In der Physik ist Maß invariance (auch genannt Maß-Symmetrie) das Eigentum einer Feldtheorie in der verschiedene Konfigurationen der zu Grunde liegenden Felder — sind die nicht selbst direkt erkennbar — laufen auf identische erkennbare Mengen hinaus. Eine Theorie mit solch einem Eigentum wird eine Maß-Theorie genannt. Eine Transformation von einer solcher Feldkonfiguration bis einen anderen wird eine Maß-Transformation genannt.

Moderne physische Theorien beschreiben Wirklichkeit in Bezug auf Felder, z.B, das elektromagnetische Feld, das Schwerefeld und die Felder für das Elektron und alle anderen elementaren Partikeln. Eine allgemeine Eigenschaft dieser Theorien ist, dass keines dieser grundsätzlichen Felder, die die Felder sind, die sich unter einer Maß-Transformation ändern, direkt gemessen werden kann. Andererseits, die erkennbaren Mengen, ändern sich nämlich diejenigen, die experimentell — Anklagen, Energien, Geschwindigkeiten usw. gemessen werden können — unter einer Maß-Transformation nicht, wenn auch sie aus den Feldern abgeleitet werden, die sich wirklich ändern. Das (und irgendwelcher) Art von invariance unter einer Transformation wird eine Symmetrie genannt.

Zum Beispiel im klassischen Elektromagnetismus ist das elektrische Feld, E, und das magnetische Feld, B, erkennbar, während die zu Grunde liegenden und grundsätzlicheren elektromagnetischen Potenziale V und der A nicht sind. Unter einer Maß-Transformation, die gemeinsam die zwei Potenziale verändert, kommt keine Änderung entweder in E oder in B oder in der Bewegung von beladenen Partikeln vor. In diesem Beispiel war die Maß-Transformation gerade eine mathematische Eigenschaft ohne jede physische Bedeutung, außer dass Maß invariance mit dem grundsätzlichen Gesetz der Anklage-Bewahrung wirklich verbunden wird.

Mit dem Advent der Quant-Mechanik in den 1920er Jahren, und mit aufeinander folgenden Fortschritten in der Quant-Feldtheorie ist die Wichtigkeit von Maß-Transformationen fest gewachsen. Maß-Theorien beschränken die Gesetze der Physik, weil alle durch eine Maß-Transformation veranlassten Änderungen einander, wenn geschrieben, in Bezug auf erkennbare Mengen annullieren müssen. Über den Kurs des 20. Jahrhunderts haben Physiker allmählich begriffen, dass alle Kräfte (grundsätzliche Wechselwirkungen) aus den Einschränkungen entstehen, die durch das lokale Maß symmetries auferlegt sind, in welchem Fall sich die Transformationen vom Punkt bis Punkt in der Zeit und Raum ändern. Quant-Feldtheorie von Perturbative (gewöhnlich verwendet, um Theorie zu streuen), beschreibt Kräfte in Bezug auf die Kraft, die Partikeln genannt Maß bosons vermittelt. Die Natur dieser Partikeln wird durch die Natur der Maß-Transformationen bestimmt. Der Höhepunkt dieser Anstrengungen ist das Standardmodell, eine Quant-Feldtheorie, alle grundsätzlichen Wechselwirkungen außer dem Ernst erklärend.

Geschichte und Wichtigkeit

Die frühste Feldtheorie, die eine Maß-Symmetrie hat, war die Formulierung von Maxwell der Elektrodynamik 1864. Die Wichtigkeit von dieser Symmetrie ist unbemerkt in den frühsten Formulierungen geblieben. Ähnlich unbemerkt hatte Hilbert die Gleichungen von Einstein der allgemeinen Relativität durch das Verlangen einer Symmetrie unter jeder Änderung von Koordinaten abgeleitet. Späterer Hermann Weyl, in einem Versuch, allgemeine Relativität und Elektromagnetismus zu vereinigen, hat gemutmaßt (falsch, weil es sich erwiesen hat), dass invariance unter der Änderung der Skala (oder "Maß") auch eine lokale Symmetrie der allgemeinen Relativität sein könnte. Obwohl die Wahl von Weyl des Maßes falsch war, ist der Name "Maß" bei der Annäherung geblieben. Nach der Entwicklung der Quant-Mechanik haben Weyl, Fock und London ihre Maß-Wahl modifiziert, indem sie den Einteilungsfaktor durch eine Änderung der Welle-Phase ersetzt haben, und es erfolgreich auf den Elektromagnetismus angewandt haben. Maß-Symmetrie wurde mathematisch 1954 von Chen Ning Yang und Robert Mills in einem Versuch verallgemeinert, die starken Kernkräfte zu beschreiben. Diese Idee, synchronisierte Yang-Mühlen, hat später Anwendung in der Quant-Feldtheorie der schwachen Kraft und seine Vereinigung mit dem Elektromagnetismus in der electroweak Theorie gefunden.

Die Wichtigkeit von Maß-Theorien für die Physik stammt von ihrem enormen Erfolg in der Versorgung eines vereinigten Fachwerks, um das mit dem Quant mechanische Verhalten des Elektromagnetismus, der schwachen Kraft und der starken Kraft zu beschreiben. Diese Maß-Theorie, die als das Standardmodell bekannt ist, beschreibt genau experimentelle Vorhersagen bezüglich drei der vier grundsätzlichen Kräfte der Natur.

In der klassischen Physik

Elektromagnetismus

Historisch war das erste Beispiel der zu entdeckenden Maß-Symmetrie klassischer Elektromagnetismus. Ein statisches elektrisches Feld kann in Bezug auf ein elektrisches Potenzial (Stromspannung) beschrieben werden, die an jedem Punkt im Raum definiert wird, und in der praktischen Arbeit es herkömmlich ist, um die Erde als eine physische Verweisung zu nehmen, die das Nullniveau des Potenzials oder Boden definiert. Aber nur Unterschiede im Potenzial sind physisch messbar, der der Grund ist, dass ein Voltmeter zwei Untersuchungen haben muss, und nur den Stromspannungsunterschied zwischen ihnen melden kann. So konnte man beschließen, alle Stromspannungsunterschiede hinsichtlich eines anderen Standards, aber nicht die Erde zu definieren, auf die Hinzufügung eines unveränderlichen Ausgleichs hinauslaufend. Wenn das Potenzial eine Lösung der Gleichungen von Maxwell dann ist, nachdem diese Maß-Transformation, das neue Potenzial auch eine Lösung der Gleichungen von Maxwell ist und kein Experiment zwischen diesen zwei Lösungen unterscheiden kann. Mit anderen Worten sind die Gesetze der Physik-Regierungselektrizität und des Magnetismus (d. h. Gleichungen von Maxwell) invariant unter der Maß-Transformation. D. h. die Gleichungen von Maxwell haben eine Maß-Symmetrie.

Von der statischen Elektrizität bis Elektromagnetismus verallgemeinernd, haben wir ein zweites Potenzial, das magnetische Vektor-Potenzial A, der auch Maß-Transformationen erleben kann. Diese Transformationen können auch lokal sein. D. h. anstatt eine Konstante auf V hinzuzufügen, kann man eine Funktion hinzufügen, die verschiedene Werte an verschiedenen Punkten in der Zeit und Raum übernimmt. Wenn A auch auf bestimmte entsprechende Weisen, dann derselbe E und B Feldergebnis geändert wird. Die ausführliche mathematische Beziehung zwischen den Feldern E und B und den Potenzialen V und dem A wird im Befestigen des Artikels Gauge zusammen mit der genauen Behauptung der Natur der Maß-Transformation gegeben. Der relevante Punkt hier ist, dass die Felder dasselbe unter der Maß-Transformation bleiben, und deshalb die Gleichungen von Maxwell noch zufrieden sind.

Maß-Symmetrie ist nah verbunden, um Bewahrung zu beladen. Nehmen Sie an, dass dort etwas Prozess bestanden hat, durch den Bewahrung der Anklage, mindestens provisorisch, durch das Schaffen einer Anklage q an einem bestimmten Punkt im Raum, 1, das Bewegen davon zu einem anderen Punkt 2, und dann das Zerstören davon verletzen konnte. Wir könnten uns vorstellen, dass dieser Prozess mit der Bewahrung der Energie im Einklang stehend war. Wir konnten eine Regel postulieren feststellend, dass das Schaffen der Anklage einen Eingang der Energie verlangt hat, haben E=qV und das Zerstören davon E=qV veröffentlicht, der natürlich scheinen würde, da qV die Extraenergie misst, die im elektrischen Feld wegen der Existenz einer Anklage an einem bestimmten Punkt versorgt ist. (Es kann auch Energie vereinigt z.B mit der Rest-Masse der Partikel geben, aber das ist für das gegenwärtige Argument nicht wichtig.) Die Bewahrung der Energie wäre zufrieden, weil die Nettoenergie, die durch die Entwicklung und Zerstörung der Partikel, qV-qV veröffentlicht ist, der geleisteten Arbeit im Bewegen der Partikel von 1 bis 2, qV-qV gleich sein würde. Aber obwohl dieses Drehbuch Bewahrung der Energie birgt, verletzt es Maß-Symmetrie. Maß-Symmetrie verlangt, dass die Gesetze der Physik invariant unter der Transformation sind, die andeutet, dass kein Experiment im Stande sein sollte, das absolute Potenzial ohne Berücksichtigung eines Außenstandards wie ein elektrischer Boden zu messen. Aber die vorgeschlagenen Regeln, die E=qV und E=qV für die Energien der Entwicklung und Zerstörung einem Experimentator erlauben würden, das absolute Potenzial einfach durch die Überprüfung zu bestimmen, wie viel Energieeingang erforderlich war, um die Anklage q an einem besonderen Punkt im Raum zu schaffen. Der Beschluss besteht darin, dass, wenn Maß-Symmetrie hält, und Energie erhalten wird, dann stürmen Sie muss erhalten werden.

Allgemeine Relativität

Wie besprochen, oben, die Maß-Transformationen für den klassischen (d. h., Nichtquant mechanisch) allgemeine Relativität sind willkürliche Koordinatentransformationen. (Technisch müssen die Transformationen invertible sein, und sowohl die Transformation als auch sein Gegenteil müssen glatt sein, im Sinne, differentiable eine beliebige Zahl von Zeiten zu sein.)

Ein Beispiel einer Symmetrie in einer physischen Theorie: Übersetzung invariance

Einige globale symmetries unter Änderungen der Koordinate datieren sowohl allgemeine Relativität als auch das Konzept eines Maßes zurück. Zum Beispiel wurde Übersetzung invariance im Zeitalter von Galileo eingeführt, der das Aristotelische Konzept beseitigt hat, dass verschiedene Plätze im Raum, wie die Erde und der Himmel, verschiedenen physischen Regeln gefolgt haben.

Nehmen Sie zum Beispiel an, dass ein Beobachter die Eigenschaften eines Wasserstoffatoms auf der Erde, dem anderen — auf dem Mond untersucht (oder jeder andere Platz im Weltall), wird der Beobachter finden, dass ihre Wasserstoffatome völlig identische Eigenschaften ausstellen. Wieder, wenn ein Beobachter ein Wasserstoffatom heute und den anderen — vor 100 Jahren untersucht hatte (oder jede andere Zeit mit der Vergangenheit oder mit der Zukunft), würden die zwei Experimente wieder völlig identische Ergebnisse erzeugen. Der invariance der Eigenschaften eines Wasserstoffatoms in Bezug auf die Zeit und den Platz, wo diese Eigenschaften untersucht wurden, wird Übersetzung invariance genannt.

Das Zurückrufen unserer zwei Beobachter von verschiedenen Altern: Die Zeit mit ihren Experimenten wird um 100 Jahre ausgewechselt. Wenn die Zeit, als der ältere Beobachter den Versuch angestellt hat, t war, ist die Zeit des modernen Experimentes t+100 Jahre. Beide Beobachter entdecken dieselben Gesetze der Physik. Weil das Licht von Wasserstoffatomen in entfernten Milchstraßen die Erde erreichen kann, über den Raum seit Milliarden von Jahren gereist, tatsächlich kann man solche Beobachtungen tun, die Zeitspannen fast den ganzen Weg zurück zum Urknall bedecken, und sie haben gezeigt, dass die Gesetze der Physik immer dasselbe gewesen waren.

Mit anderen Worten, wenn in der Theorie wir die Zeit t zu t+100 Jahren ändern (oder tatsächlich jede andere Zeitverschiebung), ändern sich die theoretischen Vorhersagen nicht.

Ein anderes Beispiel einer Symmetrie: der invariance der Feldgleichung von Einstein unter willkürlichen Koordinatentransformationen

In der allgemeinen Relativität von Einstein sind Koordinaten wie x, y, z, und t nicht nur "Verwandter" im globalen Sinn von Übersetzungen wie, Folgen usw., aber werden völlig willkürlich, so dass zum Beispiel man eine völlig neue Zeitmäßigkoordinate gemäß einer willkürlichen Regel solcher als definieren kann, wo Einheiten der Zeit hat, und noch die Gleichungen von Einstein dieselbe Form haben werden.

Invariance der Form einer Gleichung unter einer willkürlichen Koordinatentransformation wird gewöhnlich allgemeine Kovarianz genannt, und Gleichungen mit diesem Eigentum werden geschrieben in der kovarianten Form genannt. Allgemeine Kovarianz ist eine Unterklasse des Maßes invariance.

Die Gleichungen von Maxwell können auch in einer allgemein kovarianten Form ausgedrückt werden, die als invariant unter der allgemeinen Koordinatentransformation als die Feldgleichung von Einstein ist.

In der Quant-Mechanik

Quant-Elektrodynamik

Bis zum Advent der Quant-Mechanik war das einzige weithin bekannte Beispiel der Maß-Symmetrie im Elektromagnetismus, und die allgemeine Bedeutung des Konzepts wurde nicht völlig verstanden. Zum Beispiel war es nicht klar, ob es die Felder E und B oder die Potenziale V und war, die die grundsätzlichen Mengen waren; wenn der erstere, dann konnten die Maß-Transformationen als nichts anderes als ein mathematischer Trick betrachtet werden.

Aharonov-Bohm Experiment

In der Quant-Mechanik, jedoch, wird eine Partikel wie ein Elektron auch als eine Welle beschrieben. Zum Beispiel, wenn das Experiment des doppelten Schlitzes mit Elektronen durchgeführt wird, dann wird ein Welle ähnliches Einmischungsmuster beobachtet. Das Elektron hat die höchste Wahrscheinlichkeit, an Positionen entdeckt zu werden, wo die Teile der Welle, die die zwei Schlitze durchführt, in der Phase miteinander sind, auf konstruktive Einmischung hinauslaufend. Die Frequenz der Elektronwelle ist mit der kinetischen Energie einer individuellen Elektronpartikel über die mit dem Quant mechanische Beziehung E=hf verbunden. Wenn es keine elektrische oder magnetische Feldgegenwart in diesem Experiment gibt, dann ist die Energie des Elektrons, und zum Beispiel unveränderlich, es wird eine hohe Wahrscheinlichkeit geben, das Elektron entlang der Hauptachse des Experimentes zu entdecken, wo durch die Symmetrie die zwei Teile der Welle in der Phase sind.

Aber nehmen Sie jetzt an, dass die Elektronen im Experiment elektrischen oder magnetischen Feldern unterworfen sind. Zum Beispiel, wenn ein elektrisches Feld einer Seite der Achse, aber nicht auf dem anderen auferlegt würde, würden die Ergebnisse des Experimentes betroffen. Der Teil der Elektronwelle, die diese Seite durchführt, schwingt an einer verschiedenen Rate, seitdem seine Energie dazu hinzugefügten-eV gehabt hat, wo-e die Anklage des Elektrons und V das elektrische Potenzial ist. Die Ergebnisse des Experimentes werden verschieden sein, weil sich Phase-Beziehungen zwischen den zwei Teilen der Elektronwelle geändert haben, und deshalb die Positionen der konstruktiven und zerstörenden Einmischung zu einer Seite oder dem anderen ausgewechselt werden. Es ist das elektrische Potenzial, das hier, nicht das elektrische Feld vorkommt, und das eine Manifestation der Tatsache ist, dass es die Potenziale und nicht die Felder sind, die der grundsätzlichen Bedeutung in der Quant-Mechanik sind.

Erklärung mit Potenzialen

Es ist sogar möglich, Fälle zu haben, in denen sich Ergebnisse eines Experimentes unterscheiden, wenn die Potenziale geändert werden, selbst wenn keine beladene Partikel jemals zu einem verschiedenen Feld ausgestellt wird. Ein solches Beispiel ist die Aharonov-Bohm Wirkung, die in der Zahl gezeigt ist. In diesem Beispiel, das Solenoid anmachend, veranlasst nur ein magnetisches Feld B, innerhalb des Solenoides zu bestehen. Aber das Solenoid ist eingestellt worden, so dass das Elektron sein Interieur nicht vielleicht durchführen kann. Wenn man glauben würde, dass die Felder die grundsätzlichen Mengen waren, dann würde man erwarten, dass die Ergebnisse des Experimentes unverändert sein würden. In Wirklichkeit sind die Ergebnisse verschieden, weil das Anmachen des Solenoides das Vektor-Potenzial im Gebiet geändert hat, das die Elektronen wirklich durchführen. Jetzt wo es gegründet worden ist, dass es die Potenziale V und sind, die, und nicht die Felder E und B grundsätzlich sind, können wir sehen, dass die Maß-Transformationen, die sich V und A ändern, echte physische Bedeutung haben, anstatt bloß mathematische Kunsterzeugnisse zu sein.

Maß invariance: Die Ergebnisse der Experimente sind auf der Wahl des Maßes für die Potenziale unabhängig

Bemerken Sie, dass in diesen Experimenten die einzige Menge, die das Ergebnis betrifft, der Unterschied in der Phase zwischen den zwei Teilen der Elektronwelle ist. Nehmen Sie an, dass wir uns die zwei Teile der Elektronwelle als winzige Uhren, jeder mit einer einzelnen Hand vorstellen, die ringsherum in einem Kreis, dem Nachgehen seiner eigenen Phase kehrt. Obwohl dieser Cartoon einige technische Details ignoriert, behält er die physischen Phänomene, die hier wichtig sind. Wenn beide Uhren durch denselben Betrag beschleunigt werden, ist die Phase-Beziehung zwischen ihnen unverändert, und die Ergebnisse von Experimenten sind dasselbe. Nicht nur, dass, aber es nicht sogar notwendig ist, die Geschwindigkeit jeder Uhr durch einen festen Betrag zu ändern. Wir konnten den Winkel der Hand auf jede Uhr durch einen unterschiedlichen Betrag θ ändern, wo θ sowohl von der Position im Raum als auch rechtzeitig abhängen konnte. Das würde keine Wirkung auf das Ergebnis des Experimentes haben, da die Endbeobachtung der Position des Elektrons an einem einzelnen Platz und Zeit vorkommt, so dass die Phase-Verschiebung in "der Uhr" jedes Elektrons dasselbe sein würde, und die zwei Effekten annullieren würden. Das ist ein anderes Beispiel einer Maß-Transformation: Es ist lokal, und es ändert die Ergebnisse von Experimenten nicht.

Zusammenfassung

In der Zusammenfassung erreicht Maß-Symmetrie seine volle Wichtigkeit im Zusammenhang der Quant-Mechanik. In der Anwendung der Quant-Mechanik zum Elektromagnetismus, d. h., Quant-Elektrodynamik, gilt Maß-Symmetrie sowohl für elektromagnetische Wellen als auch für Elektronwellen. Diese Zwei-Maß-symmetries sind tatsächlich vertraut verbunden. Wenn eine Maß-Transformation θ auf die Elektronwellen zum Beispiel angewandt wird, dann muss man auch eine entsprechende Transformation auf die Potenziale anwenden, die die elektromagnetischen Wellen beschreiben. Maß-Symmetrie ist erforderlich, um Quant-Elektrodynamik eine renormalizable Theorie, d. h., diejenige zu machen, in der die berechneten Vorhersagen aller physisch messbaren Mengen begrenzt sind.

Typen des Maßes symmetries

Die Beschreibung der Elektronen im Paragraph über so wenigen Uhren ist tatsächlich eine Erklärung der mathematischen Regeln, gemäß denen die Phasen von Elektronen hinzugefügt und abgezogen werden sollen: Sie sollen als gewöhnliche Zahlen behandelt werden, außer dass im Fall, wo das Ergebnis der Berechnung außerhalb der Reihe von 0 θ\fällt

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