In der Geometrie stellt der Lehrsatz von Thales (genannt nach Thales von Miletus) fest, dass, wenn A, B und C Punkte auf einem Kreis sind, wo die Linie AC ein Diameter des Kreises dann ist, das Winkelabc ein richtiger Winkel ist. Der Lehrsatz von Thales ist ein spezieller Fall des eingeschriebenen Winkellehrsatzes. Es wird allgemein Thales zugeschrieben, der, wie man sagt, einen Ochsen zu Ehren von der Entdeckung geopfert hat, aber manchmal wird es Pythagoras zugeschrieben.

Geschichte

Es gibt nichts noch Vorhandenes des Schreibens von Thales, die geleistete Arbeit im alten Griechenland hat dazu geneigt, Männern des Verstands ohne Rücksicht auf alle an irgendwelchen besonderen intellektuellen Aufbauten beteiligten Personen zugeschrieben zu werden, das trifft auf Pythagoras besonders zu. Zuweisung hat wirklich dazu geneigt, in einer späteren Zeit vorzukommen, die Verweisung auf Thales wurde von Proclus, und durch das Dokumentieren von Diogenes Laertius Behauptung von Pamphila dass der alte gemacht

Thales war nicht erst, um diesen Lehrsatz seit den Indern und Babyloniern bekannt das für spezielle Fälle zu entdecken. Es wird geglaubt, dass Thales erfahren hat, dass ein in einem Halbkreis eingeschriebener Winkel ein richtiger Winkel während seines Reisens nach Babylon ist. Der Lehrsatz wird nach Thales genannt, weil, wie man sagte, er von alten Quellen erst gewesen war, um den Lehrsatz mit seinen eigenen Ergebnissen zu beweisen, dass die Grundwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks gleich sind, und dass die Summe von Winkeln in einem Dreieck zwei richtigen Winkeln gleich ist.

Beweis

Wir verwenden die folgenden Tatsachen: Die Summe der Winkel in einem Dreieck ist zwei richtigen Winkeln gleich (180 °), & die Grundwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich.

Seit OA = OB = sind OC, OBA und OBC gleichschenklige Dreiecke, und durch die Gleichheit der Grundwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, OBC = OCB und BAO = ABO.

Lassen Sie α = BAO und β = OBC. Die drei inneren Winkel des Abc-Dreiecks sind α, α + β und β. Da die Summe der Winkel eines Dreiecks zwei richtigen Winkeln gleich ist, haben wir

dann

oder einfach

Q.E.D.

Gegenteilig

Der gegenteilige vom Lehrsatz von Thales ist auch gültig; es stellt fest, dass eine Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes ein Diameter seines circumcircle ist.

den Lehrsatz von Thales mit seinem gegenteiligen verbinden, bekommen wir das:

Das:The-Zentrum eines circumcircle eines Dreiecks liegt auf einer der Seiten des Dreiecks, wenn, und nur wenn das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist.

Beweis der gegenteiligen Verwenden-Geometrie

Dieser Beweis besteht daraus, das rechtwinklige Dreieck 'zu vollenden', um ein Rechteck zu bilden und bemerkend, dass das Zentrum dieses Rechtecks von den Scheitelpunkten gleich weit entfernt ist und auch das Zentrum des Umgrenzen-Kreises des ursprünglichen Dreiecks ist, verwertet es zwei Tatsachen:

• angrenzende Winkel in einem Parallelogramm sind ergänzend (tragen Sie zu 180 ° bei), und,
• die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich und durchqueren einander in ihrem Mittelpunkt.

Lassen Sie dort, ein richtiges Winkelabc, r eine Linienparallele zu v. Chr. dem Vorbeigehen A und s eine Linienparallele zu AB zu sein, der C vorbeigeht. Lassen Sie D der Punkt der Kreuzung von Linien r sein, und s (Bemerken Sie, dass es nicht bewiesen worden ist, dass D auf dem Kreis liegt)

Der vierseitige ABCD bildet ein Parallelogramm durch den Aufbau (weil Gegenseiten parallel sind). Seitdem in einem Parallelogramm sind angrenzende Winkel ergänzend (tragen Sie zu 180 ° bei), und Abc ist ein richtiger Winkel (90 °) angelt dann SCHLECHT, BCD, und ADC sind auch (90 °) richtig; folglich ist ABCD ein Rechteck.

Lassen Sie O der Punkt der Kreuzung der Diagonalen AC und BD sein. Dann ist der Punkt O, durch die zweite Tatsache oben, von A, B, und C gleich weit entfernt. Und so O Zentrum des Umgrenzen-Kreises und die Hypotenuse des Dreiecks ist, ist AC ein Diameter des Kreises.

Beweis der gegenteiligen verwendenden geradlinigen Algebra

Dieser Beweis verwertet zwei Tatsachen:

• zwei Linien bilden einen richtigen Winkel, wenn, und nur wenn das Punktprodukt ihrer Richtungsvektoren Null und ist
• das Quadrat der Länge eines Vektoren wird durch das Punktprodukt des Vektoren mit sich gegeben.

Lassen Sie dort, ein richtiges Winkelabc und Kreis M mit AC als ein Diameter zu sein.

Lassen Sie das Zentrum der M auf dem Ursprung für die leichtere Berechnung liegen.

Dann wissen wir

• A = − C, weil der am Ursprung in den Mittelpunkt gestellte Kreis AC als Diameter und hat
• (− B) · (B − C) = 0, weil Abc ein richtiger Winkel ist.

Es folgt

:0 = (− B) · (B − C) = (− B) · (B + A) = |A | − |B |.

Folglich:

: |A | = |B |.

Das bedeutet, dass A und B vom Ursprung, d. h. vom Zentrum der M gleich weit entfernt sind, Da A auf der M, so B, und der Kreis liegt, ist M deshalb der circumcircle des Dreiecks.

Die obengenannten Berechnungen stellen tatsächlich fest, dass beide Richtungen des Lehrsatzes von Thales in jedem Skalarprodukt-Raum gültig sind.

Generalisationen und verwandte Ergebnisse

Der Lehrsatz von Thales ist ein spezieller Fall des folgenden Lehrsatzes:

:Given drei Punkte A, B und C auf einem Kreis mit dem Zentrum O, dem Winkel AOC ist zweimal so groß wie das Winkelabc.

Sieh eingeschriebenen Winkel, der Beweis dieses Lehrsatzes ist dem Beweis des Lehrsatzes von Thales ziemlich ähnlich, der oben gegeben ist.

Ein zusammenhängendes Ergebnis zum Lehrsatz von Thales ist der folgende:

• Wenn AC ein Diameter eines Kreises, dann ist:

:*If B ist innerhalb des Kreises, dann ABC> 90°

:*If B ist auf dem Kreis, dann ABC = 90°

:*If B ist außerhalb des Kreises, dann ABC