In der Mathematik ist ein zählbarer Satz ein Satz mit demselben cardinality (Zahl der Elemente) wie eine Teilmenge des Satzes von natürlichen Zahlen. Ein Satz, der nicht zählbar ist, wird unzählbar genannt. Der Begriff wurde von Georg Cantor hervorgebracht. Die Elemente eines zählbaren Satzes können ein in einer Zeit aufgezählt werden - obwohl das Zählen nie fertig sein kann, wird jedes Element des Satzes schließlich mit einer natürlichen Zahl vereinigt.

Einige Autoren verwenden zählbaren Satz, um einen Satz mit demselben cardinality wie der Satz von natürlichen Zahlen zu bedeuten. Der Unterschied zwischen den zwei Definitionen ist, dass unter dem ersteren, wie man auch betrachtet, begrenzte Sätze zählbar sind, während laut der letzten Definition, wie man betrachtet, sie nicht zählbar sind. Um diese Zweideutigkeit aufzulösen, wird der höchstens zählbare Begriff manchmal für den ehemaligen Begriff gebraucht, und für die Letzteren zählbar unendlich. Der Begriff denumerable kann auch gebraucht werden, um zählbar unendlich, oder zählbar, im Vergleich mit dem Begriff nondenumerable zu bedeuten.

Definition

Ein Satz S wird zählbar genannt, wenn dort eine Injective-Funktion f von S bis die natürlichen Zahlen besteht

Wenn f auch surjective und deshalb bijektiv ist (da f bereits definiert wird, um injective zu sein), dann wird S zählbar unendlich genannt.

Wie bemerkt, oben ist diese Fachsprache nicht universal: Einige Autoren verwenden zählbar, um zu bedeuten, was hier "zählbar unendlich," genannt wird und begrenzte Sätze nicht einzuschließen.

Für alternative (gleichwertige) Formulierungen der Definition in Bezug auf eine bijektive Funktion oder eine Surjective-Funktion, sieh die Abteilung Formelle Definition und Eigenschaften unten.

Einführung

Ein Satz ist eine Sammlung von Elementen, und kann auf viele Weisen beschrieben werden. Ein Weg ist einfach, alle seine Elemente zu verzeichnen; zum Beispiel kann der Satz, der aus den ganzen Zahlen 3, 4, und 5 besteht, angezeigt werden. Das ist nur für kleine Sätze jedoch wirksam; für größere Sätze würde das zeitraubend und fehlbar sein. Anstatt jedes einzelne Element manchmal zu verzeichnen, wird eine Ellipse ("... ") verwendet, wenn der Schriftsteller glaubt, dass der Leser leicht erraten kann, was vermisst wird; zum Beispiel, zeigt vermutlich den Satz von ganzen Zahlen von 1 bis 100 an. Sogar in diesem Fall, jedoch, ist es noch möglich, alle Elemente zu verzeichnen, weil der Satz begrenzt ist; es hat eine spezifische Zahl der Elemente.

Einige Sätze sind unendlich; diese Sätze haben mehr als n Elemente für jede ganze Zahl n. Zum Beispiel hat der Satz von natürlichen Zahlen, denotable dadurch, ungeheuer viele Elemente, und wir können keine normale Zahl verwenden, um seine Größe zu geben. Dennoch stellt es sich heraus, dass unendliche Sätze wirklich einen bestimmten Begriff der Größe haben (oder richtiger, cardinality, der der Fachbegriff für die Zahl der Elemente in einem Satz ist), und nicht alle unendlichen Sätze denselben cardinality haben.

Um zu verstehen, was das bedeutet, untersuchen wir zuerst, was es nicht bedeutet. Zum Beispiel gibt es ungeheuer viele sonderbare ganze Zahlen, ungeheuer viele sogar ganze Zahlen, und (folglich) ungeheuer viele ganze Zahlen insgesamt. Jedoch stellt es sich heraus, dass die Zahl von sonderbaren ganzen Zahlen, die dasselbe als die Zahl von sogar ganzen Zahlen ist, auch dasselbe als die Zahl von ganzen Zahlen insgesamt ist. Das ist, weil wir solche Dinge dass für jede ganze Zahl einordnen, gibt es eine verschiedene sonderbare ganze Zahl:... 2  3, 1  1, 0  1, 1  3, 2  5...; oder, mehr allgemein, n  2n + 1. Was wir getan haben, hier wird die ganzen Zahlen und die sonderbaren ganzen Zahlen in eine isomorphe Ähnlichkeit eingeordnet (oder Bijektion), der eine Funktion ist, die zwischen zwei solchen Sätzen kartografisch darstellt, dass jedes Element jedes Satzes einem einzelnen Element im anderen Satz entspricht.

Jedoch haben nicht alle unendlichen Sätze denselben cardinality. Zum Beispiel hat Georg Cantor (wer diesen Zweig der Mathematik eingeführt hat) demonstriert, dass die reellen Zahlen in die isomorphe Ähnlichkeit mit den natürlichen Zahlen (natürliche Zahlen), und deshalb nicht gestellt werden können, dass der Satz von reellen Zahlen einen größeren cardinality hat als der Satz von natürlichen Zahlen.

Ein Satz ist wenn zählbar: (1) ist es begrenzt, oder (2) hat es denselben cardinality (Größe) wie der Satz von natürlichen Zahlen. Gleichwertig ist ein Satz zählbar, wenn er denselben cardinality wie eine Teilmenge des Satzes von natürlichen Zahlen hat. Sonst ist es unzählbar.

Formelle Definition und Eigenschaften

Definitionsgemäß ist ein Satz S zählbar, wenn dort eine Injective-Funktion besteht

:

von S bis die natürlichen Zahlen

Es könnte natürlich scheinen, die Sätze in verschiedene Klassen zu teilen: Stellen Sie alle Sätze, die ein Element zusammen enthalten; alle Sätze, die zwei Elemente zusammen enthalten;...; schließlich, zusammengestellt alle unendlichen Sätze und betrachten sie als, dieselbe Größe zu haben.

Diese Ansicht ist jedoch laut der natürlichen Definition der Größe nicht haltbar.

Um das sorgfältig auszuarbeiten, brauchen wir das Konzept einer Bijektion. Obwohl eine "Bijektion" ein fortgeschritteneres Konzept scheint als eine Zahl, definiert die übliche Entwicklung der Mathematik in Bezug auf die Mengenlehre Funktionen vor Zahlen, weil sie auf viel einfacheren Sätzen basieren. Das ist, wohin das Konzept einer Bijektion eingeht: Definieren Sie die Ähnlichkeit

:a  1, b  2, c  3

Da jedes Element {a, b, c} mit genau einem Element {1, 2, 3}, und umgekehrt paarweise angeordnet wird, definiert das eine Bijektion.

Wir verallgemeinern jetzt diese Situation und definieren zwei Sätze, um derselben Größe wenn zu sein (und nur wenn) es eine Bijektion zwischen ihnen gibt. Für alle begrenzten Sätze gibt das uns die übliche Definition "derselben Größe". Was erzählt es uns über die Größe von unendlichen Sätzen?

Denken Sie die Sätze = {1, 2, 3...}, der Satz von positiven ganzen Zahlen und B = {2, 4, 6...}, der Satz sogar positiver ganzer Zahlen. Wir behaupten, dass, laut unserer Definition, diese Sätze dieselbe Größe haben, und dass deshalb B zählbar unendlich ist. Rufen Sie zurück, dass, um das zu beweisen, wir eine Bijektion zwischen ihnen ausstellen müssen. Aber das, ist mit n  2n, so dass leicht

:1  2, 2  4, 3  6, 4  8....

Als im früheren Beispiel ist jedes Element von A mit genau einem Element von B, und umgekehrt paarweise angeordnet worden. Folglich haben sie dieselbe Größe. Das führt ein Beispiel eines Satzes an, der derselben Größe wie eine seiner richtigen Teilmengen, eine Situation ist, die für begrenzte Sätze unmöglich ist.

Ebenfalls ist der Satz aller befohlenen Paare von natürlichen Zahlen zählbar unendlich, wie durch den folgenden ein Pfad wie derjenige im Bild gesehen werden kann: Resultierend kartografisch darzustellen, ist dem ähnlich:

:0  (0,0), 1  (1,0), 2  (0,1), 3  (2,0), 4  (1,1), 5  (0,2), 6  (3,0)....

Es ist offensichtlich, dass das kartografisch darzustellen, alle diese befohlenen Paare bedecken wird.

Interessanterweise: Wenn Sie jedes Paar behandeln als, der Zähler und Nenner eines vulgären Bruchteils zu sein, dann für jeden positiven Bruchteil können wir eine verschiedene Zahl entsprechend ihm präsentieren. Diese Darstellung schließt auch die natürlichen Zahlen ein, da jede natürliche Zahl auch ein Bruchteil N/1 ist. So können wir beschließen, dass es genau so viele positive rationale Zahlen gibt, wie es positive ganze Zahlen gibt. Das ist auch für alle rationalen Zahlen wahr, wie unten gesehen werden kann (eine kompliziertere Präsentation ist erforderlich, um sich mit negativen Zahlen zu befassen).

Lehrsatz: Das Kartesianische Produkt von begrenzt vielen zählbaren Sätzen ist zählbar.

Diese Form davon, rekursiv dreieckig kartografisch darzustellen, verallgemeinert zu Vektoren von begrenzt vielen natürlichen Zahlen, indem sie die ersten zwei Elemente zu einer natürlichen Zahl wiederholt kartografisch dargestellt wird. Zum Beispiel, (0,2,3) Karten zu (5,3), der zu 39 kartografisch darstellt.

Manchmal mehr als ein kartografisch darzustellen, ist nützlich. Das ist, wo Sie den Satz kartografisch darstellen, den Sie zählbar unendlich auf einen anderen Satz zeigen wollen; und dann stellen Sie diesen anderen Satz zu den natürlichen Zahlen kartografisch dar. Zum Beispiel können die positiven rationalen Zahlen zu (eine Teilmenge) die Paare von natürlichen Zahlen leicht kartografisch dargestellt werden, weil p/q zu (p, q) kartografisch darstellt.

Wie steht's mit unendlichen Teilmengen zählbar unendlicher Sätze? Haben diese weniger Elemente als N?

Lehrsatz: Jede Teilmenge eines zählbaren Satzes ist zählbar. Insbesondere jede unendliche Teilmenge eines zählbar unendlichen Satzes ist zählbar unendlich.

Zum Beispiel ist der Satz von Primzahlen zählbar, indem er die n-te Primzahl zu n kartografisch dargestellt wird:

• 2 Karten zu 1
• 3 Karten zu 2
• 5 Karten zu 3
• 7 Karten zu 4
• 11 Karten zu 5
• 13 Karten zu 6
• 17 Karten zu 7
• 19 Karten zu 8
• 23 Karten zu 9
• usw.

Wie steht's mit Sätzen, die "größer sind als" N? Ein offensichtlicher Platz zu schauen würde Q, der Satz aller rationalen Zahlen sein, die intuitiv viel größer scheinen können als N. Aber Blicke können täuschen, weil wir behaupten:

Lehrsatz: Q (der Satz aller rationalen Zahlen) ist zählbar.

Q kann als der Satz aller Bruchteile a/b definiert werden, wo a und b ganze Zahlen und b> 0 sind. Das kann auf die Teilmenge von bestellten kartografisch dargestellt werden verdreifacht sich natürlicher Zahlen (a, b, c) solch, dass ein  0, b> 0, a und b coprime und c  {0, 1} solch dass c = 0 wenn a/b  0 und c = 1 sonst ist.

• 0 Karten zu (0,1,0)
• 1 Karten zu (1,1,0)
• 1 Karten zu (1,1,1)
• 1/2 stellt zu (1,2,0) kartografisch dar
• 1/2 stellt zu (1,2,1) kartografisch dar
• 2 Karten zu (2,1,0)
• 2 Karten zu (2,1,1)
• 1/3 stellt zu (1,3,0) kartografisch dar
• 1/3 stellt zu (1,3,1) kartografisch dar
• 3 Karten zu (3,1,0)
• 3 Karten zu (3,1,1)
• 1/4 stellt zu (1,4,0) kartografisch dar
• 1/4 stellt zu (1,4,1) kartografisch dar
• 2/3 stellt zu (2,3,0) kartografisch dar
• 2/3 stellt zu (2,3,1) kartografisch dar
• 3/2 stellt zu (3,2,0) kartografisch dar
• 3/2 stellt zu (3,2,1) kartografisch dar
• 4 Karten zu (4,1,0)
• 4 Karten zu (4,1,1)
• ...

Durch eine ähnliche Entwicklung ist der Satz von algebraischen Zahlen zählbar, und ist auch der Satz von definierbaren Zahlen.

Lehrsatz: (Das Annehmen des Axioms der zählbaren Wahl) Die Vereinigung von zählbar vielen zählbaren Sätzen ist zählbar.

Zum Beispiel, in Anbetracht zählbarer Sätze a, b, c...

Mit einer Variante der Dreiecksenumeration haben wir oben gesehen:

• Karten zu 0
• Karten zu 1
• b stellt zu 2 kartografisch dar
• Karten zu 3
• b stellt zu 4 kartografisch dar
• c stellt zu 5 kartografisch dar
• Karten zu 6
• b stellt zu 7 kartografisch dar
• c stellt zu 8 kartografisch dar
• d stellt zu 9 kartografisch dar
• Karten zu 10

...

Bemerken Sie, dass das nur arbeitet, wenn die Sätze a, b, c... zusammenhanglos sind. Wenn nicht, dann ist die Vereinigung noch kleiner und ist deshalb auch durch einen vorherigen Lehrsatz zählbar.

Bemerken Sie auch, dass das Axiom der zählbaren Wahl erforderlich ist, um alle Sätze a, b, c mit einem Inhaltsverzeichnis zu versehen...

Lehrsatz: Der Satz aller Folgen der begrenzten Länge von natürlichen Zahlen ist zählbar.

Dieser Satz ist die Vereinigung der Länge 1 Folgen, die Länge 2 Folgen, die Länge 3 Folgen, von denen jede ein zählbarer Satz (begrenztes Kartesianisches Produkt) ist. So sprechen wir über eine zählbare Vereinigung von zählbaren Sätzen, die durch den vorherigen Lehrsatz zählbar ist.

Lehrsatz: Der Satz aller begrenzten Teilmengen der natürlichen Zahlen ist zählbar.

Wenn Sie eine begrenzte Teilmenge haben, können Sie die Elemente in eine begrenzte Folge bestellen. Es gibt nur zählbar viele begrenzte Folgen, also auch gibt es nur zählbar viele begrenzte Teilmengen.

Der folgende Lehrsatz gibt gleichwertige Formulierungen in Bezug auf eine bijektive Funktion oder eine Surjective-Funktion. Ein Beweis dieses Ergebnisses kann im Text von Lang gefunden werden.

Lehrsatz: Lassen Sie S ein Satz sein. Die folgenden Behauptungen sind gleichwertig:

1. S ist zählbar, d. h. dort besteht eine Injective-Funktion
2. :.
3. Entweder S ist leer oder dort besteht eine Surjective-Funktion

:.

1. Entweder S ist begrenzt oder dort besteht eine Bijektion

:.

Mehrere Standardeigenschaften folgen leicht von diesem Lehrsatz. Wir präsentieren sie hier knapp. Weil eine sanftere Präsentation die Abteilungen oben sieht. Bemerken Sie, dass im Lehrsatz durch jeden zählbar unendlichen Satz ersetzt werden kann. Insbesondere haben wir die folgende Folgeerscheinung.

Folgeerscheinung: Lassen Sie S und T Sätze sein.

1. Wenn die Funktion
2. : ist injective, und T ist dann S zählbar ist zählbar.

Wenn die Funktion

1. : ist surjective, und S ist dann T zählbar ist zählbar.

Beweis: Für (1) bemerken, dass, wenn T zählbar ist, es eine Injective-Funktion gibt

Dann, wenn

ist injective

die Zusammensetzung ist injective, so ist S zählbar.

Für (2) bemerken, dass, wenn S zählbar ist, es eine Surjective-Funktion gibt

Dann, wenn surjective ist, ist die Zusammensetzung surjective, so ist T zählbar.

Vorschlag: Jede Teilmenge eines zählbaren Satzes ist zählbar.

Beweis: Die Beschränkung einer Injective-Funktion zu einer Teilmenge seines Gebiets ist noch injective.

Vorschlag: Das Kartesianische Produkt von zwei zählbaren Sätzen A und B ist zählbar.

Beweis: Bemerken Sie, dass das demzufolge der Definition zählbar ist, weil die Funktion, die dadurch gegeben ist, injective ist. Es folgt dann aus dem Grundlegenden Lehrsatz und der Folgeerscheinung, dass das Kartesianische Produkt irgendwelcher zwei zählbaren Sätze zählbar ist. Das folgt, weil, wenn A und B zählbar sind, es Surjektionen gibt und. So

:

ist eine Surjektion vom zählbaren Satz bis den Satz

und die Folgeerscheinung bezieht ein ist zählbar. Dieses Ergebnis verallgemeinert zum Kartesianischen Produkt jeder begrenzten Sammlung von zählbaren Sätzen, und der Beweis folgt durch die Induktion auf der Zahl von Sätzen in der Sammlung.

Vorschlag: Die ganzen Zahlen sind zählbar, und die rationalen Zahlen sind zählbar.

Beweis: Die ganzen Zahlen sind zählbar, weil die Funktion, die dadurch gegeben ist, wenn n nichtnegativ ist, und wenn n negativ ist, eine Injective-Funktion ist. Die rationalen Zahlen sind zählbar, weil die Funktion, die dadurch gegeben ist, eine Surjektion vom zählbaren Satz bis den rationals ist.

Vorschlag: Wenn ein zählbarer Satz für jeden ist, dann ist zählbar.

Beweis: Das ist eine Folge der Tatsache dass für jeden n es gibt eine Surjective-Funktion und folglich die Funktion

:

gegeben dadurch ist eine Surjektion. Seitdem ist zählbar die Folgeerscheinung bezieht ein ist zählbar. Wir verwenden das Axiom der zählbaren Wahl in diesem Beweis, um für jeden eine Surjektion von der nichtleeren Sammlung von Surjektionen von dazu aufzupicken.

Der Lehrsatz des Kantoren behauptet dass, wenn ein Satz ist und sein Macht-Satz, d. h. der Satz aller Teilmengen dessen ist, dann gibt es keine Surjective-Funktion von dazu. Ein Beweis wird im Artikel-Kantor-Lehrsatz gegeben. Als eine unmittelbare Folge davon und dem Grundlegenden Lehrsatz oben haben wir:

Vorschlag: Der Satz ist nicht zählbar; d. h. es ist unzählbar.

Weil eine Weiterentwicklung dieses Ergebnisses das diagonale Argument des Kantoren sieht.

Der Satz von reellen Zahlen ist unzählbar (sieh den ersten uncountability Beweis des Kantoren), und ist auch der Satz aller unendlichen Folgen von natürlichen Zahlen. Ein topologischer Beweis für den uncountability der reellen Zahlen wird am begrenzten Kreuzungseigentum beschrieben.

Das minimale Modell der Mengenlehre ist zählbar

Wenn es einen Satz gibt, der ein Standardmodell ist (sieh inneres Modell) der ZFC Mengenlehre, dann gibt es ein minimales Standardmodell (sieh Weltall von Constructible). Der Löwenheim-Skolem Lehrsatz kann verwendet werden, um zu zeigen, dass dieses minimale Modell zählbar ist. Die Tatsache, dass der Begriff von "uncountability" Sinn sogar in diesem Modell, und insbesondere hat, dass diese MusterM Elemente enthält, die sind

• Teilmengen der M, folglich zählbar,
• aber unzählbar aus dem Gesichtswinkel von der M,

wurde als paradox in den frühen Tagen der Mengenlehre gesehen, sieh das Paradox von Skolem.

Das minimale Standardmodell schließt alle algebraischen Zahlen und alle effektiv berechenbaren transzendenten Zahlen, sowie viele andere Arten von Zahlen ein.

Gesamtbezüge

Zählbare Sätze können auf verschiedene Weisen z.B völlig bestellt werden:

• Gut Ordnungen (sieh auch Ordinalzahl):
• Die übliche Ordnung von natürlichen Zahlen
• Die ganzen Zahlen im Auftrag 0, 1, 2, 3.. 1, 2, 3..
• Anderer:
• Die übliche Ordnung von ganzen Zahlen
• Die übliche Ordnung von rationalen Zahlen

Siehe auch

• Zahl von Aleph
• Das Zählen
• Das Paradox von Hilbert des Grand Hotels

Referenzen