In der Mathematik ist der infimum (Mehrzahlinfima) einer Teilmenge S eines teilweise bestellten Satzes T das größte Element von T, der weniger ist als oder gleich allen Elementen von S. Folglich wird der Begriff am größten tiefer bestimmt (auch abgekürzt als glb oder GLB) auch allgemein gebraucht. Infima von reellen Zahlen sind ein allgemeiner spezieller Fall, der in der Analyse besonders wichtig ist. Jedoch bleibt die allgemeine Definition gültig in der abstrakteren Einstellung der Ordnungstheorie, wo willkürlich, teilweise bestellte Sätze werden betrachtet.

Wenn der infimum besteht, ist es einzigartig. Wenn S kleinstes Element enthält, dann ist dieses Element der infimum; sonst gehört der infimum S nicht (oder besteht nicht). Zum Beispiel haben die positiven reellen Zahlen kleinstes Element nicht, und ihr infimum ist 0, der nicht eine positive reelle Zahl ist.

Der infimum ist in einem genauen zum Konzept eines Supremums Doppel-Sinn.

Infima von reellen Zahlen

In der Analyse wird der infimum oder am größten tiefer gebunden einer Teilmenge S reeller Zahlen durch inf (S) angezeigt und wird definiert, um die größte reelle Zahl zu sein, die kleiner als oder jeder Zahl in S gleich ist. Wenn keine solche Zahl besteht (weil S unten nicht begrenzt wird), dann definieren wir inf (S) = −. Wenn S leer ist, definieren wir inf (S) =  (sieh erweiterte Linie der reellen Zahl).

Ein wichtiges Eigentum der reellen Zahlen besteht darin, dass jeder Satz von reellen Zahlen einen infimum hat (jede begrenzte nichtleere Teilmenge der reellen Zahlen hat einen infimum in den nichtverlängerten reellen Zahlen).

Beispiele:

Wenn ein Satz ein kleinstes Element, als im ersten Beispiel hat, dann ist das kleinste Element der infimum für den Satz. (Wenn der infimum im Satz enthalten wird, dann ist es auch bekannt als das Minimum). Da sich die letzten drei Beispiele zeigen, muss der infimum eines Satzes nicht dem Satz gehören.

Die Begriffe von infimum und Supremum sind im Sinn das Doppel-

:

wo

Siehe auch: untergeordnete Grenze.

Infima in teilweise bestellten Sätzen

Die Definition von infima verallgemeinert leicht zu Teilmengen von willkürlichen teilweise bestellten Sätzen und als solche Spiele eine Lebensrolle in der Ordnungstheorie. In diesem Zusammenhang, besonders in der Gitter-Theorie, werden größte niedrigere Grenzen auch genannt trifft sich.

Formell ist der infimum einer Teilmenge S eines teilweise bestellten Satzes (P, ) ein Element von solchem P dass

1. ein  x für den ganzen x in S, (eines niedrigeren gebunden zu sein), und
2. für den ganzen y in P, wenn für den ganzen x in S, y  x, dann y  (ein größerer als irgendwelcher ander tiefer bestimmt).

Jedes Element mit diesen Eigenschaften ist notwendigerweise einzigartig, aber im Allgemeinen muss kein solches Element bestehen. Folglich werden Ordnungen, für die, wie man bekannt, bestimmte infima bestehen, besonders interessant. Mehr Information über die verschiedenen Klassen teilweise bestellter Sätze, die aus solchen Rücksichten entstehen, wird im Artikel über Vollständigkeitseigenschaften gefunden.

Das Doppelkonzept von infimum wird durch den Begriff eines Supremums oder am wenigsten ober gebunden gegeben. Durch den Dualitätsgrundsatz der Ordnungstheorie wird jede Behauptung über suprema so in eine Behauptung über infima sogleich umgestaltet. Deshalb können alle weiteren Ergebnisse, Details und Beispiele vom Artikel über suprema genommen werden.

Kleinstes oberes bestimmtes Eigentum

Sieh den Artikel über das am wenigsten obere bestimmte Eigentum.

Siehe auch

• Supremum
• Wesentlicher suprema und infima
• Beschränken Sie höher und beschränken Sie untergeordnet (infimum Grenze)

Außenverbindungen

• Infimum (PlanetMath)

]