In der mathematischen Disziplin der Mengenlehre, 0 (Null scharf, auch 0#) ist der Satz von wahren Formeln über (Ordnung-) indiscernibles im Weltall von Gödel constructible. Es wird häufig als eine Teilmenge der ganzen Zahlen verschlüsselt (Gödel numerierend verwendend), oder als eine Teilmenge der hereditarily begrenzten Sätze, oder (etwas irreführend) als eine reelle Zahl. Seine Existenz ist in ZFC, der Standardform der axiomatischen Mengenlehre unbeweisbar, aber folgt aus einem passenden großen grundsätzlichen Axiom. Es wurde zuerst als eine Reihe von Formeln in der 1966-These von Silber, später veröffentlicht als eingeführt, wo es durch Σ angezeigt wurde, und dadurch wieder entdeckt hat, wer es als eine Teilmenge der natürlichen Zahlen betrachtet hat und die Notation O eingeführt hat (mit einem Großbuchstaben O; das hat sich später zu einer Nummer 0 geändert).

Grob sprechend, wenn 0 dann das Weltall besteht, sind V von Sätzen viel größer als das Weltall L von Constructible-Sätzen, während, wenn es dann nicht besteht, dem Weltall aller Sätze durch die Constructible-Sätze nah näher gekommen wird.

Definition

Scharfe Null wurde von Silver und Solovay wie folgt definiert. Denken Sie die Sprache der Mengenlehre mit unveränderlichen Extrasymbolen c, c... für jede positive ganze Zahl. Dann 0 wird definiert, um der Satz von Zahlen von Gödel der wahren Sätze über das constructible Weltall mit als der unzählbare grundsätzliche  interpretiertem c zu sein.

(Hier bedeutet   im vollen Weltall, nicht dem constructible Weltall.)

Es gibt eine Subtilität über diese Definition: Durch den undefinability Lehrsatz von Tarski ist es nicht im Allgemeinen möglich, die Wahrheit einer Formel der Mengenlehre auf der Sprache der Mengenlehre zu definieren. Um zu lösen, haben das, Silver und Solovay die Existenz eines passenden großen Kardinals wie ein Kardinal von Ramsey angenommen und haben gezeigt, dass mit dieser Extraannahme es möglich ist, die Wahrheit von Behauptungen über das constructible Weltall zu definieren. Mehr allgemein besteht die Definition von 0 Arbeiten vorausgesetzt, dass es einen unzählbaren Satz von indiscernibles für einen L und den Ausdruck "0 gibt", wird als eine Schnellschrift Weise verwendet, das zu sagen.

Es gibt mehrere geringe Schwankungen der Definition 0, die keinen bedeutenden Unterschied zu seinen Eigenschaften machen. Es gibt viele verschiedene Wahlen von Gödel numerierend, und 0 hängt von dieser Wahl ab. Anstatt als eine Teilmenge der natürlichen Zahlen betrachtet zu werden, ist es auch möglich, 0 als eine Teilmenge von Formeln einer Sprache, oder als eine Teilmenge der hereditarily begrenzten Sätze, oder als eine reelle Zahl zu verschlüsseln.

Behauptungen, die die Existenz 0 einbeziehen

Die Bedingung über die Existenz eines Kardinals von Ramsey Andeutung, die 0 besteht, kann geschwächt werden. Die Existenz von ω-Erdős Kardinälen bezieht die Existenz 0 ein. Das ist nah bestmöglich zu sein, weil die Existenz 0 andeutet, dass im constructible Weltall es einen α-Erdős Kardinal für den ganzen zählbaren α gibt, so können solche Kardinäle nicht verwendet werden, um die Existenz 0 zu beweisen.

Die Vermutung von Chang bezieht die Existenz 0 ein.

Behauptungen, die zur Existenz 0 gleichwertig

Kunen hat gezeigt, dass 0 besteht, wenn, und nur wenn dort ein nichttriviales elementares Einbetten für das Weltall von Gödel constructible L in sich besteht.

Donald A. Martin und Leo Harrington haben gezeigt, dass die Existenz 0 zum determinacy von lightface analytischen Spielen gleichwertig ist. Tatsächlich hat die Strategie für ein universales lightface analytisches Spiel denselben Grad von Turing wie 0.

Es folgt aus der Bedeckung von Jensen des Lehrsatzes, dass die Existenz 0 zu ω gleichwertig ist, der ein regelmäßiger Kardinal im constructible Weltall L ist.

Silber hat gezeigt, dass die Existenz eines unzählbaren Satzes von indiscernibles im constructible Weltall zur Existenz 0 gleichwertig ist.

Folgen der Existenz und des Nichtseins

Seine Existenz deutet an, dass jeder unzählbare Kardinal im mit dem Satz theoretischen Weltall V ein nicht wahrnehmbarer in L ist und alle großen grundsätzlichen Axiome befriedigt, die in L (solcher als völlig unbeschreiblich seiend) begriffen werden. Hieraus folgt dass die Existenz 0 dem Axiom von constructibility widerspricht: V = L.

Wenn 0 besteht, dann ist es ein Beispiel eines non-constuctible Δ Satz von ganzen Zahlen. Das ist in einem fühlen die einfachste Möglichkeit für einen Non-Constructible-Satz, da der ganze Σ und Π Sätze von ganzen Zahlen constructible sind.

Andererseits, wenn 0 nicht besteht, dann ist das constructible Weltall L das Kernmodell — d. h. das kanonische innere Modell, das der großen grundsätzlichen Struktur des betrachteten Weltalls näher kommt. In diesem Fall hält die Bedeckung von Jensen des Lemmas:

:For jeder unzählbare Satz x Ordnungszahlen gibt es einen constructible y solch dass x ⊂ y und y hat denselben cardinality wie x.

Dieses tiefe Ergebnis ist wegen Ronald Jensens. Das Verwenden des Zwingens davon ist leicht zu sehen, dass die Bedingung, dass x unzählbar ist, nicht entfernt werden kann. Denken Sie zum Beispiel das Zwingen von Namba, das bewahrt und zu einer Ordnungszahl von cofinality zusammenbricht. Lassen Sie, - Folge cofinal auf und allgemein über L zu sein. Dann kann kein Satz in L der L-Größe, die kleiner ist als (der in V, seitdem unzählbar ist, wird bewahrt), bedecken, seitdem ist ein regelmäßiger Kardinal.

Anderer sharps

Wenn x ein Satz ist, dann wird x analog zu 0 definiert, außer dass man L [x] statt L verwendet. Sieh die Abteilung auf relativem constructibility im constructible Weltall.

Siehe auch

• 0, ein Satz, der 0 ähnlich ist, wo das constructible Weltall durch ein größeres inneres Modell mit einem messbaren Kardinal ersetzt wird.