In der algebraischen Geometrie ist die Topologie von Zariski eine besondere für algebraische Varianten gewählte Topologie, der die algebraische Natur ihrer Definition widerspiegelt. Es ist wegen Oskar Zariskis und hat einen Platz der besonderen Wichtigkeit im Feld 1950 genommen. Die feinere étale Topologie ist eine Verbesserung der Topologie von Zariski, die von Grothendieck in den 1960er Jahren entdeckt ist, der die Geometrie genauer widerspiegelt.

Die klassische Definition

In der klassischen algebraischen Geometrie (d. h. das Thema vor der Revolution von Grothendieck des Endes der 1950er Jahre und der 1960er Jahre) wurde die Topologie von Zariski folgendermaßen definiert. Da das Thema selbst in die Studie von affine und projektiven Varianten geteilt wurde (sieh die Algebraischen Vielfalt-Definitionen) die Topologie von Zariski wird ein bisschen verschieden für diese zwei definiert. Wir nehmen an, dass wir über ein festes, algebraisch geschlossenes Feld k arbeiten, der in der klassischen Geometrie fast immer die komplexen Zahlen war.

Varianten von Affine

Zuerst definieren wir die Topologie auf affine Räumen, die als Sätze gerade n-dimensional Vektorräume über k sind. Die Topologie wird durch das Spezifizieren seines geschlossenen, aber nicht seiner offenen Sätze definiert, und diese werden einfach genommen, um alle algebraischen Sätze darin zu sein, D. h. die geschlossenen Sätze sind diejenigen der Form

wo S jeder Satz von Polynomen in n Variablen über k ist. Es ist eine aufrichtige Überprüfung, um dass zu zeigen:

• V (S) = V ((S)), wo (S) das durch die Elemente von S erzeugte Ideal ist;
• Für irgendwelche zwei Ideale von Polynomen I, J, haben wir
• #

Hieraus folgt dass begrenzte Vereinigungen und willkürliche Kreuzungen der Sätze V (S) auch dieser Form sind, so dass diese Sätze die geschlossenen Sätze einer Topologie bilden (gleichwertig, ihre Ergänzungen, hat D (S) angezeigt und hat offene Hauptsätze genannt, bilden Sie die Topologie selbst). Das ist die Topologie von Zariski auf

Wenn X ein affine algebraischer Satz (nicht zu vereinfachend oder nicht) dann ist, wird die Topologie von Zariski darauf einfach definiert, um die Subraumtopologie zu sein, die durch seine Einschließung in einige Gleichwertig veranlasst ist, er kann dass überprüft werden:

• Die Elemente der Affine-Koordinate rufen an

::

handeln Sie als Funktionen auf X ebenso die Elemente der Tat als Funktionen auf

• Für jeden Satz von Polynomen S, lassen Sie T der Satz ihrer Images in (X) sein. Dann die Teilmenge von X

(diese Notationen sind nicht normal) ist der Kreuzung mit X V (S) gleich.

Das stellt fest, dass die obengenannte Gleichung, klar eine Generalisation der vorherigen, die Topologie von Zariski auf jeder affine Vielfalt definiert.

Projektive Varianten

Rufen Sie zurück, dass n-dimensional projektiver Raum definiert wird, um der Satz von Gleichwertigkeitsklassen von Nichtnullpunkten darin zu sein, indem er zwei Punkte identifiziert wird, die sich durch ein Skalarvielfache in k unterscheiden. Die Elemente des polynomischen Rings sind nicht Funktionen darauf, weil jeder Punkt viele Vertreter hat, die verschiedene Werte in einem Polynom nachgeben; jedoch haben die homogenen Polynome wirklich bestimmte Null- oder Nichtnullwerte auf jedem projektiven Punkt seit den vielfachen Skalarfaktoren aus dem Polynom. Deshalb, wenn S ein Satz von homogenen Polynomen ist, können wir von vernünftig sprechen

Dieselben Tatsachen können wie oben für diese Sätze gegründet werden, außer dass das Wort "Ideal" durch den Ausdruck "homogenes Ideal" ersetzt werden muss, so dass die V (S), für Sätze S homogener Polynome, eine Topologie darauf definieren, Weil über den Ergänzungen dieser Sätze D (S) angezeigt werden, oder, wenn Verwirrung wahrscheinlich, D&prime resultieren wird; (S).

Die projektive Topologie von Zariski wird für projektive algebraische Sätze als der affine definiert einer wird für affine algebraische Sätze definiert, indem er die Subraumtopologie nimmt. Ähnlich kann es gezeigt werden, dass diese Topologie wirklich durch Sätze von Elementen des projektiven Koordinatenrings durch dieselbe Formel wie oben definiert wird.

Eigenschaften

Eine sehr nützliche Tatsache über diese Topologien ist, dass wir eine Basis für sie ausstellen können, aus besonders einfachen Elementen, nämlich der D (f) für individuelle Polynome (oder für projektive Varianten, homogene Polynome) f bestehend. Tatsächlich, dass sich diese formen, folgt eine Basis aus der Formel für die Kreuzung von zwei GeZariski-schlossenen Sätzen, die oben gegeben sind (wenden Sie es wiederholt auf die Hauptideale an, die durch die Generatoren von (S) erzeugt sind). Diese werden ausgezeichnete oder grundlegende offene Sätze genannt.

Durch den Hilbert Basislehrsatz und einige elementare Eigenschaften von Ringen von Noetherian, jedem affine oder projektivem Koordinatenring ist Noetherian. Demzufolge sind affine oder projektive Räume mit der Topologie von Zariski Noetherian topologische Räume, der andeutet, dass jede Teilmenge dieser Räume kompakt ist.

Jedoch, wenn k kein begrenztes Feld ist, ist keine Vielfalt jemals ein Raum von Hausdorff. In der alten topologischen "kompakten" Literatur wurde genommen, um das Eigentum von Hausdorff einzuschließen, und diese Tagung wird noch in der algebraischen Geometrie beachtet; deshalb wird die Kompaktheit im modernen Sinn "Quasikompaktheit" in der algebraischen Geometrie genannt. Jedoch, da jeder Punkt (a..., a) der Nullsatz der Polynome x - a..., x - a ist, werden Punkte geschlossen, und so befriedigt jede Vielfalt das T Axiom.

Jede regelmäßige Karte von Varianten ist in der Topologie von Zariski dauernd. Tatsächlich ist die Topologie von Zariski die schwächste Topologie (mit wenigsten offenen Sätzen), in dem das wahr ist, und in dem Punkte geschlossen werden. Das wird durch die Anmerkung leicht nachgeprüft, dass die GeZariski-schlossenen Sätze einfach die Kreuzungen der umgekehrten Images 0 nach den polynomischen Funktionen, betrachtet als regelmäßige Karten in sind

Die moderne Definition

Moderne algebraische Geometrie nimmt das Spektrum eines Rings (der Satz von richtigen Hauptidealen) als sein Startpunkt. In dieser Formulierung werden die GeZariski-schlossenen Sätze genommen, um die Sätze zu sein

wo A ein fester Ersatzring ist und ich ein Ideal bin. Um die Verbindung mit dem klassischen Bild zu sehen, bemerken Sie, dass für jeden Satz S Polynome (über ein algebraisch geschlossenes Feld) es aus dem Nullstellensatz von Hilbert folgt, dass die Punkte V (S) (im alten Sinn) genau die Tupel (a..., a) solch sind, der (x - a..., x - a) S enthält; außerdem sind das maximale Ideale und durch "schwachen" Nullstellensatz, ein Ideal jedes Affine-Koordinatenrings ist maximal, wenn, und nur wenn es dieser Form ist. So, V (S) ist "dasselbe, weil" die maximalen Ideale, die die Neuerung von S. Grothendieck im Definieren der Spekulation enthalten, maximale Ideale durch alle Hauptideale ersetzen sollte; in dieser Formulierung ist es natürlich, einfach diese Beobachtung zur Definition eines geschlossenen Satzes im Spektrum eines Rings zu verallgemeinern.

Ein anderer Weg, der vielleicht dem Original ähnlicher ist, um die moderne Definition zu interpretieren, soll begreifen, dass von den Elementen von A wirklich als Funktionen auf den Hauptidealen von A gedacht werden kann; nämlich, als Funktionen auf Spec A. Simply hat jedes Hauptideal P ein entsprechendes Rückstand-Feld, das das Feld von Bruchteilen des Quotienten ist, haben A/P und jedes Element von A ein Nachdenken in diesem Rückstand-Feld. Außerdem sind die Elemente, die wirklich in P sind, genau diejenigen, deren Nachdenken an P verschwindet. So, wenn wir an die Karte denken, die zu einem Element A vereinigt ist:

("Einschätzung"), der jedem Punkt sein Nachdenken im Rückstand-Feld dort, als eine Funktion auf der Spekulation zuteilt (dessen Werte zugegebenermaßen in verschiedenen Feldern an verschiedenen Punkten liegen) dann verschwindet diese Funktion genau an den Punkten V ((a)). Mehr allgemein V (I) für jedes Ideal bin ich das Standardset, auf dem alle "Funktionen" in mir verschwinde, der der klassischen Definition formell ähnlich ist. Tatsächlich stimmen sie im Sinn zu, dass, wenn A der Ring von Polynomen über ein algebraisch geschlossenes Feld k ist, die maximalen Ideale von A (wie besprochen, im vorherigen Paragrafen) identifiziert mit N-Tupeln von Elementen von k sind, sind ihre Rückstand-Felder gerade k, und die "Einschätzungs"-Karten sind wirklich Einschätzung von Polynomen an den entsprechenden N-Tupeln. Seitdem, wie gezeigt, oben ist die klassische Definition im Wesentlichen die moderne Definition mit nur maximalen betrachteten Idealen, das zeigt, dass die Interpretation der modernen Definition als "Nullsätze von Funktionen" mit der klassischen Definition übereinstimmt, wo sie beide Sinn haben.

Da Spekulation affine Varianten ersetzt, ersetzt der Aufbau von Proj projektive Varianten in der modernen algebraischen Geometrie. Ebenso im klassischen Fall, um uns vom affine bis die projektive Definition zu bewegen, müssen wir nur "Ideal" durch das "homogene Ideal" ersetzen, obwohl es eine Komplikation gibt, die das "irrelevante maximale Ideal einschließt," der im zitierten Artikel besprochen wird.

Beispiele

• Spekulation k, das Spektrum eines Feldes k ist der topologische Raum mit einem Element.
• Spekulation ℤ das Spektrum der ganzen Zahlen hat einen geschlossenen Punkt für jede Primzahl p entsprechend dem maximalen Ideal (p)  ℤ und ein nichtgeschlossener allgemeiner Punkt (d. h., dessen Verschluss der ganze Raum ist), entsprechend dem Nullideal (0). So die geschlossenen Teilmengen der Spekulation ℤ sind genau begrenzte Vereinigungen von geschlossenen Punkten und dem ganzen Raum.
• Spekulation k [t], das Spektrum des polynomischen Rings über ein Feld k, der auch, die affine Linie angezeigt wird: Wie man bekannt, ist der polynomische Ring ein ideales Hauptgebiet, und die nicht zu vereinfachenden Polynome sind die Hauptelemente von k [t]. Wenn k, zum Beispiel das Feld von komplexen Zahlen algebraisch geschlossen wird, ist ein nichtunveränderliches Polynom nicht zu vereinfachend, wenn, und nur wenn es, der Form t &minus geradlinig ist; a, für ein Element k. Also, das Spektrum besteht aus einem geschlossenem Punkt für jedes Element k und eines allgemeinen Punkts entsprechend dem Nullideal. Wenn k, zum Beispiel das Feld von reellen Zahlen nicht algebraisch geschlossen wird, wird das Bild mehr kompliziert wegen der Existenz von nichtlinearen nicht zu vereinfachenden Polynomen. Zum Beispiel, das Spektrum ℝ [t] besteht aus geschlossenen Punkten (x − a), für in ℝ (x + px + q), wo p, q in &#8477 sind; und mit negativem discriminant p − 4q Räume: in Anbetracht zwei Punkte P, Q, die Hauptideale von A sind, enthalten mindestens ein von ihnen den anderen nicht, sagen P. Dann D enthält (Q) P, aber, natürlich, nicht Q.

Ebenso in der klassischen algebraischen Geometrie, jedem Spektrum oder dem projektiven Spektrum ist kompakt, und wenn der fragliche Ring Noetherian dann ist, ist der Raum ein Raum von Noetherian. Jedoch sind diese Tatsachen gegenintuitiv: Wir erwarten offene Sätze, außer verbundenen Bestandteilen nicht normalerweise, um, und für affine Varianten kompakt zu sein (zum Beispiel, Euklidischer Raum) wir nehmen nicht sogar an, dass der Raum selbst kompakt ist. Das ist ein Beispiel der geometrischen Unangemessenheit der Topologie von Zariski. Grothendieck hat dieses Problem behoben, indem er den Begriff der Richtigkeit eines Schemas definiert hat (wirklich, eines morphism von Schemas), der die intuitive Idee von der Kompaktheit wieder erlangt: Proj ist richtig, aber Spekulation ist nicht.

Siehe auch

• Spektrum eines Rings
• Geisterhafter Raum