Anordnungen von zufälligen Punkten, wie gezeigt, durch die Statistik, können gefunden werden, wenn eine Vielzahl von zufälligen Punkten auf einer begrenzten flachen Oberfläche gekennzeichnet wird. Das könnte verwendet werden, um zu zeigen, dass Weide-Linien wegen der Chance allein (im Vergleich mit übernatürlichen oder anthropologischen Erklärungen) bestehen.

Eine genaue Definition, die die allgemein akzeptierte Bedeutung "der Anordnung" als ausdrückt:

Der:A-Satz von Punkten, die aus einem gegebenen Satz von merklichen Punkten gewählt sind, von denen alle innerhalb von mindestens einem folgendem Pfad einer gegebenen Breite w liegen

"Der gerade Pfad der Breite w" kann als der Satz aller Punkte innerhalb einer Entfernung von w/2 einer Gerade auf einem Flugzeug oder eines großen Kreises auf einem Bereich, oder im Allgemeinen irgendwelchem definiert werden, der auf jeder anderen Art der Sammelleitung geodätisch ist. Bemerken Sie, dass, im Allgemeinen, jeder gegebene Satz von Punkten, die auf diese Weise ausgerichtet werden, eine Vielzahl unendlich klein verschiedener gerader Pfade enthalten wird. Deshalb ist nur die Existenz von mindestens einem folgendem Pfad notwendig, um zu bestimmen, ob eine Reihe von Punkten eine Anordnung ist. Deshalb ist es leichter, die Sätze von Punkten, aber nicht die Pfade selbst aufzuzählen.

Die Breite w ist wichtig: Es erlaubt die Tatsache, dass wirkliche Eigenschaften nicht mathematische Punkte sind, und dass sich ihre Positionen genau für sie nicht aufzustellen brauchen, um in der Anordnung betrachtet zu werden. Alfred Watkins, in seiner klassischen Arbeit an der Weide liniert Die Alte Gerade Spur, verwendete Breite einer Bleistift-Linie auf einer Karte als die Schwelle für die Toleranz dessen, was als eine Anordnung betrachtet werden könnte. Zum Beispiel, mit einer 1-Mm-Bleistift-Linie, um Anordnungen 1:50,000 Messtischblatt anzuziehen, würde ein passender Wert von w 50 M sein.

Eine Schätzung der Wahrscheinlichkeit von Anordnungen vorhanden zufällig

Statistisch wird Entdeckung von Anordnungen auf einer Landschaft progressiv leichter als das geografische Gebiet, als Zunahmen betrachtet zu werden. Eine Weise, dieses Phänomen zu verstehen, soll sehen, dass die Zunahme in der Zahl von möglichen Kombinationen von Sätzen von Punkten in diesem Gebiet die Abnahme in der Wahrscheinlichkeit überwältigt, dass sich jeder gegebene Satz von Punkten in diesem Gebiet aufstellt.

Die Zahl von gefundenen Anordnungen ist zur erlaubten Breite w sehr empfindlich, ungefähr proportional zu w zunehmend, wo k die Zahl von Punkten in einer Anordnung ist.

Für diejenigen, die für die Mathematik interessiert sind, ist der folgende eine sehr ungefähre Größenordnungsschätzung der Wahrscheinlichkeit von Anordnungen, ein mit gleichförmig verteilten "bedeutenden" Punkten bedecktes Flugzeug annehmend.

Denken Sie eine Reihe von N-Punkten in einem Kompaktgebiet mit dem ungefähren Diameter d und Gebiet ungefähr d ². Denken Sie, dass eine gültige Linie derjenige ist, wo jeder Punkt innerhalb der Entfernung w/2 der Linie ist (d. h. liegt auf einer Spur der Breite w, wo w

Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gegebener Satz von Punkten collinear auf diese Weise ist? Lassen Sie uns sehr grob denken, dass die Linie zwischen dem "leftmost" und "den niedrigstwertigen" zwei Punkten des k Punkte ausgewählt hat (für eine willkürliche linke/richtige Achse: Wir können Spitze und Boden für den außergewöhnlichen vertikalen Fall wählen). Diese zwei Punkte sind definitionsgemäß auf dieser Linie. Für jeden der restlichen K-2-Punkte ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Punkt "in der Nähe von genug" zur Linie ist, grob w/d, der durch das Betrachten des Verhältnisses des Gebiets der Linientoleranz-Zone (grob wd) und des gesamten Gebiets (grob d ²) gesehen werden kann.

Also, die erwartete Zahl von K-Punkt-Anordnungen, durch diese Definition, ist sehr grob:

:

Für n>> k das ist ungefähr:

:

Nehmen Sie jetzt an, dass Gebiet gleich ist, und sagen Sie, dass es eine Dichte &alpha gibt; solcher Punkte dass.

Dann haben wir die erwartete Zahl von Linien, die gleich sind:

:

und eine Bereichsdichte von K-Punkt-Linien:

:Wenn wir

die Begriffe in k sammeln, haben wir eine Flächendichte von K-Punkt-Linien:

:

So, gegen die Intuition, nimmt die Zahl von von der zufälligen Chance erwarteten K-Punkt-Linien viel mehr zu als geradlinig mit der Größe des betrachteten Gebiets.

Eine genauere Schätzung der erwarteten Zahl von Anordnungen

Ein genauerer Ausdruck für die Zahl von 3-Punkte-Anordnungen der maximalen Breite w und maximalen Länge d erwartet zufällig unter N-Punkten gelegt zufällig auf einem Quadrat der Seite L ist

:

\left ({\\frac {d} {L}} \right) ^ {3} n \left (n-1 \right)

\left (n-2 \right) </Mathematik>

Wenn Rand-Effekten (Anordnungen, die über die Grenzen des Quadrats verloren sind), eingeschlossen werden, dann wird der Ausdruck

: \left ({\\frac {d} {L}} \right) ^ {3} n \left (n-1 \right)

\left (n-2 \right)

\left (1 - \frac {3} {\\Pi} \left (\frac {d} {L} \right)

+ \frac {3} {5} \left (\frac {4} {\\Pi} - 1 \right)

\left (\frac {d} {L} \right) ^ {2} \right) </Mathematik>

Eine Verallgemeinerung zu K-Punkt-Anordnungen (Rand-Effekten ignorierend), ist

:

\cdots \left (n - \left (k-1 \right) \right)}

{k \left (k-2 \right)!} \left (\frac {w} {L} \right) ^ {k-2}

\left ({\\frac {d} {L}} \right) ^ {k} </Mathematik>

Computersimulation von Anordnungen

Computersimulationen zeigen, dass Punkte auf einem Flugzeug dazu neigen, Anordnungen zu bilden, die denjenigen ähnlich sind, die von Weide-Jägern in Zahlen gefunden sind, die mit den Größenordnungsschätzungen oben im Einklang stehend sind, darauf hinweisend, dass Weide-Linien auch zufällig erzeugt werden können. Dieses Phänomen kommt unabhängig davon vor, ob die Punkte pseudozufällig durch den Computer, oder von Dateien von weltlichen Eigenschaften wie Pizza-Restaurants erzeugt werden.

Es ist leicht, Anordnungen von 4 bis 8 Punkten in vernünftig kleinen Dateien mit w = 50 M zu finden.

Die Auswahl großer Gebiete oder größerer Werte von w macht es leicht, Anordnungen von 20 oder mehr Punkten zu finden.

Siehe auch

• Weide-Linien
• Die alte gerade Spur
• Analyse von Procrustes