:For "Außenprodukt" in der geometrischen Algebra, sieh Außenprodukt.

In der geradlinigen Algebra bezieht sich das Außenprodukt normalerweise auf das Tensor-Produkt von zwei Vektoren. Das Ergebnis, das Außenprodukt auf ein Paar von Vektoren anzuwenden, ist eine Matrix. Der Name hebt sich vom Skalarprodukt ab, das als Eingang ein Paar von Vektoren nimmt und einen Skalar erzeugt.

Das Außenprodukt von Vektoren kann auch als ein spezieller Fall des Produktes von Kronecker von matrices betrachtet werden.

Einige Autoren verwenden den Ausdruck "Außenprodukt des Tensor" als ein Synonym des "Tensor-Produktes". Das Außenprodukt ist auch eine höherwertige Funktion auf einigen Computerprogrammiersprachen wie APL und Mathematica.

Definition (Matrixmultiplikation)

Das Außenprodukt u  v so definiert ist oben zu einer Matrixmultiplikation uv gleichwertig, vorausgesetzt, dass u vertreten wird wie eine M × 1 Spaltenvektor und v als ein n × 1 Spaltenvektor (der v einen Zeilenvektoren macht). Zum Beispiel, wenn M = 4 und n = 3, dann

\begin {bmatrix} u_1 \\u_2 \\u_3 \\u_4\end {bmatrix }\

\begin {bmatrix} v_1 & v_2 & v_3\end {bmatrix} =

\begin {bmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3 \\u_4v_1 & u_4v_2 & u_4v_3\end {bmatrix}. </Mathematik>

Für komplizierte Vektoren ist es üblich, um das verbundene zu verwenden, stellen von v um (hat v angezeigt):

Unähnlichkeit mit dem Skalarprodukt

Wenn M = n, dann kann man das Matrixprodukt der andere Weg nehmen, einen Skalar (oder 1 × 1 Matrix) nachgebend:

der das Standardskalarprodukt für Euklidische Vektorräume ist, die besser als das Punktprodukt bekannt sind. Das Skalarprodukt ist die Spur des Außenproduktes.

Definition (Vektoren und Tensor)

Vektor-Multiplikation

In Anbetracht der Vektoren

\mathbf {u} & = (u_1, u_2, \dots, u_m) \\

\mathbf {v} & = (v_1, v_2, \dots, v_n)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

ihr Außenprodukt u  v wird als die M × n Matrix Ein erhaltener durch das Multiplizieren jedes Elements von u durch jedes Element von v definiert:

\begin {bmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & \dots & u_1v_n \\u_2v_1 & u_2v_2 & \dots & u_2v_n \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\u_mv_1 & u_mv_2 & \dots & u_mv_n \end {bmatrix}. </Mathematik>

Für komplizierte Vektoren, der von v verbundene Komplex (hat v* oder v  angezeigt). Nämlich wird Matrix durch das Multiplizieren jedes Elements von u durch den jedes Elements von v verbundenen Komplex erhalten.

Tensor-Multiplikation

Das Außenprodukt auf dem Tensor wird normalerweise das Tensor-Produkt genannt. In Anbetracht eines Tensor mit der Reihe q und den Dimensionen (ich..., i), und eines Tensor b mit der Reihe r und den Dimensionen (j..., j), hat ihr Außenprodukt c Reihe q + r und Dimensionen (k..., k), die ich von den j Dimensionen gefolgte Dimensionen sind. Es wird in der koordinatenfreien Notation mit  angezeigt, und Bestandteile sind definierte Index-Notation durch:

ähnlich für den höheren Ordnungstensor:

Zum Beispiel, wenn A Reihe 3 und Dimensionen hat (3, 5, 7) und B Reihe 2 und Dimensionen hat (10, 100), hat ihr Außenprodukt c Reihe 5 und Dimensionen (3, 5, 7, 10, 100). Wenn A einen Bestandteil = 11 hat und B einen Bestandteil B = 13 hat, dann ist der Bestandteil von durch das Außenprodukt gebildetem C C = 143.

Die Matrixdefinition des Außenproduktes in Bezug auf die Definition des Tensor-Produktes zu verstehen:

1. Der Vektor v kann als eine Reihe 1 Tensor mit der Dimension M und der Vektor u als eine Reihe 1 Tensor mit der Dimension N interpretiert werden. Das Ergebnis ist eine Reihe 2 Tensor mit der Dimension (M, N).
2. Die Reihe des Ergebnisses eines Skalarprodukts zwischen zwei Tensor der Reihe q und r ist der größere von q+r-2 und 0. So hat das Skalarprodukt von zwei matrices dieselbe Reihe wie das Außenprodukt (oder Tensor-Produkt) zwei Vektoren.
3. Es ist möglich, willkürlich viele Führung oder das Schleppen von 1 Dimensionen zu einem Tensor hinzuzufügen, ohne seine Struktur im Wesentlichen zu verändern. Diese 1 Dimensionen würden den Charakter von Operationen auf diesem Tensor verändern, so sollten irgendwelche resultierenden Gleichwertigkeiten ausführlich ausgedrückt werden.
4. Das Skalarprodukt von zwei matrices V mit Dimensionen (d, e) und U mit Dimensionen (e, f), ist wo ich = 1, 2..., d und k = 1, 2..., f. Für den Fall, wo e =1, die Summierung (das Beteiligen nur eines einzelnen Begriffes) trivial ist.

Der Begriff "Reihe" wird hier in seinem Tensor-Sinn gebraucht, und sollte als Matrixreihe nicht interpretiert werden.

Definition (Auszug)

Lassen Sie V und W zwei Vektorräume sein, und W* der Doppelraum von W sein zu lassen.

In Anbetracht eines Vektoren x  V und y*  W * dann entspricht das Tensor-Produkt y*  x der Karte A: W  V gegeben durch

Hier y * zeigt (w) den Wert des geradlinigen funktionellen y* an (der ein Element des Doppelraums von W ist), wenn bewertet, am Element w  W. Dieser Skalar wird der Reihe nach mit x multipliziert, um als das Endresultat ein Element des Raums V zu geben.

So wirklich wird das Außenprodukt für einen Vektoren und einen covector definiert; das Außenprodukt von zwei Vektoren zu definieren, verlangt das Umwandeln eines Vektoren zu einem covector (in Koordinaten, stellen Sie um), den in Gegenwart von einer bilinearen Form W  W *, allgemein genommen tun kann, um eine nichtdegenerierte Form zu sein (das Meinen, dass das ein Isomorphismus ist), oder mehr mit knapper Not ein Skalarprodukt.

Wenn V und W endlich-dimensional sind, dann der Raum aller geradlinigen Transformationen von W bis V, hat Hom (W, V) angezeigt, wird durch solche Außenprodukte erzeugt; tatsächlich ist die Reihe einer Matrix die minimale Zahl solcher Außenprodukte musste es als eine Summe ausdrücken (das ist die Tensor-Reihe einer Matrix). In diesem Fall ist Hom (W, V) zu W*  V isomorph.

Unähnlichkeit mit dem Skalarprodukt

Wenn W = V, dann kann man auch den covector w*  V* mit dem Vektoren v  V über (w *, v)  w * (v) paarweise anordnen, der die Dualität ist, die sich zwischen V und sein Doppel-, manchmal genannt das Skalarprodukt paart.

Anwendungen

Das Außenprodukt ist in der Computerwissenschaft von physischen Mengen (z.B, der Tensor der Trägheit) nützlich, und das Durchführen gestaltet Operationen in der Digitalsignalverarbeitung und Digitalbildverarbeitung um. Es ist auch in der statistischen Analyse nützlich, für die Kovarianz und Autokovarianz matrices für zwei zufällige Variablen zu schätzen.

Siehe auch

• Geradlinige Algebra
• Norm (Mathematik)
• Streuungsmatrix
• Rechnung von Ricci

Produkte

• Kreuzprodukt
• Außenprodukt

Dualität

• Komplex konjugiert
• Verbunden stellen um
• Stellen Sie um
• Notation des Büstenhalters-ket für das Außenprodukt