In der Mathematik ist ein Existenz-Lehrsatz ein Lehrsatz mit einer Behauptung, die beginnt, 'dort bestehen (s)..' oder mehr allgemein 'für den ganzen x, y... dort bestehen (s)...'. D. h. in mehr formellen Begriffen der symbolischen Logik ist es ein Lehrsatz mit einer Behauptung, die den existenziellen quantifier einschließt. Viele solche Lehrsätze werden so ausführlich, wie gewöhnlich festgesetzt, auf der mathematischen Standardsprache nicht tun. Zum Beispiel, die Behauptung, dass die Sinusfunktion dauernd ist; oder jeder in der großen O Notation geschriebene Lehrsatz. Die Quantifizierung kann in den Definitionen der verwendeten Konzepte gefunden werden.

Eine Meinungsverschiedenheit, die zum Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts zurückgeht, betrifft das Problem von reinen Existenz-Lehrsätzen. Solche Lehrsätze können von nichtkonstruktivem foundational Material wie das Axiom der Unendlichkeit, das Axiom der Wahl oder das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte abhängen. Aus einem constructivist Gesichtspunkt durch das Zulassen von ihnen verliert Mathematik seine konkrete Anwendbarkeit (sieh nichtkonstruktiven Beweis). Der gegenüberliegende Gesichtspunkt besteht darin, dass abstrakte Methoden in einer Weise weit reichend sind, wie numerische Analyse nicht sein kann.

'Reine' Existenz-Ergebnisse

Ein Existenz-Lehrsatz kann rein genannt werden, wenn der seiner gegebene Beweis keinen Aufbau beliebiger Art des Gegenstands auch anzeigt, dessen Existenz behauptet wird.

Aus einem strengeren Gesichtspunkt ist das ein problematisches Konzept. Das ist, weil es ein Anhängsel ist, das auf einen Lehrsatz, aber das Qualifizieren seines Beweises angewandt ist; folglich, rein wird hier in einem Weg definiert, der die Standardprobeirrelevanz von mathematischen Lehrsätzen verletzt. D. h. Lehrsätze sind Behauptungen, für die die Tatsache ist, dass ein Beweis ohne jedes 'Etikett' abhängig vom Beweis besteht: Sie können ohne Kenntnisse des Beweises, und tatsächlich angewandt werden, wenn es nicht der Fall ist, ist die Behauptung fehlerhaft. So arbeiten viele constructivist Mathematiker in der verlängerten Logik (wie Intuitionistic-Logik), wo reine Existenz-Behauptungen wirklich schwächer sind als ihre constructivist Kollegen.

Solche reinen Existenz-Ergebnisse sind jedenfalls in der zeitgenössischen Mathematik allgegenwärtig. Zum Beispiel für ein geradliniges Problem wird der Satz von Lösungen ein Vektorraum sein, und etwas a priori Berechnung seiner Dimension kann möglich sein. Jedenfalls, wo die Dimension wahrscheinlich mindestens 1 ist, ist eine Existenz-Behauptung gemacht worden (dass eine Nichtnulllösung besteht.)

Theoretisch konnte ein Beweis auch über einen metatheorem weitergehen, feststellend, dass ein Beweis des ursprünglichen Lehrsatzes besteht (zum Beispiel, dass ein Beweis durch die Erschöpfung nach einem Beweis sucht, würde immer erfolgreich sein). Solche Lehrsätze sind relativ unproblematisch, wenn alle beteiligten Beweise konstruktiv sind; jedoch ist der Status der "reinen Existenz metatheorems", äußerst unklar

Ideen von Constructivist

Von der anderen Richtung hat es beträchtliche Erläuterung dessen gegeben, wie konstruktive Mathematik ist; ohne das Erscheinen einer 'Master-Theorie'. Zum Beispiel gemäß den Definitionen des Errett Bischofs sollte die Kontinuität einer Funktion (wie Sünde x) bewiesen werden, weil ein konstruktiver zum Modul der Kontinuität gebunden hat, bedeutend, dass der existenzielle Inhalt der Behauptung der Kontinuität eine Versprechung ist, die immer behalten werden kann. Man konnte eine andere Erklärung aus der Typ-Theorie bekommen, in der ein Beweis einer existenziellen Behauptung nur aus einem Begriff kommen kann (den wir als der rechenbetonte Inhalt sehen können).