Akustische Theorie ist das Feld in Zusammenhang mit der mathematischen Beschreibung von Schallwellen. Es wird aus flüssiger Dynamik abgeleitet. Sieh Akustik für die Technikannäherung.

Die Fortpflanzung von Schallwellen in einer Flüssigkeit (wie Wasser) kann durch eine Gleichung der Bewegung (Bewahrung des Schwungs) und eine Gleichung der Kontinuität (Bewahrung der Masse) modelliert werden. Mit einigen Vereinfachungen, in der besonderen unveränderlichen Dichte, kann ihnen wie folgt gegeben werden:

:

\begin {richten }\aus

\rho_0 \frac {\\teilweiser \mathbf {v}} {\\teilweise t\+ \nabla p & = 0 \qquad \text {(Schwung-Gleichgewicht)} \\

\frac {\\teilweise p\{\\teilweise t\+ \kappa ~\nabla \cdot \mathbf {v} & = 0 \qquad \text {(Massengleichgewicht) }\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

wo der akustische Druck ist und der akustische flüssige Geschwindigkeitsvektor ist, der Vektor von Raumkoordinaten ist, die Zeit ist, die statische Massendichte des Mediums ist und das Hauptteil-Modul des Mediums ist. Das Hauptteil-Modul kann in Bezug auf die Dichte und die Geschwindigkeit des Tons im Medium als ausgedrückt werden

:

Die akustische Wellengleichung ist eine Kombination dieser zwei Sätze von Gleichgewicht-Gleichungen und kann als ausgedrückt werden

:

\cfrac {\\Partial^2 \mathbf {v}} {\\teilweiser t^2} - c_0^2 ~\nabla^2\mathbf {v} = 0

\qquad \text {oder} \qquad

\cfrac {\\partial^2 p\{\\teilweiser t^2} - c_0^2 ~\nabla^2 p = 0

</Mathematik>

Die akustische Wellengleichung (und die Masse und Schwung-Gleichgewicht-Gleichungen) wird häufig in Bezug auf ein Skalarpotenzial wo ausgedrückt. In diesem Fall wird die akustische Wellengleichung als geschrieben

:

\cfrac {\\Partial^2 \varphi} {\\teilweiser t^2} - c_0^2 ~\nabla^2 \varphi = 0

</Mathematik>

und das Schwung-Gleichgewicht und Massengleichgewicht werden als ausgedrückt

:

p + \rho_0 ~\cfrac {\\partial\varphi} {\\teilweise t\= 0 ~; ~~

\rho + \cfrac {\\rho_0} {c_0^2} ~ \cfrac {\\partial\varphi} {\\teilweise t\= 0 ~.

</Mathematik>

Abstammung der Regierungsgleichungen

Die Abstammungen der obengenannten Gleichungen für Wellen in einem akustischen Medium werden unten gegeben.

Bewahrung des Schwungs

Die Gleichungen für die Bewahrung des geradlinigen Schwungs für ein flüssiges Medium sind

:

\rho \left (\frac {\\teilweiser \mathbf {v}} {\\teilweise t\+ \mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v }\\Recht) =-\nabla p + \nabla \cdot\boldsymbol {s} + \rho\mathbf {b }\

</Mathematik>

wo die Körperkraft pro Einheitsmasse ist, der Druck ist, und die Deviatoric-Betonung ist. Wenn die Betonung von Cauchy, dann ist

:

p: =-\tfrac {1} {3} ~ \text {tr} (\boldsymbol {\\Sigma}) ~; ~~

\boldsymbol {s}: = \boldsymbol {\\Sigma} + p ~\boldsymbol {\\mathit {1} }\

</Mathematik>

wo die Reihe 2 Identitätstensor ist.

Wir machen mehrere Annahmen, um die Schwung-Gleichgewicht-Gleichung für ein akustisches Medium abzuleiten. Diese Annahmen und die resultierenden Formen der Schwung-Gleichungen werden unten entworfen.

Annahme 1: Newtonsches Fluid

In der Akustik, wie man annimmt, ist das flüssige Medium Newtonisch. Für ein Newtonsches Fluid ist der deviatoric Spannungstensor mit der Geschwindigkeit durch verbunden

:

\lambda ~ (\nabla \cdot \mathbf {v}) ~ \boldsymbol {\\mathit {1} }\

</Mathematik>

wo die Scherviskosität ist und die Hauptteil-Viskosität ist.

Deshalb wird die Abschweifung dessen durch gegeben

: \begin {richten }\aus

\nabla\cdot\boldsymbol {s} \equiv \cfrac {\\teilweiser s_ {ij}} {\\teilweiser x_i} & =

\mu \left [\cfrac {\\teilweise} {\\teilweiser x_i }\\ist (\cfrac {\\teilweiser v_i} {\\teilweiser x_j} + \cfrac {\\teilweiser v_j} {\\teilweiser x_i }\\Recht) \right] + \lambda ~\left [\cfrac {\\teilweise} {\\teilweiser x_i }\\link (\cfrac {\\teilweiser v_k} {\\teilweiser x_k }\\Recht) \right] \delta_ {ij} \\abgereist

& = \mu ~\cfrac {\\Partial^2 v_i} {\\teilweiser x_i \partial x_j} + \mu ~\cfrac {\\Partial^2 v_j} {\\teilweiser x_i\partial x_i} + \lambda ~\cfrac {\\Partial^2 v_k} {\\teilweiser x_k\partial x_j} \\

& = (\mu + \lambda) ~ \cfrac {\\Partial^2 v_i} {\\teilweiser x_i \partial x_j} + \mu ~\cfrac {\\Partial^2 v_j} {\\teilweiser x_i^2} \\

& \equiv (\mu + \lambda) ~ \nabla (\nabla\cdot\mathbf {v}) + \mu ~\nabla^2\mathbf {v} ~.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Mit der Identität haben wir

:

\nabla\cdot\boldsymbol {s} = (2\mu + \lambda) ~ \nabla (\nabla\cdot\mathbf {v}) -

\mu ~\nabla\times\nabla\times\mathbf {v} ~.

</Mathematik>

Die Gleichungen für die Bewahrung des Schwungs können dann als geschrieben werden

:

\rho \left (\frac {\\teilweiser \mathbf {v}} {\\teilweise t\+ \mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v }\\Recht) =-\nabla p + (2\mu + \lambda) ~ \nabla (\nabla\cdot\mathbf {v}) -

\mu ~\nabla\times\nabla\times\mathbf {v} + \rho\mathbf {b }\

</Mathematik>

Annahme 2: Rotationsfreier Fluss

Für die meisten Akustik-Probleme nehmen wir an, dass der Fluss rotationsfrei ist, d. h. ist der vorticity Null. In diesem Fall

:

\nabla\times\mathbf {v} = 0

</Mathematik>

und die Schwung-Gleichung nimmt zu ab

:

\rho \left (\frac {\\teilweiser \mathbf {v}} {\\teilweise t\+ \mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v }\\Recht) =-\nabla p + (2\mu + \lambda) ~ \nabla (\nabla\cdot\mathbf {v}) + \rho\mathbf {b }\

</Mathematik>

Annahme 3: Keine Körperkräfte

Eine andere oft gemachte Annahme ist, dass die Wirkung von Körperkräften auf dem flüssigen Medium unwesentlich ist. Die Schwung-Gleichung vereinfacht dann weiter zu

:

\rho \left (\frac {\\teilweiser \mathbf {v}} {\\teilweise t\+ \mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v }\\Recht) =-\nabla p + (2\mu + \lambda) ~ \nabla (\nabla\cdot\mathbf {v})

</Mathematik>

Annahme 4: Keine klebrigen Kräfte

Zusätzlich, wenn wir annehmen, dass es keine klebrigen Kräfte im Medium gibt (der Hauptteil und Scherviskosität Null ist), nimmt die Schwung-Gleichung die Form an

:

\rho \left (\frac {\\teilweiser \mathbf {v}} {\\teilweise t\+ \mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v }\\Recht) =-\nabla p

</Mathematik>

Annahme 5: Kleine Störungen

Eine wichtige Vereinfachungsannahme für akustische Wellen ist, dass der Umfang der Störung der Feldmengen klein ist. Diese Annahme führt zum geradlinigen oder kleinen Signal akustische Wellengleichung. Dann können wir die Variablen als die Summe (Zeit durchschnittlich) Mittelfeld ausdrücken , der sich im Raum und einem kleinen schwankenden Feld ändert , der sich in der Zeit und Raum ändert. Das ist

:

p = \langle p\rangle + \tilde {p} ~; ~~

\rho = \langle\rho\rangle + \tilde {\\rho} ~; ~~

\mathbf {v} = \langle\mathbf {v }\\rangle + \tilde {\\mathbf {v} }\

</Mathematik>

und

:

\cfrac {\\partial\langle p \rangle} {\\teilweise t\= 0 ~; ~~ \cfrac {\\partial\langle \rho \rangle} {\\teilweise t\= 0 ~; ~~

\cfrac {\\partial\langle \mathbf {v} \rangle} {\\teilweise t\= \mathbf {0} ~.

</Mathematik>

Dann kann die Schwung-Gleichung als ausgedrückt werden

:

\left [\langle\rho\rangle +\tilde {\\rho }\\Recht] \left [\frac {\\partial\tilde {\\mathbf {v}}} {\\teilweise t\+ \left [\langle\mathbf {v }\\rangle +\tilde {\\mathbf {v} }\\Recht] \cdot \nabla \left [\langle\mathbf {v }\\rangle +\tilde {\\mathbf {v} }\\Recht] \right] =-\nabla \left [\langle p\rangle +\tilde {p }\\Recht]

</Mathematik>

Da, wie man annimmt, die Schwankungen klein sind, können Produkte der Schwankungsbegriffe vernachlässigt werden (um zuerst zu bestellen), und wir haben

: \begin {richten }\aus

\langle\rho\rangle ~\frac {\\partial\tilde {\\mathbf {v}}} {\\teilweise t\& +

\left [\langle\rho\rangle +\tilde {\\rho }\\Recht] \left [\langle\mathbf {v }\\rangle\cdot\nabla \langle\mathbf {v }\\rangle\right] +

\langle\rho\rangle\left [\langle\mathbf {v }\\rangle\cdot\nabla\tilde {\\mathbf {v}} +

\tilde {\\mathbf {v} }\\cdot\nabla\langle\mathbf {v }\\rangle\right] \\

& =-\nabla \left [\langle p\rangle +\tilde {p }\\Recht]

\end {richten }\aus </Mathematik>

Annahme 6: Homogenes Medium

Als nächstes nehmen wir an, dass das Medium homogen ist; im Sinn, dass die Zeit Variablen im Durchschnitt betragen

hat

und haben Sie Nullanstiege, d. h.,

:

\nabla\langle p \rangle = 0 ~; ~~ \nabla\langle \rho \rangle = 0 ~.

</Mathematik>

Die Schwung-Gleichung wird dann

:

\langle\rho\rangle ~\frac {\\partial\tilde {\\mathbf {v}}} {\\teilweise t\+

\left [\langle\rho\rangle +\tilde {\\rho }\\Recht] \left [\langle\mathbf {v }\\rangle\cdot\nabla \langle\mathbf {v }\\rangle\right] + \langle\rho\rangle\left [\langle\mathbf {v }\\rangle\cdot\nabla\tilde {\\mathbf {v}} +

\tilde {\\mathbf {v} }\\cdot\nabla\langle\mathbf {v }\\rangle\right]

=-\nabla\tilde {p }\

</Mathematik>

Annahme 7: Medium ruhig

In dieser Bühne nehmen wir an, dass das Medium beruhigt ist, der andeutet, dass die Mittelgeschwindigkeit Null ist, d. h. Dann nimmt das Gleichgewicht des Schwungs zu ab

:

\langle\rho\rangle ~\frac {\\partial\tilde {\\mathbf {v}}} {\\teilweise t\=-\nabla\tilde {p }\

</Mathematik>

Die Tilden und das Verwenden fallen lassend, bekommen wir die allgemein verwendete Form der akustischen Schwung-Gleichung

:

\rho_0 ~\frac {\\partial\mathbf {v}} {\\teilweise t\+ \nabla p = 0 ~.

</Mathematik>

Bewahrung der Masse

Die Gleichung für die Bewahrung der Masse in einem flüssigen Volumen (ohne irgendwelche Massenquellen oder Becken) wird durch gegeben

:

wo die Massendichte der Flüssigkeit ist und die flüssige Geschwindigkeit ist.

Die Gleichung für die Bewahrung der Masse für ein akustisches Medium kann auch gewissermaßen ähnlich dem abgeleitet werden, das für die Bewahrung des Schwungs verwendet ist.

Annahme 1: Kleine Störungen

Von der Annahme von kleinen Störungen haben wir

: p = \langle p\rangle + \tilde {p} ~; ~~ \rho = \langle\rho\rangle + \tilde {\\rho} ~; ~~ \mathbf {v} = \langle\mathbf {v }\\rangle + \tilde {\\mathbf {v} }\ </Mathematik>und: \cfrac {\\partial\langle p \rangle} {\\teilweise t\= 0 ~; ~~ \cfrac {\\partial\langle \rho \rangle} {\\teilweise t\= 0 ~; ~~ \cfrac {\\partial\langle \mathbf {v} \rangle} {\\teilweise t\= \mathbf {0} ~. </Mathematik>

Dann kann die Massengleichgewicht-Gleichung als geschrieben werden

:

\frac {\\partial\tilde {\\rho}} {\\teilweise t\+

\left [\langle\rho\rangle +\tilde {\\rho }\\Recht] \nabla \cdot\left [\langle\mathbf {v }\\rangle +\tilde {\\mathbf {v} }\\Recht] +

\nabla\left [\langle\rho\rangle +\tilde {\\rho }\\Recht] \cdot \left [\langle\mathbf {v }\\rangle +\tilde {\\mathbf {v} }\\Recht] = 0

</Mathematik>

Wenn wir höher vernachlässigen als die ersten Ordnungsbegriffe in den Schwankungen, wird die Massengleichgewicht-Gleichung

: \frac {\\partial\tilde {\\rho}} {\\teilweise t\+

\left [\langle\rho\rangle +\tilde {\\rho }\\Recht] \nabla \cdot\langle\mathbf {v }\\rangle+

\langle\rho\rangle\nabla\cdot\tilde {\\mathbf {v}} +

\nabla\left [\langle\rho\rangle +\tilde {\\rho }\\Recht] \cdot\langle\mathbf {v }\\rangle+

\nabla\langle\rho\rangle\cdot\tilde {\\mathbf {v}} = 0

</Mathematik>

Annahme 2: Homogenes Medium

Als nächstes nehmen wir an, dass das Medium, d. h., homogen

ist:

\nabla\langle \rho \rangle = 0 ~.

</Mathematik>

Dann nimmt die Massengleichgewicht-Gleichung die Form an

: \frac {\\partial\tilde {\\rho}} {\\teilweise t\+ \left [\langle\rho\rangle +\tilde {\\rho }\\Recht] \nabla \cdot\langle\mathbf {v }\\rangle+ \langle\rho\rangle\nabla\cdot\tilde {\\mathbf {v}} +

\nabla\tilde {\\rho }\\cdot\langle\mathbf {v }\\rangle

= 0

</Mathematik>

Annahme 3: Medium ruhig

In dieser Bühne nehmen wir an, dass das Medium beruhigt ist, d. h.. Dann kann die Massengleichgewicht-Gleichung als ausgedrückt werden

: \frac {\\partial\tilde {\\rho}} {\\teilweise t\+

\langle\rho\rangle\nabla\cdot\tilde {\\mathbf {v}} = 0

</Mathematik>

Annahme 4: Ideal Gas-, adiabatisch, umkehrbar

Um das Gleichungssystem zu schließen, brauchen wir eine Gleichung des Staates für den Druck. Um das zu tun, nehmen wir an, dass das Medium ein ideales Benzin ist und alle akustischen Wellen das Medium auf eine adiabatische und umkehrbare Weise zusammenpressen. Die Gleichung des Staates kann dann in der Form der Differenzialgleichung ausgedrückt werden:

:

\cfrac {dp} {d\rho} = \cfrac {\\gamma~p} {\\rho} ~; ~~ \gamma: = \cfrac {c_p} {c_v} ~; ~~ c^2 = \cfrac {\\gamma~p} {\\rho} ~.

</Mathematik>

wo die spezifische Hitze am unveränderlichen Druck ist, die spezifische Hitze am unveränderlichen Volumen ist, und die Welle-Geschwindigkeit ist. Der Wert dessen ist 1.4, wenn das akustische Medium Luft ist.

Für kleine Störungen

:

\cfrac {dp} {d\rho} \approx \cfrac {\\Tilde {p}} {\\Tilde {\\rho}} ~; ~~

\cfrac {p} {\\rho} \approx \cfrac {\\langle p \rangle} {\\langle \rho \rangle} ~; ~~

C^2 \approx c_0^2 = \cfrac {\\Gamma ~\langle p\rangle} {\\langle \rho \rangle} ~.

</Mathematik>

wo die Geschwindigkeit des Tons im Medium ist.

Deshalb,

:

\cfrac {\\Tilde {p}} {\\Tilde {\\rho}} = \gamma ~\cfrac {\\langle p \rangle} {\\langle \rho \rangle }\

= C_0^2 \qquad \implies \qquad

\cfrac {\\partial\tilde {p}} {\\teilweise t\= C_0^2 \cfrac {\\partial\tilde {\\rho}} {\\teilweiser t }\

</Mathematik>

Das Gleichgewicht der Masse kann dann als geschrieben werden

:

\cfrac {1} {c_0^2 }\\frac {\\partial\tilde {p}} {\\teilweise t\+

\langle\rho\rangle\nabla\cdot\tilde {\\mathbf {v}} = 0 </Mathematik>

Das Fallen der Tilden und des Definierens gibt uns den allgemein verwendeten Ausdruck für das Gleichgewicht der Masse in einem akustischen Medium:

:

\frac {\\teilweise p\{\\teilweise t\+ \rho_0~c_0^2 ~\nabla\cdot\mathbf {v} = 0 ~.

</Mathematik>

Die Regelung von Gleichungen in zylindrischen Koordinaten

Wenn wir ein zylindrisches Koordinatensystem mit Basisvektoren verwenden, dann werden der Anstieg und die Abschweifung dessen durch gegeben

:

\begin {richten }\aus

\nabla p & = \cfrac {\\teilweise p\{\\teilweise r\~ \mathbf {e} _r + \cfrac {1} {r} ~ \cfrac {\\teilweise p\{\\teilweiser \theta} ~ \mathbf {e} _ \theta + \cfrac {\\teilweise p\{\\teilweise z\~ \mathbf {e} _z \\

\nabla\cdot\mathbf {v} & = \cfrac {\\teilweiser v_r} {\\teilweise r\+ \cfrac {1} {r }\\ist (\cfrac {\\teilweiser v_\theta} {\\teilweiser \theta} + v_r\right) + \cfrac {\\teilweiser v_z} {\\teilweiser z }\abgereist

\end {richten }\aus </Mathematik>

wo die Geschwindigkeit als ausgedrückt worden ist.

Die Gleichungen für die Bewahrung des Schwungs können dann als geschrieben werden:

\rho_0 ~\left [\cfrac {\\teilweiser v_r} {\\teilweise t\~ \mathbf {e} _r +\cfrac {\\teilweiser v_\theta} {\\teilweise t\~ \mathbf {e} _ \theta +\cfrac {\\teilweiser v_z} {\\teilweise t\~ \mathbf {e} _z\right] +

\cfrac {\\teilweise p\{\\teilweise r\~ \mathbf {e} _r + \cfrac {1} {r} ~ \cfrac {\\teilweise p\{\\teilweiser \theta} ~ \mathbf {e} _ \theta + \cfrac {\\teilweise p\{\\teilweise z\~ \mathbf {e} _z = 0

</Mathematik>

In Bezug auf Bestandteile sind diese drei Gleichungen für die Bewahrung des Schwungs in zylindrischen Koordinaten

:

\rho_0 ~\cfrac {\\teilweiser v_r} {\\teilweise t\+ \cfrac {\\teilweise p\{\\teilweise r\= 0 ~; ~~

\rho_0 ~\cfrac {\\teilweiser v_\theta} {\\teilweise t\+ \cfrac {1} {r} ~ \cfrac {\\teilweise p\{\\teilweiser \theta} = 0 ~; ~~

\rho_0 ~\cfrac {\\teilweiser v_z} {\\teilweise t\+ \cfrac {\\teilweise p\{\\teilweise z\= 0 ~.

</Mathematik>

Die Gleichung für die Bewahrung der Masse kann in zylindrischen Koordinaten als ähnlich geschrieben werden

:

\cfrac {\\teilweise p\{\\teilweise t\+ \kappa\left [\cfrac {\\teilweiser v_r} {\\teilweise r\+ \cfrac {1} {r }\\ist (\cfrac {\\teilweiser v_\theta} {\\teilweiser \theta} + v_r\right) + \cfrac {\\teilweiser v_z} {\\teilweiser z }\\Recht] = 0 ~ abgereist.

</Mathematik>

Zeit harmonische akustische Gleichungen in zylindrischen Koordinaten

Die akustischen Gleichungen für die Bewahrung des Schwungs und die Bewahrung der Masse werden häufig rechtzeitig harmonische Form (an der festen Frequenz) ausgedrückt. In diesem Fall, wie man annimmt, sind der Druck und die Geschwindigkeit Zeit harmonische Funktionen der Form

:

p (\mathbf {x}, t) = \hat {p} (\mathbf {x}) ~e^ {-i\omega t} ~; ~~

\mathbf {v} (\mathbf {x}, t) = \hat {\\mathbf {v}} (\mathbf {x}) ~e^ {-i\omega t} ~; ~~ i: = \sqrt {-1 }\

</Mathematik>

wo die Frequenz ist. Der Ersatz dieser Ausdrücke in die Regierungsgleichungen in zylindrischen Koordinaten gibt uns die feste Frequenzform der Bewahrung des Schwungs

:

\cfrac {\\partial\hat {p}} {\\teilweise r\= i\omega ~\rho_0 ~\hat {v} _r ~; ~~

\cfrac {1} {r} ~ \cfrac {\\partial\hat {p}} {\\teilweiser \theta} = i\omega ~\rho_0 ~\hat {v} _ \theta ~; ~~

\cfrac {\\partial\hat {p}} {\\teilweise z\= i\omega ~\rho_0 ~\hat {v} _z

</Mathematik>

und die feste Frequenzform der Bewahrung der Masse

:

\cfrac {i\omega \hat {p}} {\\kappa} = \cfrac {\\teilweiser \hat {v} _r} {\\teilweise r\+ \cfrac {1} {r }\\ist (\cfrac {\\teilweiser \hat {v} _ \theta} {\\teilweiser \theta} + \hat {v} _r\right) + \cfrac {\\teilweiser \hat {v} _z} {\\teilweise z\~ abgereist.

</Mathematik>

Spezieller Fall: Keine Z-Abhängigkeit

Im speziellen Fall, wo die Feldmengen der Z-Koordinate unabhängig sind, können wir beseitigen, um zu bekommen

:

\frac {\\partial^2 p\{\\teilweiser r^2} + \frac {1} {r }\\frac {\\teilweiser p} {\\teilweise r\+

\frac {1} {r^2} ~ \frac {\\partial^2 p\{\\partial\theta^2} + \frac {\\omega^2\rho_0} {\\kappa} ~p = 0

</Mathematik>

Das Annehmen, dass die Lösung dieser Gleichung als geschrieben werden kann

:

p (r, \theta) = R(r) ~Q (\theta)

</Mathematik>

wir können die teilweise Differenzialgleichung als schreiben

:

\cfrac {r^2} {R} ~ \cfrac {d^2R} {dr^2} + \cfrac {r} {R} ~ \cfrac {Dr} {Dr} + \cfrac {r^2\omega^2\rho_0} {\\kappa} =-\cfrac {1} {Q} ~ \cfrac {d^2Q} {d\theta^2 }\

</Mathematik>

Die linke Seite ist nicht eine Funktion dessen, während die rechte Seite nicht eine Funktion dessen ist. Folglich,

:

R^2 ~\cfrac {d^2R} {dr^2} + r ~\cfrac {Dr} {Dr} + \cfrac {r^2\omega^2\rho_0} {\\kappa} ~R = \alpha^2~R ~; ~~ \cfrac {d^2Q} {d\theta^2} =-\alpha^2~q

</Mathematik>

wo eine Konstante ist. Das Verwenden des Ersatzes

:

\tilde {r} \leftarrow \left (\omega\sqrt {\\cfrac {\\rho_0} {\\kappa} }\\Recht) r = k~r

</Mathematik>

wir haben

:

\tilde {r} ^2 ~\cfrac {d^2R} {d\tilde {r} ^2} + \tilde {r} ~ \cfrac {Dr} {d\tilde {r}} + (\tilde {r} ^2-\alpha^2) ~R = 0 ~; ~~ \cfrac {d^2Q} {d\theta^2} =-\alpha^2~q

</Mathematik>

Die Gleichung ist links die Gleichung von Bessel, die die allgemeine Lösung hat

:

R(r) = A_\alpha~J_\alpha (k~r) + B_\alpha~J_ {-\alpha} (k~r)

</Mathematik>

wo die zylindrische Funktion von Bessel der ersten Art ist und unentschiedene Konstanten sind. Die Gleichung hat rechts die allgemeine Lösung

:

Q (\theta) = C_\alpha~e^ {i\alpha\theta} + D_\alpha~e^ {-i\alpha\theta }\

</Mathematik>

wo unentschiedene Konstanten sind. Dann ist die Lösung der akustischen Wellengleichung

:

p (r, \theta) = \left [A_\alpha~J_\alpha (k~r) + B_\alpha~J_ {-\alpha} (k~r) \right] \left (C_\alpha~e^ {i\alpha\theta} + D_\alpha~e^ {-i\alpha\theta }\\Recht)

</Mathematik>

Grenzbedingungen sind in dieser Bühne erforderlich, um zu bestimmen, und die anderen unentschiedenen Konstanten.

Siehe auch

• Aeroacoustics
• Übertragungsfunktion
• Ton
• Akustischer Scheinwiderstand
• Akustischer Widerstand
• Gesetz von Benzin
• Frequenz
• Analyse von Fourier
• Musik-Theorie
• Stimmenproduktion
• Formant
• Rede-Synthese
• Lautsprecher-Akustik
• Zusammengelegtes Teilmodell