Die Gudermannian-Funktion, genannt nach Christoph Gudermann (1798-1852), verbindet die kreisförmigen Funktionen und Hyperbelfunktionen, ohne komplexe Zahlen zu verwenden.

Es wird durch definiert

:

&= \arcsin\left (\tanh x \right)

\mathrm {arctan }\\ist (\sinh x \right) \\[8pt] abgereist

&=2 \arctan\left [\tanh\left (\tfrac12x\right) \right]

2\arctan (E^x)-\tfrac12\pi.

\end {richten }\\, \aus! </Mathematik>

Einige zusammenhängende Formeln arbeiten als Definitionen nicht ganz. Zum Beispiel, für echten x. (Sieh umgekehrte trigonometrische Funktionen.)

Die folgende Identität hält:

:

\csc\mathrm {gd }\\, x =\coth x; \\

\cos\mathrm {gd }\\,x&= \mathrm {sech }\\, x; \quad \,

\sec\mathrm {gd }\\, x =\cosh x; \\

\tan\mathrm {gd }\\,x&= \sinh x; \quad \,

\cot\mathrm {gd }\\, x =\mathrm {csch }\\, x; \\

{} _ {\\{weiße} Farbe. }\\tan\tfrac {1} {2 }\\mathrm {gd }\\,x&= \tanh\tfrac {1} {2} x.

\end {richten }\\, \aus! </Mathematik>

Die umgekehrte Funktion von Gudermannian, die auf dem Zwischenraum &minus;/2 definiert wird

\begin {richten }\aus

\operatorname {gd} ^ {-1 }\\, x & = \int_0^x\frac {dt} {\\weil t} \\[8pt]

& = \ln\left | \frac {1 + \sin x} {\\weil x\\right | = \tfrac12\ln \left | \frac {1 + \sin x} {1 - \sin x} \right | \\[8pt]

& = \ln\left | \tan x + \sec x \right | = \ln \left | \tan\left (\tfrac14\pi + \tfrac12x\right) \right | \\[8pt]

& = \mathrm {artanh }\\, (\sin x) = \mathrm {arsinh }\\, (\tan x).

\end {richten }\aus

</Mathematik>

(Sieh umgekehrte Hyperbelfunktionen.)

Die Ableitungen von Gudermannian und seinem Gegenteil sind

:

\quad \frac {d} {dx }\\; \operatorname {gd} ^ {-1 }\\, x =\sec x. </math>

Der Ausdruck

:

definiert den Winkel der Parallelismus-Funktion in der Hyperbelgeometrie.

Geschichte

Die Funktion wurde von Johann Heinrich Lambert in den 1760er Jahren zur gleichen Zeit als die Hyperbelfunktionen eingeführt. Er hat es den "transzendenten Winkel," genannt, und es ist durch verschiedene Namen bis 1862 gegangen, als Arthur Cayley vorgeschlagen hat, dass ihm sein aktueller Name als eine Huldigung zur Arbeit von Gudermann in den 1830er Jahren an der Theorie von speziellen Funktionen gegeben wird. Gudermann hatte Artikel in der Zeitschrift von Crelle veröffentlicht, die in Theorie der potenzial- oder cyklisch-hyperbolischen functionen (1833), ein Buch gesammelt wurden, das sinh und Totschläger zu einem breiten Publikum (unter den Gestalten und) erklärt hat.

Die Notation gd erscheint zuerst auf der Seite 19 der Philosophischen Zeitschrift, vol. XXIV, wo Cayley durch das Benennen gd. u das Gegenteil des Integrals der schneidenden Funktion anfängt:

:

und leitet dann "die Definition" des transzendenten ab:

:

das Bemerken sofort, dass es eine echte Funktion von u ist.

Anwendungen

Der Gudermannian des Breiten-(erwarteter Norden/Süden) Entfernung vom Äquator auf einem Vorsprung von Mercator ist die Meridian-Kreisbogen-Länge, d. h. wirkliche Breite auf dem Erdball.

Der Gudermannian erscheint in einer nichtperiodischen Lösung des umgekehrten Pendels.

Siehe auch

• Schneidender Hyperbelvertrieb
• Vorsprung von Mercator
• Tangente-Halbwinkelformel
• Tractrix
• Trigonometrische Identität

Referenzen

• CRC Handbuch von Mathematischen Wissenschaften 5. Hrsg.-Seiten 323-325.