In der Funktionsanalyse und den verwandten Gebieten der Mathematik sind Räume von Fréchet, genannt nach Maurice Fréchet, spezielle topologische Vektorräume. Sie sind Generalisationen von Banachräumen (normed Vektorräume, die in Bezug auf das metrische abgeschlossen sind, das durch die Norm veranlasst ist). Räume von Fréchet sind lokal konvexe Räume, die in Bezug auf eine Übersetzung invariant metrisch abgeschlossen sind. Im Gegensatz zu Banachräumen braucht das metrische nicht aus einer Norm zu entstehen.

Wenn auch die topologische Struktur von Räumen von Fréchet mehr kompliziert ist als dieser von Banachräumen wegen des Mangels an einer Norm, viele wichtige Ergebnisse in der Funktionsanalyse, wie der Hahn-Banach Lehrsatz, halten der offene kartografisch darstellende Lehrsatz und der Banach-Steinhaus Lehrsatz, noch.

Räume ungeheuer differentiable Funktionen sind typische Beispiele von Räumen von Fréchet.

Definitionen

Räume von Fréchet können auf zwei gleichwertige Weisen definiert werden: Das erste verwendet eine Übersetzung-invariant metrisch, das zweite eine zählbare Familie von Halbnormen.

Ein topologischer Vektorraum X ist ein Raum von Fréchet, wenn, und nur wenn er die folgenden drei Eigenschaften befriedigt:

• es ist als ein gleichförmiger Raum abgeschlossen
• es ist lokal konvexer
• seine Topologie kann durch eine Übersetzung invariant metrisch, d. h. ein metrischer d veranlasst werden: X × X  R solch dass d (x, y) = d (x+a, y+a) für den ganzen a, x, y in X. Das bedeutet, dass eine Teilmenge U X offen ist, wenn, und nur wenn für jeden u in U dort ein ε> 0 solches dass {v besteht: d (u, v), k = 0,1,2... Das bedeutet, dass eine Teilmenge U X offen ist, wenn, und nur wenn für jeden u in U dort K0 und ε> 0 solches dass {v besteht: u - v) in X läuft zu x im von einer Familie von Halbnormen definierten Raum von Fréchet zusammen, wenn, und nur wenn es zu x in Bezug auf jede der gegebenen Halbnormen zusammenläuft.

Das Konstruieren Fréchet Räume

Rufen Sie zurück, dass eine Halbnorm eine Funktion von einem Vektorraum X zu den reellen Zahlen ist, die drei Eigenschaften befriedigen. Für den ganzen x und y in X und alle Skalare c,

:::

Wenn wirklich andeutet, dass x=0, dann tatsächlich eine Norm ist. Jedoch sind Halbnormen darin nützlich sie ermöglichen uns, Räume von Fréchet wie folgt zu bauen:

Um einen Raum von Fréchet zu bauen, fängt man normalerweise mit einem Vektorraum X an und definiert eine zählbare Familie von Halbnormen auf X mit den folgenden zwei Eigenschaften:

• wenn x ∈ X und für den ganzen k ≥ 0, dann x = 0;
• wenn (x) eine Folge in X ist, der Cauchy in Bezug auf jede Halbnorm ist, dann dort besteht x ∈ X solch, dass (x) zu x in Bezug auf jede Halbnorm zusammenläuft.

Dann verwandelt sich die Topologie, die durch diese Halbnormen (wie erklärt, oben) veranlasst ist, X in einen Raum von Fréchet; das erste Eigentum stellt sicher, dass es Hausdorff ist, und das zweite Eigentum sicherstellt, dass es abgeschlossen ist. Eine Übersetzung-invariant das ganze metrische Verursachen derselben Topologie auf X kann dann durch definiert werden

:

Bemerken Sie dass die Funktion u → u / (1+u) Karten [0, &infin) monotonically zu [0, 1), und so stellt die obengenannte Definition sicher, dass d (x, y) "klein" ist, wenn, und nur wenn dort K&thinsp besteht; "groß" solch dass || x − y ist für k = 0, &hellip "klein"; K.

Beispiele

• Jeder Banachraum ist ein Raum von Fréchet, weil die Norm eine Übersetzung invariant metrisch veranlasst und der Raum in Bezug darauf metrisch abgeschlossen ist.
• Der Vektorraum von allen ungeheuer häufig differentiable Funktionen wird ein Raum von Fréchet mit den Halbnormen

::

:for jede ganze Zahl. Hier, zeigt die k-th Ableitung &fnof an; und.

:In dieser Raum von Fréchet, eine Folge Funktionen läuft zum Element &fnof zusammen; wenn und nur wenn für jede ganze Zahl die Folge gleichförmig dazu zusammenläuft.

• Der Vektorraum C(R) von allen ungeheuer häufig differentiable fungiert ƒ: R  wird R ein Raum von Fréchet mit den Halbnormen

::

: für alle ganzen Zahlen k, n  0.

• Der Vektorraum C(R) der ganzen M Zeiten unaufhörlich differentiable fungiert ƒ: R  wird R ein Raum von Fréchet mit den Halbnormen

::

: für alle ganzen Zahlen n  0 und k=0..., M

• Lassen Sie H der Raum von kompletten (überall holomorphic) Funktionen auf dem komplizierten Flugzeug sein. Dann die Familie von Halbnormen

::

:makes H in einen Raum von Fréchet.

• Lassen Sie H der Raum von kompletten (überall holomorphic) Funktionen des Exponentialtyps sein. Dann die Familie von Halbnormen

:::makes H in einen Raum von Fréchet.

• Wenn M eine KompaktC-Sammelleitung ist und B ein Banachraum, dann der Satz C (M, B) von allen ungeheuer häufig differentiable Funktionen &fnof ist;: M  B kann in einen Raum von Fréchet durch das Verwenden als Halbnormen des suprema der Normen aller partiellen Ableitungen verwandelt werden. Wenn M (nicht notwendigerweise kompakt) C-Sammelleitung ist, die eine zählbare Folge K Kompaktteilmengen zulässt, so dass jede Kompaktteilmenge der M in mindestens einem K enthalten wird, dann sind die Räume C (M, B) und C (M, B) auch Raum von Fréchet auf eine natürliche Weise.

:In-Tatsache, jede glatte endlich-dimensionale mannigfaltige M kann in solch eine verschachtelte Vereinigung von Kompaktteilmengen gemacht werden. Statten Sie es mit Riemannian metrischer g aus, der einen metrischen d (x, y) veranlasst, wählen Sie x in der M, und lassen Sie

::

:Let M, eine KompaktC-Sammelleitung und V sein, hat ein Vektor-Bündel über die M C Gelassen (M, V) zeigen den Raum von glatten Abteilungen V mehr als X an. Wählen Sie Riemannian Metrik und Verbindungen, die, wie man versichert, auf den Bündeln TX und V bestehen. Wenn s eine Abteilung ist, zeigen Sie seine jth kovariante Ableitung durch Ds an. Dann

::

: (wo |. | ist die Norm, die von Riemannian veranlasst ist, metrisch) ist eine Familie von Halbnormen, die C (M, V) in einen Raum von Fréchet machen.

• Der Raum R aller echten geschätzten Folgen wird ein Raum von Fréchet, wenn wir die k-th Halbnorm einer Folge definieren, um der absolute Wert des k-th Elements der Folge zu sein. Die Konvergenz in diesem Raum von Fréchet ist zur mit dem Element klugen Konvergenz gleichwertig.

Nicht alle Vektorräume mit der ganzen Metrik der Übersetzung-invariant sind Räume von Fréchet. Ein Beispiel ist der Raum L ([0, 1]) mit p ([a, b]), C (X, V) mit X kompakt, und H alle lassen Normen zu, während R und C(R) nicht tun.

Ein geschlossener Subraum eines Raums von Fréchet ist ein Raum von Fréchet. Ein Quotient eines Raums von Fréchet durch einen geschlossenen Subraum ist ein Raum von Fréchet. Die direkte Summe einer begrenzten Zahl von Räumen von Fréchet ist ein Raum von Fréchet.

Mehrere wichtige Werkzeuge der Funktionsanalyse, die auf dem Kategorie-Lehrsatz von Baire basieren, bleiben wahr in Räumen von Fréchet; Beispiele sind der geschlossene Graph-Lehrsatz und der offene kartografisch darstellende Lehrsatz.

Wenn X und Y Räume von Fréchet sind, dann ist der Raum L (X, Y), aus allen dauernden geradlinigen Karten von X bis Y bestehend, nicht ein Raum von Fréchet auf jede natürliche Weise. Das ist ein Hauptunterschied zwischen der Theorie von Banachräumen und diesem von Räumen von Fréchet und macht eine verschiedene Definition für dauernden differentiability von Funktionen nötig, die auf Räumen von Fréchet, der Ableitung von Gâteaux definiert sind:

Denken Sie X, und Y sind Räume von Fréchet, U ist eine offene Teilmenge X, P: U → Y ist eine Funktion, x ∈ U und h ∈ X. Wir sagen, dass P differentiable an x in der Richtung h wenn die Grenze ist

:

besteht. Wir nennen P unaufhörlich differentiable in U wenn

:ist

dauernd. Da das Produkt von Räumen von Fréchet wieder ein Raum von Fréchet ist, können wir dann versuchen, D (P) zu unterscheiden und die höheren Ableitungen von P auf diese Mode zu definieren.

Der abgeleitete Maschinenbediener P: C ([0,1])  C ([0,1]) definiert durch P (f) = f′ ist selbst ungeheuer differentiable. Die erste Ableitung wird durch gegeben

:

für irgendwelche zwei Elemente f und h in C ([0,1]). Das ist ein Hauptvorteil des Raums von Fréchet C ([0,1]) über den Banachraum C ([0,1]) für begrenzten k.

Wenn P: U → Y ist unaufhörlich differentiable Funktion, dann die Differenzialgleichung

:

braucht keine Lösungen zu haben, und selbst wenn tut, brauchen die Lösungen nicht einzigartig zu sein. Das ist in der steifen Unähnlichkeit zur Situation in Banachräumen.

Der umgekehrte Funktionslehrsatz ist in Räumen von Fréchet nicht wahr; ein teilweiser Ersatz ist der Lehrsatz von Nash-Moser.

Sammelleitungen von Fréchet und Liegen Gruppen

Man kann Sammelleitungen von Fréchet als Räume definieren, die "lokal" wie Räume von Fréchet aussehen (gerade wie gewöhnliche Sammelleitungen, werden als Räume definiert, die lokal wie Euklidischer Raum R aussehen), und man dann das Konzept der Lüge-Gruppe zu diesen Sammelleitungen erweitern kann. Das ist nützlich, weil für einen gegebenen (gewöhnlichen) kompakten C M, den Satz des ganzen C diffeomorphisms f vervielfältigen: M  M Formen eine verallgemeinerte Lüge-Gruppe in diesem Sinn und diese Lüge-Gruppe gewinnt den symmetries der M. Einige der Beziehungen zwischen Lüge-Algebra und Liegen Gruppen bleiben gültig in dieser Einstellung.

Generalisationen

Wenn wir die Voraussetzung für den Raum fallen lassen, um lokal konvex zu sein, erhalten wir F-Räume: Vektorräume mit der ganzen Metrik der Übersetzung-invariant.

LF-Räume sind zählbare induktive Grenzen von Räumen von Fréchet.