Das Zählen ist die Handlung, die Zahl der Elemente eines begrenzten Satzes von Gegenständen zu finden. Die traditionelle Weise zu zählen besteht daraus, ständig (geistig oder gesprochen) Schalter durch eine Einheit für jedes Element des Satzes in einer Ordnung zuzunehmen, während sie kennzeichnet (oder versetzt) jene Elemente, um zu vermeiden, dasselbe Element mehr zu besuchen, als einmal, bis keine nicht markierten Elemente verlassen werden; wenn der Schalter auf einen gesetzt wurde, nachdem der erste Gegenstand, der Wert nach dem Besuch des Endgegenstands die gewünschte Zahl der Elemente gibt. Die zusammenhängende Begriff-Enumeration bezieht sich auf das einzigartige Identifizieren der Elemente eines begrenzten (kombinatorischen) Satzes oder unendlichen Satzes durch das Zuweisen einer Zahl jedem Element.

Das Zählen ist manchmal mit Zahlen außer einer verbunden; zum Beispiel, wenn man Geld aufzählt, Änderung, "das Zählen durch Zweien" (2, 4, 6, 8, 10, 12...) oder "das Zählen durch fives" (5, 10, 15, 20, 25...) abzählend.

Es gibt archäologische Beweise, die darauf hinweisen, dass Menschen seit mindestens 50,000 Jahren gezählt haben. Das Zählen wurde in erster Linie durch alte Kulturen verwendet, um Wirtschaftsdaten wie Schulden und Kapital (d. h., Buchhaltung) nachzugehen. Die Entwicklung des Zählens hat zur Entwicklung der mathematischen Notation, der Ziffer-Systeme und des Schreibens geführt.

Formen des Zählens

Das Zählen kann in einer Vielfalt von Formen vorkommen.

Das Zählen kann wörtlich sein; d. h. jede Zahl laut (oder geistig) sprechend, um den Fortschritt nachzugehen. Das wird häufig verwendet, um Gegenstände aufzuzählen, die bereits da sind, anstatt eine Vielfalt von Dingen mit der Zeit aufzuzählen.

Das Zählen kann auch in der Form von Aufzeichnungszeichen sein, ein Zeichen für jede Zahl machend und dann alle Zeichen, wenn getan, aufzählend, übereinstimmend. Das ist das 1 Zählen Grund-; das normale Zählen wird in der Basis 10 getan. Computergebrauch stützt das 2 Zählen (0's und 1's).

Das Zählen kann auch in der Form des Finger-Zählens besonders sein, wenn es kleine Zahlen aufzählt. Das wird häufig von Kindern verwendet, um das Zählen und die einfachen mathematischen Operationen zu erleichtern. Finger-Zählen verwendet unäre Notation (ein Finger = eine Einheit), und wird so auf das Zählen 10 beschränkt (wenn Sie in mit Ihren Zehen nicht anfangen). Andere Handgeste-Systeme sind auch im Gebrauch, zum Beispiel das chinesische System, durch das 10 verwendende nur Gesten einer Hand aufzählen kann. Durch das Verwenden des Fingers binär (stützen das 2 Zählen), ist es möglich, eine Finger-Zählung bis dazu zu behalten.

Verschiedene Geräte können auch verwendet werden, um das Zählen, wie Handaufzeichnungsschalter und Rechenmaschinen zu erleichtern.

Einschließlich das Zählen

Auf einschließliches Zählen wird gewöhnlich gestoßen, wenn man Tage in einem Kalender aufzählt. Normalerweise, wenn er "8" Tage vom Sonntag zählen wird, wird Montag Tag 1, am Dienstag Tag 2 sein, und der folgende Montag wird der achte Tag sein. Wenn er "einschließlich" zählen wird, wird der Sonntag (der Anfang-Tag) Tag 1 sein und deshalb den nächsten Sonntag wird der achte Tag sein. Zum Beispiel ist der französische Ausdruck für "die vierzehn Tage" en quinze (in 15 [Tage]), und ähnliche Wörter sind in Griechisch (, dekapenthímero), Spanisch (quincena) und Portugiesisch (quinzena) da - wohingegen "die vierzehn Tage" "auf einen vierzehn-Nächte-" zurückzuführen sind, wie das archaische "eine Woche" von "einem sieben-Nächte-" tut. Diese Praxis erscheint in anderen Kalendern ebenso; im römischen Kalender ist der nones (Bedeutung "neun") 8 Tage vor den Iden; und im christlichen Kalender ist Quinquagesima (Bedeutung 50) 49 Tage vor dem Ostersonntag.

Die Juden haben auch Tage einschließlich aufgezählt. Zum Beispiel hat Jesus bekannt gegeben, dass er sterben und "am dritten Tag," d. h. zwei Tage später auferstehen würde. Gelehrte legen meistens seine Kreuzigung an einem Freitagsnachmittag und sein Wiederaufleben am Sonntag vor dem Sonnenaufgang, drei verschiedene Tage, aber eine Periode von ungefähr 36-40 Stunden abmessend.

Musikfachsprache verwendet auch einschließlich das Zählen von Zwischenräumen zwischen Zeichen der Standardskala: Steigend ist ein Zeichen ein zweiter Zwischenraum, steigend zwei Zeichen sind ein dritter Zwischenraum usw., und das Steigen von sieben Zeichen ist eine Oktave.

Ausbildung und Entwicklung

Das Lernen zu zählen ist ein wichtiger pädagogischer/Entwicklungs-Meilenstein in den meisten Kulturen der Welt. Das Lernen zu zählen ist ein allererster Schritt eines Kindes in die Mathematik, und setzt die grundsätzlichste Idee von dieser Disziplin ein. Jedoch haben einige Kulturen in Amazonia und dem australischen Landesinnere, dessen Sprachen wenige Wörter haben, keine Zahl-Wörter außer "einem" oder "vielen", es vorziehend zu gestikulieren, und obwohl sie subitize können, werden sie im Umgang mit größeren Mengen behindert.

Viele Kinder in gerade 2 Jahren alt haben etwas Sachkenntnis im Rezitieren der Liste der Zählung (d. h., "ein, zwei, drei..." sagend). Sie können auch auf Fragen von ordinality für kleine Zahlen z.B antworten, "Was kommt danach drei?". Sie können sogar im Hinweisen zu jedem Gegenstand in einem Satz und dem Rezitieren der Wörter nacheinander erfahren sein. Das führt viele Eltern und Pädagogen zum Beschluss, dass das Kind weiß, wie man das Zählen verwendet, um die Größe eines Satzes zu bestimmen. Forschung weist darauf hin, dass sie ungefähr ein Jahr nach dem Lernen dieser Sachkenntnisse für ein Kind nimmt zu verstehen, was sie vorhaben, und warum die Verfahren durchgeführt werden. Inzwischen erfahren Kinder, wie man cardinalities nennt, dass sie subitize können.

Kinder mit Syndrom von Williams zeigen häufig ernste Verzögerungen im Lernen zu zählen.

Das Zählen in der Mathematik

In der Mathematik, der Essenz, einen Satz aufzuzählen und ein Ergebnis n zu finden, ist, dass sie einen zu einer Ähnlichkeit (oder Bijektion) vom Satz mit dem Satz von Zahlen {1, 2..., n} gründet. Eine grundsätzliche Tatsache, die durch die mathematische Induktion bewiesen werden kann, ist, dass keine Bijektion zwischen {1, 2..., n} und {1, 2..., M} wenn n = M bestehen kann; diese Tatsache (zusammen mit der Tatsache, dass zwei Bijektionen zusammengesetzt werden können, um eine andere Bijektion zu geben) stellt sicher, dass das Zählen desselben Satzes unterschiedlich auf verschiedene Zahlen nie hinauslaufen kann (wenn ein Fehler nicht gemacht wird). Das ist der grundsätzliche mathematische Lehrsatz, der das Zählen seines Zwecks gibt; jedoch Sie Zählung a (begrenzter) Satz, die Antwort ist dasselbe. In einem breiteren Zusammenhang ist der Lehrsatz ein Beispiel eines Lehrsatzes im mathematischen Feld von (begrenztem) combinatorics — folglich (begrenzter) combinatorics wird manchmal "die Mathematik des Zählens genannt."

Viele Sätze, die in der Mathematik entstehen, erlauben keiner Bijektion, mit {1, 2..., n} für jede natürliche Zahl n gegründet zu werden; diese werden unendliche Sätze genannt, während jene Sätze, für die solch eine Bijektion wirklich besteht (für einen n) begrenzte Sätze genannt werden. Unendliche Sätze können im üblichen Sinn nicht aufgezählt werden; erstens einmal sind die mathematischen Lehrsätze, die diesem üblichen Sinn für begrenzte Sätze unterliegen, für unendliche Sätze falsch. Außerdem sind verschiedene Definitionen der Konzepte, in Bezug auf die diese Lehrsätze, während gleichwertig, für begrenzte Sätze festgesetzt werden, inequivalent im Zusammenhang von unendlichen Sätzen.

Der Begriff des Zählens kann zu ihnen im Sinne des Herstellens (die Existenz) eine Bijektion mit einem gut verstandenen Satz erweitert werden. Zum Beispiel, wenn ein Satz in die Bijektion mit dem Satz aller natürlichen Zahlen gebracht werden kann, dann wird es "zählbar unendlich genannt." Diese Art des Zählens unterscheidet sich auf eine grundsätzliche Weise davon, begrenzter Sätze, in dieser zu zählen, beitragende neue Elemente zu einem Satz vergrößern seine Größe nicht notwendigerweise, weil die Möglichkeit einer Bijektion mit dem ursprünglichen Satz nicht ausgeschlossen wird. Zum Beispiel kann der Satz aller ganzen Zahlen (einschließlich negativer Zahlen) in die Bijektion mit dem Satz von natürlichen Zahlen gebracht werden, und sogar anscheinend viel größere Sätze wie das aller begrenzten Folgen von rationalen Zahlen sind noch (nur) zählbar unendlich. Dennoch gibt es Sätze wie der Satz von reellen Zahlen, die, wie man zeigen kann, "zu groß" sind, um eine Bijektion mit den natürlichen Zahlen zuzulassen, und diese Sätze "unzählbar" genannt werden. Wie man sagt, haben Sätze, für die dort eine Bijektion zwischen ihnen besteht, denselben cardinality, und im allgemeinsten Sinn, einen Satz aufzählend, kann gebracht werden, um zu bedeuten, seinen cardinality zu bestimmen. Außer dem durch jede der natürlichen Zahlen gegebenen cardinalities gibt es eine unendliche Hierarchie von unendlichem cardinalities, obwohl nur sehr wenigen solche cardinalities in der gewöhnlichen Mathematik vorkommen (d. h. außerhalb der Mengenlehre, die ausführlich möglichen cardinalities studiert).

Das Zählen, größtenteils begrenzter Sätze, hat verschiedene Anwendungen in der Mathematik. Ein wichtiger Grundsatz ist, dass, wenn zwei Sätze X und Y dieselbe begrenzte Zahl der Elemente haben, und, wie man bekannt, eine Funktion injective ist, dann ist es auch surjective, und umgekehrt. Eine zusammenhängende Tatsache ist als der Ablegefach-Grundsatz bekannt, der dass feststellt, wenn zwei Sätze X und Y begrenzte Zahlen der Elemente n und M mit der n> M haben, dann ist jede Karte nicht injective (also dort bestehen zwei verschiedene Elemente X, dass f an dasselbe Element von Y sendet); das folgt aus dem ehemaligen Grundsatz seitdem, wenn f injective waren, dann auch würde seine Beschränkung zu einer strengen Teilmenge S X mit der M Elemente, welche Beschränkung dann surjective sein würde, der Tatsache widersprechend, die für x in X außerhalb S, f (x) im Image der Beschränkung nicht sein kann. Ähnliche zählende Argumente können die Existenz von bestimmten Gegenständen beweisen, ohne ein Beispiel ausführlich zur Verfügung zu stellen. Im Fall von unendlichen Sätzen kann das sogar in Situationen gelten, wo es unmöglich ist, ein Beispiel anzuführen; zum Beispiel dort muss, reelle Zahlen bestehen, die nicht berechenbare Zahlen sind, weil der letzte Satz nur zählbar unendlich ist, aber definitionsgemäß kann eine nichtberechenbare Zahl nicht genau angegeben werden.

Das Gebiet von enumerative combinatorics Geschäfte mit Computerwissenschaft der Zahl der Elemente von begrenzten Sätzen, ohne sie wirklich aufzuzählen; die Letzteren gewöhnlich unmöglich zu sein, weil unendliche Familien von begrenzten Sätzen sofort, wie der Satz von Versetzungen {1, 2..., n} für jede natürliche Zahl n betrachtet werden.

Siehe auch: das Zählen von Spielen

Siehe auch

• Automatisierter Pille-Schalter
• Grundzahl
• Combinatorics
• Das Aufzählen (der Musik)
• Das Aufzählen des Problems (Kompliziertheit)
• Entwicklungspsychologie
• Elementare Arithmetik
• Finger, zählend
• Geschichte der Mathematik
• Spielmarke
• Niveau des Maßes
• Ordinalzahl
• Subitizing und zählend
• Aufzeichnungszeichen
• Unäres Ziffer-System
• Liste von Zahlen
• Liste von Zahlen auf verschiedenen Sprachen
• Leute von Pirahã

Links

• Geschichte davon, zu zu zählen-PlainMath. Netz