In der Mathematik sagt die quadratische Identität von Euler, dass das Produkt von zwei Zahlen, jede von denen, eine Summe von vier Quadraten seiend, selbst eine Summe von vier Quadraten ist. Spezifisch:

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Euler hat über diese Identität in einem Brief datiert am 4. Mai 1748 zu Goldbach geschrieben (aber bemerken Sie, dass er eine verschiedene Zeichen-Tagung vom obengenannten verwendet hat). Es kann mit der elementaren Algebra bewiesen werden und hält in jedem Ersatzring. Wenn und reelle Zahlen sind, ist ein eleganterer Beweis verfügbar: Die Identität drückt die Tatsache aus, dass der absolute Wert des Produktes von zwei quaternions dem Produkt ihrer absoluten Werte ebenso gleich ist, dass die Brahmagupta-Fibonacci Zwei-Quadrate-Identität für komplexe Zahlen tut.

Die Identität wurde von Lagrange verwendet, um seinen vier Quadratlehrsatz zu beweisen. Mehr spezifisch deutet es an, dass es genügend ist, den Lehrsatz für Primzahlen zu beweisen, nach denen der allgemeinere Lehrsatz folgt. Die Zeichen-Tagung, die oben verwendet ist, entspricht den erhaltenen Zeichen durch das Multiplizieren von zwei quaternions. Andere Zeichen-Vereinbarung kann durch das Ändern von irgendwelchem zu, zu, oder durch das Ändern der Zeichen innerhalb von einigen der karierten Begriffe auf der rechten Seite erhalten werden.

Jedoch kann eine verschiedene Art der quadratischen Identität als, gegeben werden

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Mehr allgemein, während der Lehrsatz von Hurwitz dass eine Identität der Form, feststellt

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wo bilinearer Funktionen zu sein, und nur für n = {1, 2, 4, 8} möglich ist, erlaubt Lehrsatz von mehr General Pfister dass, wenn gerade vernünftiger Funktionen eines Satzes von Variablen (in diesem Fall,) zu sein, folglich einen Nenner hat, dann ist es für alle möglich.

Siehe auch

• Die Acht-Quadrate-Identität von Degen
• Der Latin Square

Links

• Eine Sammlung der algebraischen Identität
• http://math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0841.pdf Lettre CXV von Euler bis Goldbach