle \phi_q \vert \phi_1 \right \rangle

+ c_2 \left \langle \phi_q \vert \phi_2 \right \rangle

+ \cdots + c_q \left \langle \phi_q \vert \phi_q \right \rangle

+ \cdots \left \langle \phi_q \vert c_n \phi_n \right \rangle \\

& = c_q.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Der wavefunction für die Position und den Schwung-Raum kann beziehungsweise mit der Notation des Büstenhalters-ket in einer Dimension als geschrieben werden:

::

für drei Dimensionen:

::

Alle gelesen: der Wahrscheinlichkeitsumfang einer Partikel im Staat an der Position r oder dem Schwung p (in der relevanten Zahl von Dimensionen).

Bemerken Sie, dass (sagen), ist nicht dasselbe als. Der erstere ist der Staat der Partikel, wohingegen der Letztere einfach eine Welle-Funktion ist, die beschreibt, wie man den ersteren als eine Überlagerung von Staaten mit der bestimmten Position ausdrückt.

Nehmen Sie an, dass wir einen anderen wavefunction in derselben Basis haben:

:

dann kann das Skalarprodukt als definiert werden:

:

das ist

:

Das Außenprodukt von zwei Vektoren des Büstenhalters-ket wird als definiert:

:

Die Summierung über das Skalarprodukt von ähnlichen Basen kets führt zur Verschluss-Beziehung:

:

Die Gleichheit zur Einheit deutet an, dass das ein Identitätsmaschinenbediener ist (seine Handlung auf jedem Staat verlässt es unverändert). Das kann verwendet werden, um den ket wavefunction als eine Überlagerung seiner Basisvektoren zu erhalten, die einfach durch den Staat des wavefunction multiplizieren:

:

der eine vorherige Behauptung war. Auch das Skalarprodukt kann erhalten werden:

:

Das Starten von:

::

die Einnahme des Skalarprodukts (und das Zurückrufen orthonormality):

:

& = \sum_ {k=1} ^n \left (\sum_ {j=1} ^n c_j | \phi_j \rangle \right) c_k^ {*} \langle \phi_k | = \sum_ {k=1} ^n \sum_ {j=1} ^n c_k^ {*} c_j \langle \phi_k | \phi_j \rangle \\

& = \sum_ {j=1} ^n | c_j | ^2 = \| \psi \|^2 \\

\end {richten} {sich} \, \{aus}! </Mathematik>

wo || || die Norm (Umfang) des Zustandvektoren anzeigt. Dieser Ausdruck bedeutet, dass der Vorsprung eines komplizierten Wahrscheinlichkeitsumfangs auf sich echt ist. Das Sammeln von Gleichwertigkeiten zusammen:

:

Da es ein Wahrscheinlichkeitsumfang ist, verlangt Normalisierung, dass dieses Produkt Einheit ist, weil es der Summe aller möglichen Quant-Staaten (Wahrscheinlichkeiten dieser Staaten das Auftreten) gleich ist:

:

so ist der normalisierte wavefunction in der ganzen Allgemeinheit:

:

und

:

ist die Normalisierung unveränderlich als eine geschlossene Formel, die direkte Berechnung erlaubt. Vergleichen Sie die Ähnlichkeit mit euklidischen Einheitsvektoren in der elementaren Vektor-Rechnung:

:

wo der Umfang ist

:

Die Parallelen sind identisch: Der Umfang des Vektoren, geometrisch oder abstrakt, wird auf 1 durch das Teilen durch seinen Umfang reduziert.

Ein einfacher und wichtiger Fall ist eine spin-½ Partikel, aber für dieses Beispiel ignorieren seine Raumgrade der Freiheit. Mit der Definition oben kann die Welle-Funktion jetzt ohne Positionsabhängigkeit geschrieben werden:

:

wo wieder die Drehungsquantenzahl in der Z-Richtung, entweder +1/2 oder-1/2 ist. So zu einem festgelegten Zeitpunkt t, wird durch gerade die zwei komplexen Zahlen Ψ (+ 1/2, t) und Ψ (-1/2, t) völlig charakterisiert. Für die Einfachheit werden diese häufig als Ψ (+ 1/2, t)  Ψ  Ψ und Ψ (-1/2, t)  Ψ  Ψ beziehungsweise geschrieben. Das wird noch eine "Welle-Funktion" genannt, wenn auch in dieser Situation sie keine Ähnlichkeit mit vertrauten Wellen (wie mechanische Wellen) hat, nur ein Paar von Zahlen statt einer dauernden Funktion seiend.

Mit dem obengenannten Formalismus können die zwei Zahlen, die die Welle-Funktion charakterisieren, als ein Spaltenvektor geschrieben werden:

:

wo und. Deshalb ist der Satz aller möglichen Welle-Funktionen ein zwei dimensionaler komplizierter Vektorraum. Wenn der Drehungsvorsprung der Partikel in der Z-Richtung gemessen wird, wird es Drehung (+1/2  ) mit der Wahrscheinlichkeit sein, und unten (-1/2  ) mit der Wahrscheinlichkeit spinnen.

In der Notation des Büstenhalters-ket kann das geschrieben werden:

:

& = \begin {bmatrix} c_1 \\c_2 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} \Psi_ {+} \\\Psi_ {-} \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} \left \langle \uparrow_z | \psi \right \rangle \\\left \langle \downarrow_z | \psi \right \rangle \end {bmatrix }\

\end {richten} {sich}, </Mathematik> {aus}

das Verwenden der Basisvektoren (in abwechselnden Notationen)

: für die "Drehung" oder s = +1/2, für die "Drehung unten" oder s =-1/2.

Die Normalisierungsvoraussetzung ist

:

der sagt, dass die Wahrscheinlichkeit der Partikel in der Drehung (, entsprechend dem Koeffizienten c) plus die Wahrscheinlichkeit in der Drehung unten festsetzt (, entsprechend dem Koeffizienten c), ist Staat 1.

Um das ausführlich für diesen Fall zu sehen, breiten Sie den ket in Bezug auf die Basen aus:

:

Andeutung

:

die Einnahme des Skalarprodukts (und das Zurückrufen orthonormality) führen zur Normalisierungsbedingung:

:

& = c_1 | \uparrow_z \rangle \left (c_1^ {*} \langle \uparrow_z | + c_2^ {*} \langle \downarrow_z | \right) + c_2 | \downarrow_z \rangle \left (c_1^ {*} \langle \uparrow_z | + c_2^ {*} \langle \downarrow_z | \right) \\

& = c_1 c_1^ {*} \langle \uparrow_z | \uparrow_z \rangle + c_1 c_2^ {*} \langle \downarrow_z | \uparrow_z \rangle + c_2 c_1^ {*} \langle \uparrow_z | \downarrow_z \rangle + c_2 c_2^ {*} \langle \downarrow_z | \downarrow_z \rangle \\

& = |c_1 |^2 + | c_2 |^2 \\

& = 1

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Unendliche dimensionale Basisvektoren

Der Fall eines zählbar unendlichen Vektoren, mit einem getrennten Index, wird behandelt und auf dieselbe Weise interpretiert, wie ein begrenzter Vektor, außer der Summe über eine unendliche Zahl von Basiselementen erweitert wird.

Herkömmlicher Vektor: Ψ und herkömmliche Notation

Als ein Spaltenvektor oder Säulenmatrix gibt es ungeheuer viele Einträge:

:Staatsvektor: Ψ und Notation des Büstenhalters-ket

In der Notation des Büstenhalters-ket;

:

\sum_ {ich

1\^\\infty c_i \left | \phi_i \right \rangle

c_1 \left \phi_1 \right \rangle + c_2 \left \phi_2 \right \rangle + \cdots

\begin {bmatrix} \left \langle \phi_1 \vert \psi \right \rangle \\\vdots \\\left \langle \phi_n \vert \psi \right \rangle \\\vdots \end {bmatrix}

\begin {bmatrix} c_1 \\\vdots \\c_n \\\vdots \end {bmatrix}. </Mathematik>

Der entsprechende Büstenhalter ist wie zuvor:

:

\langle \psi | = | \psi \rangle^ {*} & = \begin {bmatrix} \langle \phi_1 | \psi \rangle & \cdots & \langle \phi_n | \psi \rangle & \cdots \end {bmatrix} ^ {*} = \begin {bmatrix} \langle \phi_1 | \psi \rangle^ {*} & \cdots & \langle \phi_n | \psi \rangle^ {*} & \cdots \end {bmatrix} \\

& = \begin {bmatrix} c_1 & \cdots & c_n & \cdots \end {bmatrix} ^ {*} = \begin {bmatrix} c_1^ {*} & \cdots & c_n^ {*} & \cdots \end {bmatrix }\

\end {richten} {aus}\\! </Mathematik>

Unaufhörlich mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Vektoren

Ziehen Sie jetzt unzählbar unendliche Zahl von Bestandteilen des physischen Staates der Partikel in Betracht. Aus diesem Grund ist die Sammlung aller Staaten als ein Kontinuum oder Spektrum von Staaten bekannt. Begrenzte oder zählbar unendliche Basisvektoren werden über einen getrennten Index - für eine dauernde Basis summiert, die das Integral über den dauernden Index ist, die Summe ersetzend.

Unaufhörlich mit einem Inhaltsverzeichnis versehener Vektor: Ψ und Notation des Büstenhalters-ket

Wie gewöhnlich ist der physische Staat der Partikel. Die Summe für eine Überlagerung von Staaten wird jetzt ein Integral. Worin folgt, sind alle Integrale in Bezug auf die Basisvariable ϕ über die erforderliche Reihe. Gewöhnlich ist das gerade die echte Linie oder Teilmenge-Zwischenräume davon. Durch den Staat wird gegeben:

:

Sieh unten für mehr auf der Notation der Basis und Bestandteile.

Als mit den getrennten Basen ist ein Symbol daran gewöhnt zeigt die Basisstaaten an, die wieder in der Form geschrieben sind, so dass die Spanne aller dieser Basisstaaten ist. Das Symbol entspricht gewöhnlich einem Eigentum oder erkennbar, aber für die Allgemeinheit kann jeder Brief verwendet werden. Der allgemeine Staat wird geschrieben, ein besonderer Staat kann geschrieben werden, wie subscripted oder primed (sagen): oder. Wechselweise und gleichwertig, zeigt eine Basis ket für den Staat von ψ entsprechend dem erkennbaren ϕ an, die Bedeutung ist dasselbe. Kurzum kann die allgemeine Basis geschrieben werden, und eine besondere Basis ist.

Durch die Basisstaaten wird gegeben:

:

der aus dem orthonormality und den Verschluss-Beziehungen abgeleitet werden kann, die unten gegeben sind. Die orthonormality Beziehung ist:

:

Die Bestandteile des Staates sind still, der der Vorsprung des wavefunction auf eine Basis ist, ist ein Bestandteil. Das ist eine Funktion der Basisvariable ϕ, manchmal das schriftliche Verwenden eines anderen Symbols solcher als oder mehr gewöhnlich dasselbe als der physische Staat, da der Bestandteil des Staates ψ der Basis ϕ entspricht. Das ist:. Es ist noch wahr, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte ist, den erkennbaren ϕ zu messen. Worin folgt, werden beide Alternativen wiederholt, um analoge Notation mit den vorherigen summierten zählbaren Staaten zu verbinden, und Gleichwertigkeit zwischen in der Literatur verwendeten Notationen zu illustrieren.

In Anbetracht zwei Staaten in derselben Basis:

:

& | \chi \rangle = \int | \phi \rangle \langle \phi | \chi \rangle \mathrm {d }\\phi = \int | \phi \rangle z (\phi) \mathrm {d }\\phi = \int | \phi \rangle \chi (\phi) \mathrm {d }\\phi \\

\end {richten} {sich} \, \{aus}! </Mathematik>

das Skalarprodukt wird

:

& = \left (\int \langle \chi | \phi \rangle \langle \phi | \mathrm {d }\\phi \right) \left (\int | \phi \rangle \langle \phi | \psi \rangle \mathrm {d }\\phi \right) \\

& = \iint \langle \chi | \phi \rangle | \phi \rangle \langle \phi | \langle \phi | \psi \rangle \mathrm {d} ^2\phi \\

& = \left (\int | \phi \rangle \langle \phi | \mathrm {d }\\phi \right) \left (\int \langle \chi | \phi \rangle \langle \phi | \psi \rangle \mathrm {d }\\phi \right) \\

& = 1 \left (\int \langle \chi | \phi \rangle \langle \phi | \psi \rangle \mathrm {d }\\phi \right) \\

& = \int \langle \chi | \phi \rangle \langle \phi | \psi \rangle \mathrm {d }\\phi \\

& = \int z (\phi) ^ {*} c (\phi) \mathrm {d }\\phi \\

& = \int \chi (\phi) ^ {*} \psi (\phi) \mathrm {d }\\phi \\

\end {richten} {sich} \, \{aus}! </Mathematik>das ist:

Das Außenprodukt ist still:

:wenn er

über das Skalarprodukt von ähnlichen Basen integriert, führt kets zur analogen Verschluss-Beziehung:

:

Das Multiplizieren mit dem Staat des wavefunction erhält den ket wavefunction als eine Überlagerung seiner Basisvektoren:

:

Auch das Skalarprodukt kann erhalten werden:

:Das Starten von::

& \langle \psi | = \int\langle \psi | \phi \rangle \langle \phi | \mathrm {d }\\phi = \int c (\phi) ^ {*} \langle \phi | \mathrm {d }\\phi = \int\psi (\phi) ^ {*} \langle \phi | \mathrm {d }\\phi \\

\end {richten} {sich} \, \{aus}! </Mathematik>

die Einnahme des Skalarprodukts;

:

Das Sammeln von Gleichwertigkeiten zusammen:

:

Seitdem ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, den erkennbaren ϕ im Staat ψ zu messen, dieses Integral muss 1 wie zuvor sein:

:

Wieder ist der normalisierte wavefunction allgemein:

:

und die unveränderliche Normalisierung ist:

:

als eine geschlossene Formel, anstatt die Gleichung nach dem Auswerten des integrierten Normalisierens zu lösen.

Ein Beispiel davon ist die Raumwelle-Funktion einer Partikel. Denken Sie zuerst eine Dimension; die X-Achse oder echte Linie (als in den eindimensionalen Fällen oben). Dann kann in Bezug auf ein Kontinuum von Staaten mit der bestimmten Position folgendermaßen ausgebreitet werden.

Die Basisstaaten sind die eindimensionalen Positionsstaaten:. Denken Sie das Gebiet, das die Partikel, gegeben durch den Zwischenraum R = [a, b] besetzen kann, dann deutet das an, dass die Basisvektoren alle möglichen Positionen zwischen x = a und x = b sind.

Die Bestandteile sind:.

Deshalb ist der Staat für den wavefunction:

:

In diesem Fall kann ein Grundstaat in Bezug auf alle möglichen Basisstaaten als ausgedrückt werden:

:

Der Raumstaat der mit dem Positionsstaat vereinigten Welle-Funktion ist durch orthogonality

:.

Wir haben die Identität als eine andere Folgeerscheinung der Verschluss-Beziehung, sich ψ (x) zu einer Basisposition x beziehend;

:

& = \langle x | \left (\int\limits_a^b | x_0 \rangle \langle x_0 | \mathrm {d} x_0 \right) | \psi \rangle = \int\limits_a^b \langle x | x_0 \rangle \langle x_0 | \psi \rangle \mathrm {d} x_0 \\

& = \int\limits_a^b \delta (x-x_0) \langle x_0 | \psi \rangle \mathrm {d} x_0 = \int\limits_a^b \psi (x_0) \delta (x-x_0) \mathrm {d} x_0. \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Die Einnahme des Skalarprodukts mit sich führt zum Skalarprodukt hat am Anfang dieses Artikels (in diesem Fall und) festgesetzt:

:.

Für die Einschließung der Zeitabhängigkeit, fügen Sie einfach die Zeitkoordinate allen Basisstaaten durch den Ersatz bei

:

& | x_0 \rangle \rightarrow | x_0, t\rangle, c (x_0) \rightarrow c (x_0, t). \\

\end {richten }\\, \aus! </Mathematik>

Jedoch sollte keine Integration in Bezug auf t getan werden, weil t eine Konstante ist; der Moment x wird gemessen, um einen Wert im Zwischenraum zu b zu nehmen. Für die Schwung-Entsprechung, machen Sie einfach den Ersatz.

Die Generalisation des vorherigen Ergebnisses ist aufrichtig. In drei Dimensionen, kann in Bezug auf ein Kontinuum von Staaten mit der bestimmten Position wie folgt ausgebreitet werden.

Die Basisstaaten sind die dreidimensionalen Positionsstaaten:. Lassen Sie das 3-dimensionale Gebiet, das die Partikel besetzen kann, R sein.

Die Bestandteile sind:.Deshalb ist der Staat für den wavefunction::In diesem Fall kann ein Grundstaat in Bezug auf alle möglichen Basisstaaten als ausgedrückt werden::

wo die 3. Dirac-δ-Funktion verallgemeinert wird zu:

:

& \Rightarrow \delta (\mathbf {r} _0 - \mathbf {r}) = \delta (x_0-x) \delta (y_0-y) \delta (z_0-z) \\

\end {richten }\\, \aus! </Mathematik>

Der Raumstaat der mit dem Positionsstaat vereinigten Welle-Funktion ist durch orthogonal

:.

Wieder haben wir die Identität als eine andere Folgeerscheinung der Verschluss-Beziehung, sich ψ (r) zu einer Basisposition r beziehend;

:

Die Einnahme des Skalarprodukts mit sich führt zu den Normalisierungsbedingungen in den dreidimensionalen Definitionen oben:

:.

Kurz gesagt, die obengenannten Ausdrücke nehmen dieselbe Form für jede Zahl von Raumdimensionen an.

Für eine Partikel, mit der Drehung, in allen drei Raumdimensionen, ist der wavefunction

:

in dem die Basisstaaten eine Kombination der descrete Variable s (Z-Bestandteil der Drehung) und der dauernden Variable r (Position) sind:

:

Da die Partikel eine Position und einen Wert der Drehung hat, kann der wavefunction als ein Produkt von Staaten, der Wahrscheinlichkeitsumfang geschrieben werden, dass die Partikel an der Position r mit der Drehung s ist:

::

d. h. wir können schreiben:

::

Sich wendend, was wir oben haben, sind die Identitätsmaschinenbediener:

::

wo M alle möglichen Werte von s ist, führend:

::

wir können schreiben, so ist die Verschluss-Beziehung:

:

der einbezieht

:

& = \sum_i \int\limits_R \Psi (\mathbf {r}, m_i) | \mathbf {r}, m_i \rangle \mathrm {d} ^3\mathbf {r} \\

\end {richten} {sich} \, \{aus}! </Mathematik>

und das Skalarprodukt:

:

& = \sum_i \int\limits_R \Psi^ * (\mathbf {r}, m_i) \Psi (\mathbf {r}, m_i) \mathrm {d} ^3\mathbf {r}. \\

\end {richten} {sich} \, \{aus}! </Mathematik>

Wieder führt das auch direkt zur Normalisierungsbedingung durch das Setzen des Skalarprodukts auf die Einheit.

Ontologie

Ob die Welle-Funktion wirklich besteht, und was sie vertritt, sind Hauptfragen in der Interpretation der Quant-Mechanik. Viele berühmte Physiker einer vorherigen Generation sind über dieses Problem, wie Schrödinger, Einstein und Bohr verwirrt gewesen. Einige Verfechter-Formulierungen oder Varianten der Kopenhagener Interpretation (z.B Bohr, Wigner und von Neumann), während andere, wie Wheeler oder Jaynes, die mehr klassische Annäherung nehmen und die Welle-Funktion als das Darstellen der Information in der Meinung des Beobachters, d. h. einem Maß unserer Kenntnisse der Wirklichkeit betrachten. Einige, im Intervall von Schrödinger, Einstein, Bohm und Everett und anderen, haben behauptet, dass die Welle-Funktion eine objektive, physische Existenz haben muss. Das spätere Argument wurde kürzlich durch die Demonstration unterstützt (nicht spähen nachgeprüft) eines Lehrsatzes, die physische Wirklichkeit des Quant-Staates festsetzend. Für mehr zu diesem Thema, sieh Interpretationen der Quant-Mechanik.

Beispiele

Hier sind Beispiele von wavefunctions für spezifische Anwendungen:

• Freie Partikel
• Partikel in einem Kasten
• Der Finite Square gut
• Delta-Potenzial
• Quant harmonischer Oszillator
• Wasserstoffatom und wasserstoffähnliches Atom

Siehe auch

• Boson
• Experiment des doppelten Schlitzes
• Welle von Faraday
• Fermion
• Welle von Normalisable fungiert
• Gleichung von Schrödinger
• Welle-Funktion bricht zusammen
• Welle-Paket

2. Quant-Mechanik (Nichtrelativistische Theorie), L.D. Landau und E.M. Lifshitz, internationale Standardbuchnummer 0-08-020940-8

Weiterführende Literatur

Links

• http://www.eng.fsu.edu/~dommelen/quantum/style_a/complexs.html, http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/adv.chem/lectures/lecture_9/node2.html, http://galileo.phys.virginia.edu/classes/752.mf1i.spring03/IdenticalParticlesRevisited.htm,

http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/node34.html

• http://cat.middlebury.edu/~chem/chemistry/class/physical/quantum/help/normalize/normalize.html Normalisierung.