Einheit quaternions stellt eine günstige mathematische Notation zur Verfügung, um Orientierungen und Folgen von Gegenständen in drei Dimensionen zu vertreten. Im Vergleich zu Euler-Winkeln sind sie einfacher, das Problem des Tragrahmen-Schlosses zusammenzusetzen und zu vermeiden. Im Vergleich zur Folge matrices sind sie mehr numerisch stabil und können effizienter sein. Quaternions haben ihren Weg in Anwendungen in Computergrafik, Computervision, Robotertechnik, Navigation, molekularer Dynamik, Flugdynamik gefunden. und Augenhöhlenmechanik von Satelliten.

Wenn verwendet, Folge zu vertreten, wird Einheit quaternions auch versors oder Folge quaternions genannt. Wenn verwendet, eine Orientierung (Folge hinsichtlich einer Bezugsposition) zu vertreten, werden sie Orientierung quaternions oder Einstellung quaternions genannt.

Folge-Operationen von Quaternion

Eine sehr formelle Erklärung der in dieser Abteilung verwendeten Eigenschaften wird von Altmann gegeben.

Der Hyperbereich von Folgen

Sich den Raum von Folgen vergegenwärtigend

Einheit quaternions vertritt den mathematischen Raum von Folgen in drei Dimensionen auf eine sehr aufrichtige Weise. Die Ähnlichkeit zwischen Folgen und quaternions kann verstanden werden, indem sie zuerst den Raum von Folgen selbst vergegenwärtigt wird.

Um sich den Raum von Folgen zu vergegenwärtigen, hilft er, einen einfacheren Fall in Betracht zu ziehen. Jede Folge in drei Dimensionen kann durch eine Folge durch einen Winkel über eine Achse beschrieben werden. Ziehen Sie den speziellen Fall in Betracht, in dem die Achse der Folge im xy Flugzeug liegt. Wir können dann die Achse von einer dieser Folgen durch einen Punkt auf einem Kreis angeben, und wir können den Radius des Kreises verwenden, um den Winkel der Folge anzugeben. Ähnlich kann eine Folge, deren Achse der Folge im xy Flugzeug liegt, als ein Punkt auf einem Bereich des festen Radius in drei Dimensionen beschrieben werden. Am Nordpol eines Bereichs im dreidimensionalen Raum beginnend, geben wir den Punkt am Nordpol an, um die Identitätsfolge (eine Nullwinkelfolge) zu sein. Ebenso im Fall von der Identitätsfolge wird keine Achse der Folge definiert, und der Winkel der Folge (Null) ist irrelevant. Eine Folge, die einen sehr kleinen Drehwinkel hat, kann durch eine Scheibe durch die Bereich-Parallele zum xy Flugzeug und sehr in der Nähe vom Nordpol angegeben werden. Der durch diese Scheibe definierte Kreis wird entsprechend dem kleinen Winkel der Folge sehr klein sein. Da die Drehwinkel größer, die Scheibe-Bewegungen in der negativen z Richtung werden, und die Kreise größer werden, bis der Äquator des Bereichs erreicht wird, der einem Drehwinkel von 180 Graden entsprechen wird. Südwärts weitergehend, werden die Radien der Kreise jetzt kleiner (entsprechend dem absoluten Wert des Winkels der Folge betrachtet als eine negative Zahl). Schließlich, weil der Südpol erreicht wird, weichen die Kreise noch einmal zur Identitätsfolge zurück, die auch als der Punkt am Südpol angegeben wird.

Bemerken Sie, dass mehrere Eigenschaften solcher Folgen und ihrer Darstellungen durch diese Vergegenwärtigung gesehen werden können. Der Raum von Folgen ist dauernd, jede Folge hat eine Nachbarschaft von Folgen, die fast dasselbe sind, und diese Nachbarschaft flach wird, weil die Nachbarschaft zurückweicht. Außerdem wird jede Folge wirklich durch zwei antipodische Punkte auf dem Bereich vertreten, die an entgegengesetzten Enden einer Linie durch das Zentrum des Bereichs sind. Das widerspiegelt die Tatsache, dass jede Folge als eine Folge über eine Achse, oder gleichwertig als eine negative Folge über eine Achse vertreten werden kann, die in der entgegengesetzten Richtung (ein so genannter doppelter Deckel) hinweist. Die "Breite" eines Kreises, der einen besonderen Drehwinkel vertritt, wird Hälfte des Winkels sein, der durch diese Folge seitdem vertreten ist, weil der Punkt aus dem Norden zum Südpol, den Breite-Reihen von der Null bis 180 Grade bewegt wird, während sich der Winkel der Folge von 0 bis 360 Grade erstreckt. (die "Länge" eines Punkts vertritt dann eine besondere Achse der Folge.) Bemerken jedoch, dass dieser Satz von Folgen unter der Zusammensetzung nicht geschlossen wird. Zwei aufeinander folgende Folgen mit Äxten im xy Flugzeug werden keine Folge notwendigerweise geben, deren Achse im xy Flugzeug liegt, und so als ein Punkt auf dem Bereich nicht vertreten werden kann. Das wird mit einer allgemeinen Folge im 3-Räume-nicht der Fall sein, in dem Folgen wirklich einen geschlossenen Satz unter der Zusammensetzung bilden.

Diese Vergegenwärtigung kann zu einer allgemeinen Folge in 3 dimensionalem Raum erweitert werden. Die Identitätsfolge ist ein Punkt, und ein kleiner Winkel der Folge über eine Achse kann als ein Punkt auf einem Bereich mit einem kleinen Radius vertreten werden. Als der Winkel der Folge wächst, wächst der Bereich, bis der Winkel der Folge 180 Grade erreicht, an dem Punkt der Bereich beginnt, zurückzuweichen, ein Punkt werdend, weil sich der Winkel 360 Graden (oder Nullgraden von der negativen Richtung) nähert. Dieser Satz der Erweiterung und des Zusammenziehens von Bereichen vertritt einen Hyperbereich in vier dimensionalem Raum (ein 3-Bereiche-). Ebenso im einfacheren Beispiel oben jede vertretene Folge weil wird ein Punkt auf dem Hyperbereich durch seinen antipodischen Punkt auf diesem Hyperbereich verglichen. Die "Breite" auf dem Hyperbereich wird Hälfte des entsprechenden Winkels der Folge sein, und die Nachbarschaft jedes Punkts wird "flacher" werden (d. h. durch einen 3. Euklidischen Raum von Punkten vertreten werden), weil die Nachbarschaft zurückweicht. Dieses Verhalten wird durch den Satz der Einheit quaternions verglichen: Ein allgemeiner quaternion vertritt einen Punkt in einem vier dimensionalen Raum, aber das Begrenzen davon, Einheitsumfang zu haben, gibt eine dreidimensionale Raumentsprechung zur Oberfläche eines Hyperbereichs nach. Der Umfang der Einheit quaternion wird Einheit entsprechend einem Hyperbereich des Einheitsradius sein. Der Vektor-Teil einer Einheit quaternion vertritt den Radius des 2-Bereiche-entsprechend der Achse der Folge, und sein Umfang ist der Kosinus der Hälfte des Winkels der Folge. Jede Folge wird durch zwei Einheit quaternions des entgegengesetzten Zeichens vertreten, und, weil im Raum von Folgen in drei Dimensionen das quaternion Produkt von zwei Einheit quaternions eine Einheit quaternion nachgeben wird. Außerdem ist der Raum der Einheit quaternions in jeder unendlich kleinen Nachbarschaft einer gegebenen Einheit quaternion "flach".

Das Parameterisieren des Raums von Folgen

Wir können die Oberfläche eines Bereichs mit zwei Koordinaten, wie Breite und Länge parametrisieren. Aber Breite und Länge sind (degeneriert) an den Nord- und Südpolen unartig, obwohl die Pole von irgendwelchen anderen Punkten auf dem Bereich nicht wirklich verschieden sind. An den Polen (Breiten +90 ° und 90 °) wird die Länge sinnlos.

Es kann gezeigt werden, dass kein Zwei-Parameter-Koordinatensystem solche Entartung vermeiden kann. Wir können solche Probleme vermeiden, indem wir den Bereich im dreidimensionalen Raum einbetten und es mit drei Kartesianischen Koordinaten parametrisieren, den Nordpol an, der Südpol an, und der Äquator an legend. Punkte auf dem Bereich befriedigen die Einschränkung, so haben wir noch gerade zwei Grade der Freiheit, obwohl es drei Koordinaten gibt. Ein Punkt auf dem Bereich vertritt eine Folge im gewöhnlichen Raum um die horizontale Achse, die durch den Vektoren durch einen Winkel geleitet ist.

Ebenso kann der hyperkugelförmige Raum von 3D-Folgen durch drei Winkel parametrisiert werden (Winkel von Euler), aber jeder solcher parameterization ist an einigen Punkten auf dem Hyperbereich degeneriert, zum Problem des Tragrahmen-Schlosses führend. Wir können das vermeiden, indem wir vier Euklidische Koordinaten, damit verwenden. Der Punkt vertritt eine Folge um die Achse, die durch den Vektoren durch einen Winkel geleitet ist

Von den Folgen bis den quaternions

Quaternions kurz

Die komplexen Zahlen können durch das Einführen eines unbekannten Zeichens i definiert werden, der die üblichen Regeln der Algebra und zusätzlich die Regel i = 1 befriedigt. Das ist genügend, um alle Regeln der Arithmetik der komplexen Zahl wieder hervorzubringen: zum Beispiel:

:.

Ebenso kann der quaternions durch das Einführen von unbekannten Zeichen i, j, k definiert werden, die die Regeln i = j = k = ijk = 1 befriedigen und die üblichen algebraischen Regeln außer dem Ersatzgesetz der Multiplikation (ein vertrautes Beispiel solch einer Nichtersatzmultiplikation Matrixmultiplikation ist). Davon folgen alle Regeln der quaternion Arithmetik: Zum Beispiel kann man dass zeigen:

:.

Der imaginäre Teil eines quaternion benimmt sich wie ein Vektor in drei Dimensionsvektorraum, und der echte Teil a benimmt sich wie ein Skalar darin. Wenn quaternions in der Geometrie verwendet werden, ist es günstiger, sie als ein Skalar plus ein Vektor zu definieren:

:.

Diejenigen, die Vektoren in der Schule studiert haben, könnten es sonderbar finden, eine Zahl zu einem Vektoren hinzuzufügen, weil sie Gegenstände der sehr verschiedenen Natur sind, oder zwei Vektoren zusammen zu multiplizieren, weil diese Operation gewöhnlich unbestimmt ist. Jedoch, wenn man sich erinnert, dass es eine bloße Notation für die echten und imaginären Teile eines quaternion ist, wird es legitimer. Mit anderen Worten ist das richtige Denken die Hinzufügung von zwei quaternions, ein mit dem Nullvektoren / imaginären Teil und einem anderem mit dem skalaren/echten Nullteil:

:.

Wir können quaternion Multiplikation auf der modernen Sprache des Vektoren böse und Punktprodukte ausdrücken (die wirklich durch den quaternions an erster Stelle begeistert wurden). Im Platz der Regeln i = j = k = ijk = 1 haben wir die quaternion Multiplikationsregel:

:

wo:

• ist der resultierende quaternion,

• ist Vektor-Kreuzprodukt (ein Vektor),

• ist Vektor-Skalarprodukt (ein Skalar).

Multiplikation von Quaternion ist nichtauswechselbar (wegen des Kreuzproduktes, das antipendelt), während Skalarskalar und Skalarvektor-Multiplikationen pendeln. Aus diesen Regeln folgt es sofort dass (sieh Details):

:.

(Verlassen und Recht) multiplicative umgekehrt oder gegenseitig einer Nichtnull wird quaternion durch das zur Norm verbundene Verhältnis gegeben (sieh Details):

:

wie durch die direkte Berechnung nachgeprüft werden kann.

Das Beschreiben von Folgen mit quaternions

Lassen Sie, die Koordinaten einer Folge durch &alpha zu sein; um die Achse, wie vorher beschrieben. Definieren Sie den quaternion

:

wo ein Einheitsvektor ist. Lassen Sie auch, ein gewöhnlicher Vektor im 3-dimensionalen Raum, betrachtet als ein quaternion mit einer echten der Null gleichen Koordinate zu sein. Dann kann es gezeigt werden (sieh folgenden Paragraph), dass das quaternion Produkt

:

wo das Gegenteil (equiv. verbunden) von q ist, gibt den Vektoren nach der Folge des ursprünglichen Vektoren durch einen Winkel &alpha nach; um die Achse. Die Folge besteht im Uhrzeigersinn darin, wenn unsere Gesichtslinie in der Richtung hinweist, die dadurch angespitzt ist. Diese Operation ist als Konjugation dadurch bekannt.

Hieraus folgt dass quaternion Multiplikation Zusammensetzung von Folgen, weil ist, wenn und quaternions das Darstellen von Folgen sind, dann ist Folge (Konjugation) dadurch

:

der dasselbe als rotieren lassend (das Konjugieren) durch und dann dadurch ist. Der Skalarbestandteil des Ergebnisses ist notwendigerweise Null-.

Das quaternion Gegenteil einer Folge ist die entgegengesetzte Folge seitdem. Das Quadrat einer quaternion Folge ist eine Folge durch zweimal den Winkel um dieselbe Achse. Mehr allgemein ist eine Folge vor Zeiten der Winkel um dieselbe Achse wie. Das kann zum echten willkürlichen erweitert werden, glatte Interpolation zwischen Raumorientierungen berücksichtigend; sieh Slerp.

Beweis der quaternion Folge-Identität

Lassen Sie, ein Einheitsvektor (die Drehachse) zu sein und zu lassen. Unsere Absicht ist, dem zu zeigen

:

gibt den Vektoren nach, der durch einen Winkel um die Achse rotieren gelassen ist. Sich ausbreitend, haben wir

:

\vec {v'} &=& \vec {v} \cos^2 \frac {\\Alpha} {2} + (\vec {u }\\vec {v} - \vec {v }\\vec {u}) \sin \frac {\\Alpha} {2} \cos \frac {\\Alpha} {2} - \vec {u }\\vec {v }\\vec {u} \sin^2 \frac {\\Alpha} {2} \\

&=& \vec {v} \cos^2 \frac {\\Alpha} {2} + 2 (\vec {u} \times \vec {v}) \sin \frac {\\Alpha} {2} \cos \frac {\\Alpha} {2} - (\vec {v} (\vec {u} \cdot \vec {u}) - 2 \vec {u} (\vec {u} \cdot \vec {v})) \sin^2 \frac {\\Alpha} {2} \\

&=& \vec {v} (\cos^2 \frac {\\Alpha} {2} - \sin^2 \frac {\\Alpha} {2}) + (\vec {u} \times \vec {v}) (2 \sin \frac {\\Alpha} {2} \cos \frac {\\Alpha} {2}) + \vec {u} (\vec {u} \cdot \vec {v}) (2 \sin^2 \frac {\\Alpha} {2}) \\

&=& \vec {v} \cos \alpha + (\vec {u} \times \vec {v}) \sin \alpha + \vec {u} (\vec {u} \cdot \vec {v}) (1 - \cos \alpha) \\

&=& (\vec {v} - \vec {u} (\vec {u} \cdot \vec {v})) \cos \alpha + (\vec {u} \times \vec {v}) \sin \alpha + \vec {u} (\vec {u} \cdot \vec {v}) \\

&=& \vec {v} _ {\\Funktionseinheit} \cos \alpha + (\vec {u} \times \vec {v} _ {\\Funktionseinheit}) \sin \alpha + \vec {v} _ {\\| }\

\end {Reihe} </Mathematik>

wo und die Bestandteile der Senkrechte und Parallele zu beziehungsweise sind. Das ist die Formel einer Folge durch ungefähr die Achse.

Beispiel

Die Konjugationsoperation

Denken Sie die Folge um die Achse, mit einem Drehwinkel von 120 ° oder radians.

:

Die Länge dessen ist, die Hälfte des Winkels ist (60 °) mit dem Kosinus ½, und Sinus, . Wir befassen uns deshalb mit einer Konjugation durch die Einheit quaternion

:

u

&=& \cos\frac {\\Alpha} {2} + \sin\frac {\\Alpha} {2 }\\cdot \frac {1} {\\| \vec {v} \| }\\vec {v }\\\

&=& \cos \frac {\\Pi} {3} + \sin \frac {\\Pi} {3 }\\cdot \frac {1} {\\sqrt {3} }\\vec {v }\\\

&=& \frac {1} {2} + \frac {\\sqrt {3}} {2 }\\cdot \frac {1} {\\sqrt {3} }\\vec {v }\\\

&=& \frac {1} {2} + \frac {\\sqrt {3}} {2 }\\cdot \frac {\\mathbf {ich} + \mathbf {j} + \mathbf {k}} {\\sqrt {3} }\\\

&=& \frac {1 + \mathbf {ich} + \mathbf {j} + \mathbf {k}} {2 }\

\end {Reihe} </Mathematik>

Wenn die Folge-Funktion, ist

:

Es kann bewiesen werden, dass das Gegenteil einer Einheit quaternion einfach durch das Ändern des Zeichens seiner imaginären Bestandteile erhalten wird. Demzufolge,

:und:

Das kann mit den gewöhnlichen Regeln für die quaternion Arithmetik zu vereinfacht werden

:

Wie erwartet, entspricht die Folge dem Halten eines Würfels gehalten befestigt einmal, und das Drehen davon 120 ° über die lange Diagonale durch den festen Punkt (beobachten Sie, wie die drei Äxte zyklisch permutiert werden).

Arithmetik von Quaternion in der Praxis

Wollen wir zeigen, wie wir das vorherige Ergebnis erreicht haben. Wollen wir den Ausdruck (in zwei Stufen) entwickeln, und die Regeln anwenden

:

\mathbf {ij} & = \mathbf {k}, & \mathbf {ji} & = \mathbf {-k}, \\

\mathbf {jk} & = \mathbf {ich}, & \mathbf {kj} & = \mathbf {-i}, \\

\mathbf {ki} & = \mathbf {j}, & \mathbf {ik} & = \mathbf {-j}, \\

\mathbf {ich} ^ {2} & = \mathbf {j} ^ {2} & = \mathbf {k} ^ {2} & =-1

\end {alignat} </Mathematik>

Es gibt uns:

:

f (a\mathbf {ich} + b\mathbf {j} + c\mathbf {k})

&=& \frac {1 + \mathbf {ich} + \mathbf {j} + \mathbf {k}} {2} (a\mathbf {ich} + b\mathbf {j} + c\mathbf {k}) \frac {1 - \mathbf {ich} - \mathbf {j} - \mathbf {k}} {2} \\

&=& \frac {1} {4} ((a\mathbf {ich} + b\mathbf {j} + c\mathbf {k}) + (-+ b\mathbf {k} - c\mathbf {j}) + (-a\mathbf {k} - b +c\mathbf {ich}) + (a\mathbf {j} - b\mathbf {ich} - c)) \\

&& (1 - \mathbf {ich} - \mathbf {j} - \mathbf {k}) \\

&=& \frac {1} {4} ((-a - b - c) + (-b + c) \mathbf {ich} + (+ b - c) \mathbf {j} + (-a + b + c) \mathbf {k}) \\

&& (1 - \mathbf {ich} - \mathbf {j} - \mathbf {k}) \\

&=& \frac {1} {4} (((-a - b - c) + (-b + c) \mathbf {ich} + (+ b - c) \mathbf {j} + (-a + b + c) \mathbf {k}) \\

&&+ ((+ b + c) \mathbf {ich} + (-b + c) + (+ b - c) \mathbf {k} + (-b - c) \mathbf {j}) \\

&&+ ((+ b + c) \mathbf {j} + (-a + b - c) \mathbf {k} + (+ b - c) + (-a + b + c) \mathbf {ich}) \\

&&+ ((+ b + c) \mathbf {k} + (-b + c) \mathbf {j} + (-a - b + c) \mathbf {ich} + (-a + b + c)) \\

&=& \frac {1} {4} (((-a - b - c) + (-b + c) + (+ b - c) + (-a + b + c)) \\

&&+ ((-b + c) + (+ b + c) + (-a + b + c) + (-a - b + c)) \mathbf {ich }\\\

&&+ ((+ b - c) + (-b - c) + (+ b + c) + (-b + c)) \mathbf {j }\\\

&&+ ((-a + b + c) + (+ b - c) + (-a + b - c) + (+ b + c)) \mathbf {k}) \\

&=& \frac {1} {4} (0 + 4c \mathbf {ich} + 4a \mathbf {j} + 4b \mathbf {k}) \\

&=&c \mathbf {ich} + a\mathbf {j} + b\mathbf {k }\

\end {Reihe} </Mathematik>

der das erwartete Ergebnis ist. Wie wir sehen können, ist solche Berechnung relativ lang und wenn getan, manuell langweilig; jedoch, in einem Computerprogramm, beläuft sich das auf das Benennen der quaternion Multiplikationsroutine zweimal.

Das Erklären der Eigenschaften von quaternion mit Folgen

Non-commutativity

Die Multiplikation von quaternions ist nichtauswechselbar. Seit der Multiplikation der Einheit entspricht quaternions der Zusammensetzung von dreidimensionalen Folgen, dieses Eigentum kann intuitiv durch die Vertretung gemacht werden, dass dreidimensionale Folgen im Allgemeinen nicht auswechselbar sind.

Setzen Sie zwei Bücher neben einander. Lassen Sie einen von ihnen 90 Grade im Uhrzeigersinn um die z Achse rotieren, dann schnipsen Sie es 180 Grade um die x Achse. Nehmen Sie das andere Buch, schnipsen Sie es 180 um die x Achse zuerst, und 90 im Uhrzeigersinn um z später. Die zwei Bücher enden Parallele nicht. Das zeigt, dass, im Allgemeinen, die Zusammensetzung von zwei verschiedenen Folgen ungefähr zwei verschiedene Raumäxte nicht pendeln werden.

Werden quaternions gereicht?

Bemerken Sie, dass sich quaternions, wie die Folgen oder das andere geradlinige verwandelt, werden (als im linkshändigen gegen den rechtshändigen) nicht "gereicht". Die Händigkeit eines Koordinatensystems kommt aus der Interpretation der Zahlen im physischen Raum. Egal was die Händigkeitstagung, den X Vektoren rotieren lassend, 90 Grade um den Z Vektoren werden den Y Vektoren — die Mathematik und Zahlen nachgeben, dasselbe ist.

Wechselweise, wenn quaternion- oder Richtungskosinus-Matrix als eine Folge von einem Rahmen bis einen anderen interpretiert wird, dann muss es entweder linkshändig oder rechtshändig sein. Zum Beispiel im obengenannten Beispiel, das den X Vektoren rotieren lässt, geben 90 Grade um den Z Vektoren den Y Vektoren nur nach, wenn Sie die Regel der rechten Hand verwenden. Wenn Sie eine Regel der linken Hand verwenden, würde das Ergebnis entlang dem negativen Y Vektoren sein. Transformationen von quaternion bis Richtungskosinus-Matrix geben häufig nicht an, ob der Eingang quaternion händig oder gereichtes Recht verlassen werden sollte. Es ist möglich, die Händigkeit des Algorithmus durch das Konstruieren eines einfachen quaternion von einem Vektoren und einem Winkel und das Annehmen richtiger Händigkeit zunächst zu bestimmen. Zum Beispiel, hat die Achse der Folge entlang der Z-Achse und einen Drehwinkel von 90 Graden. Passieren Sie diesen quaternion in den quaternion zum Matrixalgorithmus. Wenn das Endergebnis so unten gezeigt wird und Sie die Matrix interpretieren möchten wie rechtshändig, dann erwartet der Algorithmus einen rechtshändigen quaternion. Wenn das Endergebnis das Umstellen ist und Sie noch das Ergebnis als eine rechtshändige Matrix interpretieren wollen, dann müssen Sie den Algorithmus linkshändiger quaternions füttern. Um sich zwischen linkem und rechtshändigem quaternions umzuwandeln, verneinen einfach den Vektor-Teil des quaternion.

:

0 &1 &0 \\

- 1 &0 &0 \\

0 &0 &1 \\

\end {pmatrix} </Mathematik>

Quaternions und andere Darstellungen von Folgen

Qualitative Beschreibung der Vorteile von quaternions

Die Darstellung einer Folge als ein quaternion (4 Zahlen) ist kompakter als die Darstellung als eine orthogonale Matrix (9 Zahlen). Außerdem, für eine gegebene Achse und Winkel, kann man den entsprechenden quaternion, und umgekehrt für einen gegebenen quaternion leicht bauen, den man von der Achse und dem Winkel leicht lesen kann. Beide von diesen sind mit matrices oder Winkeln von Euler viel härter.

In Videospielen und anderen Anwendungen interessiert man sich häufig für "glatte Folgen", meinend, dass die Szene langsam rotieren sollte und nicht in einem Einzelschritt. Das kann durch die Auswahl einer Kurve wie die kugelförmige geradlinige Interpolation im quaternions mit einem Endpunkt vollbracht werden, der die Identitätstransformation 1 (oder eine andere anfängliche Folge) und der andere ist, die beabsichtigte Endfolge seiend. Das ist mit anderen Darstellungen von Folgen problematischer.

Wenn

sie mehrere Folgen auf einem Computer zusammensetzen, wachsen Rundungsfehler notwendigerweise an. Ein quaternion, von dem es ein bisschen noch ist, vertritt eine Folge, - eine Matrix normalisiert, von der es ein bisschen ist, kann nicht mehr orthogonal sein und ist härter, sich zurück zu einer richtigen orthogonalen Matrix umzuwandeln.

Quaternions vermeiden auch ein Phänomen genannt Tragrahmen-Schloss, das resultieren kann, wenn, zum Beispiel im Wurf/Gieren/Rolle Rotationssysteme, der Wurf 90 ° oder unten rotieren gelassen wird, so dass Gieren und Rolle dann derselben Bewegung entsprechen, und ein Grad der Freiheit der Folge verloren wird. In einem Tragrahmen-basierten Raumfahrtträgheitsnavigationssystem, zum Beispiel, konnte das unglückselige Ergebnisse haben, wenn das Flugzeug in einem steilen Tauchen oder Aufstieg ist.

Konvertierung zu und von der Matrixdarstellung

Von einem quaternion bis eine orthogonale Matrix

Die orthogonale Matrix entsprechend einer Folge durch die Einheit quaternion (mit |z | = 1) wird durch gegeben

:

a^2+b^2-c^2-d^2&2bc-2ad &2bd+2ac \\

2bc+2ad &a^2-b^2+c^2-d^2&2cd-2ab \\

2bd-2ac &2cd+2ab &a^2-b^2-c^2+d^2 \\

\end {pmatrix}. </Mathematik>

Von einer orthogonalen Matrix bis einen quaternion

Man muss sorgfältig sein, wenn man eine Folge-Matrix zu einem quaternion umwandelt, weil mehrere aufrichtige Methoden dazu neigen, nicht stabil zu sein, wenn die Spur (Summe der diagonalen Elemente) der Folge-Matrix Null oder sehr klein ist. Für eine stabile Methode, eine orthogonale Matrix zu einem quaternion umzuwandeln, sieh

Rotation_matrix#Quaternion.

Anprobe quaternions

Die obengenannte Abteilung hat beschrieben, wie man einen quaternion q von 3 &times wieder erlangt; 3 Folge-Matrix Q. Nehmen Sie jedoch an, dass wir eine Matrix Q haben, der nicht eine reine Folge — wegen der Runde - von Fehlern zum Beispiel ist — und wir den quaternion q finden möchten, der am genauesten Q vertritt. In diesem Fall bauen wir einen symmetrischen 4×4 Matrix

:

\begin {bmatrix }\

Q_ {xx}-q_ {yy}-q_ {zz} & Q_ {yx} +Q_ {xy} & Q_ {zx} +Q_ {xz} & Q_ {yz}-q_ {zy} \\

Q_ {yx} +Q_ {xy} & Q_ {yy}-q_ {xx}-q_ {zz} & Q_ {zy} +Q_ {yz} & Q_ {zx}-q_ {xz} \\

Q_ {zx} +Q_ {xz} & Q_ {zy} +Q_ {yz} & Q_ {zz}-q_ {xx}-q_ {yy} & Q_ {xy}-q_ {yx} \\

Q_ {yz}-q_ {zy} & Q_ {zx}-q_ {xz} & Q_ {xy}-q_ {yx} & Q_ {xx} +Q_ {yy} +Q_ {zz }\

\end {bmatrix},

</Mathematik>

und finden Sie den Eigenvektoren (x, y, z, w) entsprechend dem größten eigenvalue (dass Wert 1 sein wird, wenn, und nur wenn Q eine reine Folge ist). Der so erhaltene quaternion wird der Folge entsprechen, die an der ursprünglichen Matrix Q am nächsten

ist

Leistungsvergleiche mit anderen Folge-Methoden

Diese Abteilung bespricht die Leistungsimplikationen, quaternions gegen andere Methoden (Achse/Winkel oder Folge matrices) zu verwenden, um Folgen im 3D durchzuführen.

Ergebnisse

Zeichen: Winkelachse kann als 3 Elemente durch das Multiplizieren der Einheitsdrehachse durch den Drehwinkel, das Formen des Logarithmus des quaternion auf Kosten von zusätzlichen Berechnungen versorgt werden.

Verwendete Methoden

Es gibt drei grundlegende Annäherungen an das Drehen eines Vektoren:

1. Schätzen Sie das Matrixprodukt 3x3 Folge-Matrix R und das Original 3x1 das Säulenmatrixdarstellen. Das verlangt 3 * (3 Multiplikationen + 2 Hinzufügungen) = 9 Multiplikationen und 6 Hinzufügungen, die effizienteste Methode, für einen Vektoren rotieren zu lassen.
2. Mit der Quaternion-Vektor-Folge-Formel, die oben dessen abgeleitet ist, kann der rotieren gelassene Vektor direkt über zwei quaternion Produkte aus der Definition bewertet werden. Jedoch multipliziert die Zahl dessen/hinzufügt Operationen können durch die Erweiterung von beiden quaternion Produkte in Vektor-Operationen minimiert werden, indem sie zweimal gegolten wird. Weiter mehrere Vektor-Identitätserträge anwendend, der verlangt, multiplizieren nur 18 und 12 Hinzufügungen, um zu bewerten. Als eine zweite Annäherung konnte der quaternion zuerst zu seiner gleichwertigen Darstellung des Winkels/Achse dann umgewandelt werden die Darstellung des Winkels/Achse hat gepflegt, den Vektoren rotieren zu lassen. Jedoch ist das sowohl weniger effizient als auch weniger numerisch stabil, wenn sich der quaternion dem Punkt ohne Folgen nähert.
3. Verwenden Sie die Winkelachse-Formel, um einen Winkel/Achse zu einer Folge-Matrix R umzuwandeln, dann mit einem Vektoren multiplizierend. Das Umwandeln des Winkels/Achse zu R, den das Verwenden allgemeiner Subausdruck-Beseitigung 14 kostet, multipliziert, 2 Funktionsanrufe (Sünde, weil), und 10 fügen hinzu/abziehen; vom Artikel 1, rotierend, R verwendend, fügt hinzu, dass zusätzliche 9 Multiplikationen und 6 Hinzufügungen für insgesamt 23 multiplizieren, 16, fügen und 2 Funktionsanrufe (Sünde, weil) hinzu/abziehen.

Paare der Einheit quaternions als Folgen in 4D Raum

Ein Paar der Einheit quaternions z und z kann jede Folge in 4D Raum vertreten. In Anbetracht eines vier dimensionalen Vektoren, und vorgebend, dass es ein quaternion ist, können wir den Vektoren wie das rotieren lassen:

\begin {pmatrix }\

a_l&-b_l&-c_l&-d_l \\

b_l&a_l&-d_l&c_l \\

c_l&d_l&a_l&-b_l \\

d_l&-c_l&b_l&a_l

\end {pmatrix }\\beginnen {pmatrix }\

a_r&-b_r&-c_r&-d_r \\

b_r&a_r&d_r&-c_r \\

c_r&-d_r&a_r&b_r \\

d_r&c_r&-b_r&a_r

\end {pmatrix }\\beginnen {pmatrix }\

w \\x \\y \\z

\end {pmatrix}.

</Mathematik>

Es ist aufrichtig, um zu überprüfen, dass für jede MatrixM M = ich, d. h. dass jede Matrix (und folglich beide matrices zusammen) eine Folge vertritt. Bemerken Sie, dass seitdem die zwei matrices pendeln müssen. Deshalb gibt es zwei pendelnde Untergruppen des Satzes von vier dimensionalen Folgen. Willkürliche vier dimensionale Folgen haben 6 Grade der Freiheit, jede Matrix vertritt 3 jener 6 Grade der Freiheit.

Da eine unendlich kleine vierdimensionale Folge von einem Paar von quaternions (wie folgt) vertreten werden kann, können alle (unendlich nichtkleinen) vierdimensionalen Folgen auch vertreten werden.

1 &-dt_ {ab} &-dt_ {ac} &-dt_ {Anzeige }\\\

dt_ {ab} &1 &-dt_ {bc} &-dt_ {bd }\\\

dt_ {ac} & dt_ {bc} &1 &-dt_ {cd }\\\

dt_ {Anzeige} & dt_ {bd} & dt_ {cd}

&1 \end {pmatrix }\\beginnen {pmatrix }\

w \\

x\\

y \\

z

\end {pmatrix }\

</Mathematik>

1 + {dt_ {ab} +dt_ {cd }\\mehr als 2} ich + {dt_ {ac}-dt_ {bd }\\mehr als 2} j + {dt_ {Anzeige} +dt_ {bc }\\mehr als 2} k

</Mathematik>

1 + {dt_ {ab}-dt_ {cd }\\mehr als 2} ich + {dt_ {ac} +dt_ {bd }\\mehr als 2} j + {dt_ {Anzeige}-dt_ {bc }\\mehr als 2} k

</Mathematik>

Siehe auch

• 3-Bereiche-
• Darstellung des Achse-Winkels
• Biquaternion
• Karten auf SO (3)
• Algebra von Clifford
• Die Konvertierung zwischen quaternions und Euler biegt um
• Bedeckung des Raums
• Doppelquaternion
• Elliptisch geometry#Elliptic Raum
• Folge-Formalismen in drei Dimensionen
• Folge (Mathematik)
• Folge-Gruppe SO (3)
• Drehungsgruppe
• Slerp - kugelförmige geradlinige Interpolation
• Olinde Rodrigues
• William Rowan Hamilton

E. P. Battey Pratt & T. J. Racey (1980) Geometrisches Modell für Grundsätzliche Partikeln Internationale Zeitschrift der Theoretischen Physik. Vol 19, Nr. 6

Außenverbindungen und Mittel

• Shoemake, Kentucky. Quaternions
• Einfacher Typ Quaternion und Operationen auf mehr als dreißig Computersprachen auf dem Code von Rosetta
• Hirsch, Francis, Kauffman. Demo von Quaternion
• Damm, Koch, Lillholm. Quaternions, Interpolation und Zeichentrickfilm
• Lee des Byung-Vereinigten-Königreichs. Einheit Quaternion Darstellung der Folge
• Ibanez, Luis. Quaternion Tutorenkurs I
• Ibanez, Luis. Quaternion Tutorenkurs II
• [ftp://ftp.cs.unc.edu/pub/techreports/01-014.pdf Vicci, Leandra. Quaternions und Rotations im 3-Räume-: Die Algebra und seine Geometrische Interpretation]
• Howell, Thomas und Lafon, Jean-Claude. Die Kompliziertheit des Quaternion Produktes, TR75-245, der Universität von Cornell, der 1975
• Berthold K.P. Horn. Einige Zeichen auf der Einheit Quaternions und Folge.