Eine Tangente-Linie einer Kurve ist eine Linie, die einen Punkt auf der Kurve berührt. Die Worttangente kommt aus dem Latein, um sich zu berühren.

In der Geometrie ist die Tangente-Linie (oder einfach die Tangente) zu einer Flugzeug-Kurve an einem gegebenen Punkt die Gerade, die "gerade" die Kurve an diesem Punkt berührt. Genauer, wie man sagt, ist eine Gerade eine Tangente einer Kurve an einem Punkt auf der Kurve, wenn die Linie den Punkt auf der Kurve durchführt und Hang hat, wo f die Ableitung von f ist. Eine ähnliche Definition gilt für Raumkurven und Kurven im n-dimensional Euklidischen Raum.

Da es den Punkt durchführt, wo sich die Tangente-Linie und die Kurve, oder der Punkt von tangency treffen, geht die Tangente-Linie in dieselbe Richtung" wie die Kurve "hinein, und in diesem Sinn ist es die beste lineare Annäherung an die Kurve an diesem Punkt.

Ähnlich ist die Tangentialebene zu einer Oberfläche an einem gegebenen Punkt das Flugzeug, das "gerade" die Oberfläche an diesem Punkt berührt. Das Konzept einer Tangente ist einer der grundsätzlichsten Begriffe in der Differenzialgeometrie und ist umfassend verallgemeinert worden; sieh Tangente-Raum.

Geschichte

Pierre de Fermat hat eine allgemeine Technik entwickelt, für die Tangenten einer Kurve mit seiner Methode von adequality in den 1630er Jahren zu bestimmen. Leibniz hat die Tangente-Linie als die Linie durch ein Paar ungeheuer naher Punkte auf der Kurve definiert.

Tangente-Linie zu einer Kurve

Der intuitive Begriff, dass eine Tangente-Linie eine Kurve "berührt", kann ausführlicher durch das Betrachten der Folge von Geraden (schneidende Linien) als das Durchführen von zwei Punkten, A und B, diejenigen gemacht werden, die auf der Funktionskurve lügen. Die Tangente an A ist die Grenze, wenn Punkt B näher kommt oder zu A neigt. Die Existenz und Einzigartigkeit der Tangente-Linie hängen von einem bestimmten Typ der mathematischen Glätte, bekannt als "differentiability" ab. Zum Beispiel, wenn sich zwei kreisförmige Kreisbogen an einem scharfen Punkt (ein Scheitelpunkt) dann treffen, gibt es keine einzigartig definierte Tangente am Scheitelpunkt, weil die Grenze des Fortschritts von schneidenden Linien von der Richtung abhängt, in der "anspitzen, dass sich B" dem Scheitelpunkt nähert.

Wenn die Krümmung Nichtnull ist, durchquert die Tangente zu einer Kurve die Kurve am Punkt von tangency nicht (obwohl es, wenn fortgesetzt, die Kurve an anderen Plätzen weg vom Punkt der Tangente durchqueren kann), ist Das, zum Beispiel, von allen Tangenten zu einem Kreis oder einer Parabel wahr. Jedoch, an außergewöhnlichen Punkten hat Beugungspunkte genannt, die Tangente-Linie durchquert wirklich die Kurve am Punkt von tangency. Ein Beispiel ist der Punkt (0,0) auf dem Graphen der Kubikparabel y = x.

Umgekehrt kann es geschehen, dass die Kurve völlig auf einer Seite einer Gerade liegt, die einen Punkt darauf durchführt, und noch diese Gerade nicht eine Tangente-Linie ist. Das ist zum Beispiel für eine Linie der Fall, die den Scheitelpunkt eines Dreiecks durchführt und das Dreieck nicht durchschneidet - wo die Tangente-Linie aus den Gründen nicht besteht, die oben erklärt sind. In der konvexen Geometrie werden solche Linien genannt, Linien unterstützend.

Analytische Annäherung

Die geometrische Idee von der Tangente-Linie als die Grenze von schneidenden Linien dient als die Motivation für analytische Methoden, die verwendet werden, um Tangente-Linien ausführlich zu finden. Die Frage, die Tangente-Linie zu einem Graphen oder das Tangente-Linienproblem zu finden, war eine der Hauptfragen, die zur Entwicklung der Rechnung im 17. Jahrhundert führen. Im zweiten Buch seiner Geometrie, René Descartes des Problems, die Tangente zu einer Kurve zu bauen, "Und wage ich zu sagen, dass das nicht nur das nützlichste und allgemeinste Problem in der Geometrie ist, die ich weiß, aber sogar dass ich jemals gewünscht habe zu wissen".

Intuitive Beschreibung

Nehmen Sie an, dass eine Kurve als der Graph einer Funktion, y = f (x) gegeben wird. Die Tangente-Linie am Punkt p = zu finden (a, f (a)), denken einen anderen nahe gelegenen Punkt q = (+ h, f (+ h)) auf der Kurve. Der Hang der schneidenden Linie, die p und q durchgeht, ist dem Unterschied-Quotienten gleich

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Als der Punkt nähert sich q p, der dem Bilden h kleiner und kleiner entspricht, sollte sich der Unterschied-Quotient einem bestimmten Begrenzungswert k nähern, der der Hang der Tangente-Linie am Punkt p ist. Wenn k bekannt ist, kann die Gleichung der Tangente-Linie in der mit dem Punktsteigungsform gefunden werden:

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Strengere Beschreibung

Um das Vorangehen zu machen, das streng vernünftig urteilt, muss man erklären, was durch den Unterschied-Quotienten gemeint wird, der sich einem bestimmten Begrenzungswertk nähert. Die genaue mathematische Formulierung wurde von Cauchy im 19. Jahrhundert gegeben und basiert auf dem Begriff der Grenze. Nehmen Sie an, dass der Graph keine Brechung oder einen scharfen Rand an p hat und es weder senkrecht noch nahe p zu wackelig ist. Dann gibt es einen einzigartigen Wert von solchem k, dass weil sich h 0 nähert, wird der Unterschied-Quotient näher und näher an k, und die Entfernung zwischen ihnen wird unwesentlich im Vergleich zur Größe von h, wenn h klein genug ist. Das führt zur Definition des Hangs der Tangente-Linie zum Graphen als die Grenze der Unterschied-Quotienten für die Funktion f. Diese Grenze ist die Ableitung der Funktion f an x = a, hat f &prime angezeigt; (a). Mit Ableitungen kann die Gleichung der Tangente-Linie wie folgt festgesetzt werden:

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Rechnung stellt Regeln zur Verfügung, für die Ableitungen von Funktionen zu schätzen, die durch Formeln, wie die Potenzfunktion, die trigonometrischen Funktionen, die Exponentialfunktion, der Logarithmus und ihre verschiedenen Kombinationen gegeben werden. So können Gleichungen der Tangenten zu Graphen aller dieser Funktionen, sowie vieler anderer, durch die Methoden der Rechnung gefunden werden.

Wie die Methode scheitern kann

Rechnung demonstriert auch, dass es Funktionen und Punkte auf ihren Graphen gibt, für die die Grenze, die den Hang der Tangente-Linie bestimmt, nicht besteht. Für diese Punkte ist die Funktion f non-differentiable. Es gibt zwei mögliche Gründe für die Methode, die Tangenten gestützt auf den Grenzen und Ableitungen zu finden, um zu scheitern: Entweder die geometrische Tangente besteht, aber es ist eine vertikale Linie, die in der mit dem Punktsteigungsform nicht gegeben werden kann, da es keinen Hang hat, oder der Graph stellt einen von drei Handlungsweisen aus, der eine geometrische Tangente ausschließt.

Der Graph y = x illustriert die erste Möglichkeit: Hier ist der Unterschied-Quotient an = 0 h/h = h gleich, der sehr groß wird, weil sich h 0 nähert. Die Tangente-Linie zu dieser Kurve am Ursprung ist vertikal.

Der Graph y = |x der absoluten Wertfunktion besteht aus zwei Geraden mit dem verschiedenen am Ursprung angeschlossenen Hang. Als ein Punkt nähert sich q dem Ursprung vom Recht, die schneidende Linie hat immer Hang 1. Als ein Punkt nähert sich q dem Ursprung vom links, die schneidende Linie hat immer Hang −1. Deshalb gibt es keine einzigartige Tangente zum Graphen am Ursprung. Zwei verschiedene (aber begrenzt) Hang zu haben, wird eine Ecke genannt.

Eine Spitze kommt vor, wenn sich der Hang Unendlichkeit nähert. Das kann bedeuten, dass eine Seite des Graphen einen Hang hat, der sich plus oder minus die Unendlichkeit nähert, während der Hang anderer begrenzt ist. Es kann auch bedeuten, dass sich der Hang der beider Seiten positiver Unendlichkeit oder negativer Unendlichkeit nähert.

Schließlich, da differentiability Kontinuität einbezieht, stellt der contrapositive fest, dass Diskontinuität non-differentiability einbezieht. Jeder solcher Sprung oder Punkt-Diskontinuität werden keine Tangente-Linie haben. Das schließt Fälle ein, wo sich ein Hang positiver Unendlichkeit während die anderen Annäherungen negative Unendlichkeit nähert, zu einer unendlichen Sprung-Diskontinuität führend

Gleichungen

Wenn die Kurve durch y = f (x) dann gegeben wird, ist der Hang der Tangente

so durch die mit dem Punktsteigungsformel ist die Gleichung der Tangente-Linie an (X, Y)

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wo (x, y) die Koordinaten jedes Punkts auf der Tangente-Linie sind, und wo die Ableitung daran bewertet wird.

Wenn die Kurve durch y = f (x) gegeben wird, kann die Tangente-Liniengleichung auch durch das Verwenden polynomischer Abteilung gefunden werden, um sich dadurch zu teilen; wenn der Rest dadurch angezeigt wird, dann wird die Gleichung der Tangente-Linie durch gegeben

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Wenn die Gleichung der Kurve in der Form f (x, y) = 0 dann gegeben wird, kann der Wert des Hangs durch die implizite Unterscheidung gefunden werden, gebend

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Die Gleichung der Tangente-Linie ist dann

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Für algebraische Kurven kann Berechnung etwas durch das Umwandeln zu homogenen Koordinaten vereinfacht werden. Lassen Sie spezifisch die homogene Gleichung der Kurve g (x, y, z) = 0 sein, wo g eine homogene Funktion des Grads n ist. Dann, wenn (X, Y, Z) auf der Kurve liegt, bezieht der Lehrsatz von Euler ein

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Hieraus folgt dass die homogene Gleichung der Tangente-Linie ist

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Die Gleichung der Tangente-Linie in Kartesianischen Koordinaten kann durch das Setzen z=1 in dieser Gleichung gefunden werden.

Um das auf algebraische Kurven anzuwenden, schreiben Sie f (x, y) als

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wo jeder u die Summe aller Begriffe des Grads r ist. Die homogene Gleichung der Kurve ist dann

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Die Verwendung der Gleichung oben und das Setzen z=1 erzeugen

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als die Gleichung der Tangente-Linie. Die Gleichung in dieser Form ist häufig einfacher, in der Praxis zu verwenden, da keine weitere Vereinfachung erforderlich ist, nachdem es angewandt wird.

Wenn die Kurve parametrisch durch gegeben wird

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dann ist der Hang der Tangente

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das Geben der Gleichung für die Tangente-Linie an als

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Normale Linie zu einer Kurve

Die Liniensenkrechte zur Tangente-Linie zu einer Kurve am Punkt von tangency wird die normale Linie zur Kurve an diesem Punkt genannt. Der Hang von Lotlinien hat Produkt 1, so, wenn die Gleichung der Kurve y = f (x) dann ist, ist der Hang der normalen Linie

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und hieraus folgt dass die Gleichung der normalen Linie ist

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Ähnlich, wenn die Gleichung der Kurve die Form f (x, y) = 0 dann hat, wird die Gleichung der Tangente-Linie durch gegeben

:Wenn die Kurve parametrisch durch gegeben wird:

dann ist die Gleichung der normalen Linie

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Winkel zwischen Kurven

Der Winkel zwischen zwei Kurven an einem Punkt, wo sie sich schneiden, wird als der Winkel zwischen ihren Tangente-Linien an diesem Punkt definiert. Mehr spezifisch, wie man sagt, sind zwei Kurven Tangente an einem Punkt, wenn sie dieselbe Tangente an einem Punkt, und orthogonal haben, wenn ihre Tangente-Linien orthogonal sind.

Vielfache Tangenten am Ursprung

Die Formeln scheitern oben, wenn der Punkt ein einzigartiger Punkt ist. In diesem Fall kann es zwei oder mehr Zweige der Kurve geben, die den Punkt, jeder Zweig durchführen, der seine eigene Tangente-Linie hat. Wenn der Punkt der Ursprung ist, können die Gleichungen dieser Linien für algebraische Kurven durch das Factoring die gebildete Gleichung durch das Beseitigen von allen außer den niedrigsten Grad-Begriffen von der ursprünglichen Gleichung gefunden werden. Da jedes Argument der Ursprung durch eine Änderung von Variablen angebracht werden kann, gibt das eine Methode, für die Tangente-Linien an jedem einzigartigen Punkt zu finden.

Zum Beispiel ist die Gleichung des limaçon trisectrix gezeigt nach rechts

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Die Erweiterung davon und das Beseitigen von allen außer Begriffen des Grads 2 geben

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der, wenn factored, wird

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So sind das die Gleichungen der zwei Tangente-Linien durch den Ursprung.

Tangente-Kreise

Wie man

sagt, sind zwei Kreise des nichtgleichen Radius, beider in demselben Flugzeug, Tangente zu einander, wenn sie sich an nur einem Punkt treffen. Gleichwertig, zwei Kreise, mit Radien von r und Zentren an (x, y), weil, wie man sagt, ich = 1, 2 Tangente zu einander wenn bin

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• Zwei Kreise sind äußerlich Tangente, wenn die Entfernung zwischen ihren Zentren der Summe ihrer Radien gleich ist.

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• Zwei Kreise sind innerlich Tangente, wenn die Entfernung zwischen ihren Zentren dem Unterschied zwischen ihren Radien gleich ist.

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Oberflächen und hoch-dimensionale Sammelleitungen

Die Tangentialebene zu einer Oberfläche an einem gegebenen Punkt p wird auf eine analoge Weise zur Tangente-Linie im Fall von Kurven definiert. Es ist die beste Annäherung der Oberfläche durch ein Flugzeug an p, und kann als die Begrenzungsposition der Flugzeuge erhalten werden, die 3 verschiedene Punkte auf der Oberfläche in der Nähe von p durchführen, weil diese Punkte zu p zusammenlaufen. Mehr allgemein gibt es einen k-dimensional Tangente-Raum an jedem Punkt einer K-Dimensional-Sammelleitung im n-dimensional Euklidischen Raum.

Siehe auch

• Die Methode des Newtons
• Normal (Geometrie)
• Oskulierender Kreis
• Schmiegungskurve
• Subtangente
• Tangente-Kegel
• Tangentialer Winkel
• Tangentialer Bestandteil
• Tangente-Linien zu Kreisen
• Senkrechte
• Das Unterstützen der Linie

Außenverbindungen

• Tangente zu einem Kreis Mit dem interaktiven Zeichentrickfilm
• Tangente und die erste Ableitung - Eine interaktive Simulation
• Die Tangente-Parabel durch John H. Mathews