In der Mathematik sind Hyperbelfunktionen Analoga der gewöhnlichen trigonometrischen oder kreisförmigen, Funktionen. Die grundlegenden Hyperbelfunktionen sind der Sinus hyperbolicus "sinh" (oder), und der Cosinus hyperbolicus "Totschläger" , von dem der Tangens hyperbolicus "tanh" und so weiter entsprechend den abgeleiteten trigonometrischen Funktionen abgeleitet werden. Die umgekehrten Hyperbelfunktionen sind der Bereichssinus hyperbolicus "arsinh" (auch hat "asinh" oder manchmal "arcsinh" genannt) und so weiter.

Da die Punkte (weil t, Sünde t) einen Kreis mit einem Einheitsradius bilden, bilden die Punkte (Totschläger t, sinh t) die richtige Hälfte der gleichseitigen Hyperbel. Hyperbelfunktionen kommen in den Lösungen einiger wichtiger linearer Differenzialgleichungen, zum Beispiel die Gleichung vor, die eine Kettenlinie, einiger kubischer Gleichungen, und der Gleichung von Laplace in Kartesianischen Koordinaten definiert. Der Letztere ist in vielen Gebieten der Physik, einschließlich elektromagnetischer Theorie, Wärmeübertragung, flüssiger Dynamik und spezieller Relativität wichtig.

Die Hyperbelfunktionen nehmen echte Werte für ein echtes Argument genannt einen Hyperbelwinkel. In der komplizierten Analyse sind sie einfach vernünftige Funktionen von exponentials, und meromorphic auch.

Hyperbelfunktionen wurden in den 1760er Jahren unabhängig von Vincenzo Riccati und Johann Heinrich Lambert eingeführt. Riccati hat Sc. und Cc ([co] Kurve circulare) verwendet, um sich auf kreisförmige Funktionen und Sch zu beziehen. und Ch. ([co] Kurve hyperbolico), um sich auf Hyperbelfunktionen zu beziehen. Lambert hat die Namen angenommen, aber hat die Abkürzungen dazu verändert, was sie heute sind. Die Abkürzungen sch und ch werden noch auf einigen anderen Sprachen, wie Französisch und Russisch verwendet.

Algebraische Standardausdrücke

Die Hyperbelfunktionen sind:

• Sinus hyperbolicus:

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• Cosinus hyperbolicus:

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• Tangens hyperbolicus:

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• Hyperbelkotangens:

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• Hyperbelsekante:

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• Hyperbolischer cosecant:

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Hyperbelfunktionen können über imaginäre kreisförmige Winkel eingeführt werden:

Sinus hyperbolicus::: Cosinus hyperbolicus::: Tangens hyperbolicus::: Hyperbelkotangens::: Hyperbelsekante::: Hyperbolischer cosecant:::

wo ich die imaginäre Einheit bin, die von mir = 1 definiert ist.

Die komplizierten Formen in den Definitionen sind oben auf die Formel von Euler zurückzuführen.

Bemerken Sie dass, durch die Tagung, sinh x Mittel (sinh x), nicht sinh (sinh x), und ähnlich für die anderen Hyperbelfunktionen, wenn verwendet, mit positiven Hochzahlen. Im Gegensatz sinh bezieht sich x auf die umgekehrte Funktion arsinh x und nicht auf ein Gegenstück (und wieder ebenfalls für die anderen Hyperbelfunktionen).

Nützliche Beziehungen

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Folglich:

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Es kann gesehen werden, dass Totschläger x und sech x sogar Funktionen sind; andere sind sonderbare Funktionen.

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Sinus hyperbolicus und Kosinus befriedigen die Identität

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der der Pythagoreischen trigonometrischen Identität ähnlich ist. Man hat auch

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für die anderen Funktionen.

Der Tangens hyperbolicus ist die Lösung des nichtlinearen Grenzwertproblems:

:

Es kann gezeigt werden, dass das Gebiet unter der Kurve des Totschlägers x immer der Kreisbogen-Länge gleich ist:

:

Summen von Argumenten:

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Summe und Unterschied des Totschlägers und sinh:

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Gegenteil fungiert als Logarithmen

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Ableitungen

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Standardintegrale

Für eine volle Liste von Integralen von Hyperbelfunktionen, sieh Liste von Integralen von Hyperbelfunktionen

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Wo C die Konstante der Integration ist.

Reihe-Ausdrücke von Taylor

Es ist möglich, die obengenannten Funktionen als Reihe von Taylor auszudrücken:

:

Die Funktion sinh x hat einen Reihe-Ausdruck von Taylor mit nur sonderbaren Hochzahlen für x. So ist es eine sonderbare Funktion, d. h. sinh x = sinh (x), und sinh 0 = 0.

:

Der Funktionstotschläger x hat einen Reihe-Ausdruck von Taylor mit nur sogar Hochzahlen für x. So ist es sogar Funktion, d. h. symmetrisch in Bezug auf die Y-Achse. Die Summe des sinh und der Totschläger-Reihe ist der unendliche Reihe-Ausdruck der Exponentialfunktion.

::::wo

: ist die n-te Zahl von Bernoulli

: ist die n-te Zahl von Euler

Vergleich mit kreisförmigen trigonometrischen Funktionen

Denken Sie diese zwei Teilmengen des Kartesianischen Flugzeugs

:

Dann Formen der richtige Zweig der Einheitshyperbel

{(x, y): x − y = 1\,

während B der Einheitskreis ist. Zweifellos = {(1,0)}. Der primäre Unterschied ist, dass die Karte t  B eine periodische Funktion ist, während t  A nicht ist.

Es gibt eine nahe Analogie mit B durch komplexe Zahlen des Spalts im Vergleich mit gewöhnlichen komplexen Zahlen und seine Kreisgruppe. Insbesondere die Karten t  A und t  B sind die Exponentialkarte in jedem Fall. Sie sind beide Beispiele von Ein-Parameter-Gruppen in der Lüge-Theorie, wo sich alle Gruppen aus der Identität entwickeln

Für die Unähnlichkeit, in der Fachsprache von topologischen Gruppen, bildet B eine Kompaktgruppe, während A nichtkompakt ist, da es unbegrenzt ist.

Die Hyperbelfunktionen befriedigen viele Identität, sie alle, die in der Form zur trigonometrischen Identität ähnlich sind. Tatsächlich stellt die Regierung von Osborn fest, dass man jede trigonometrische Identität in eine Hyperbelidentität umwandeln kann, indem man sie völlig in Bezug auf integrierte Mächte von Sinus und Kosinus ausbreitet, Sinus zu sinh und Kosinus zum Totschläger ändernd, und das Zeichen jedes Begriffes schaltend, der ein Produkt 2, 6, 10, 14... sinhs enthält. Das gibt zum Beispiel die Hinzufügungslehrsätze nach

:::

die "doppelten Argument-Formeln"

:::

und die "Halbargument-Formeln"

: Zeichen: Das ist zu seinem kreisförmigen Kollegen gleichwertig, der mit 1 multipliziert ist.

: Zeichen: Das entspricht seinem kreisförmigen Kollegen.

Die Ableitung von sinh x ist Totschläger x, und die Ableitung des Totschlägers ist x sinh x; das ist trigonometrischen Funktionen ähnlich, obgleich das Zeichen verschieden ist (d. h., die Ableitung dessen, weil x sin x ist).

Die Gudermannian-Funktion gibt eine direkte Beziehung zwischen den kreisförmigen Funktionen und den hyperbolischen, der komplexe Zahlen nicht einschließt.

Der Graph der Funktion ein Totschläger (x/a) ist die Kettenlinie, die Kurve, die durch eine gleichförmige flexible Kette gebildet ist, die frei zwischen zwei festen Punkten unter dem gleichförmigen Ernst hängt.

Beziehung zur Exponentialfunktion

Aus den Definitionen des Sinus hyperbolicus und Kosinus können wir die folgende Identität ableiten:

:

und

:

Diese Ausdrücke sind den Ausdrücken für den Sinus und Kosinus analog, der auf der Formel von Euler, als Summen des Komplexes exponentials gestützt ist.

Hyperbelfunktionen für komplexe Zahlen

Da die Exponentialfunktion für jedes komplizierte Argument definiert werden kann, können wir die Definitionen der Hyperbelfunktionen auch zu komplizierten Argumenten erweitern. Die Funktionen sinh z und der Totschläger z sind dann holomorphic.

Beziehungen zu gewöhnlichen trigonometrischen Funktionen werden durch die Formel von Euler für komplexe Zahlen gegeben:

::

so:

::::::::

So sind Hyperbelfunktionen in Bezug auf den imaginären Bestandteil, mit der Periode (für den Tangens hyperbolicus und Kotangens) periodisch.

Siehe auch

• e (mathematische Konstante)
• Gleicher incircles Lehrsatz, der auf sinh gestützt ist
• Liste von Integralen von Hyperbelfunktionen
• Die Spiralen von Poinsot
• Sigmoid fungieren

Links

• Hyperbelfunktionen auf PlanetMath
• Hyperbelfunktionszugang an MathWorld
• GonioLab: Vergegenwärtigung des Einheitskreises, trigonometrische und hyperbolische Funktionen (javanischer Webanfang)
• Webbasierte Rechenmaschine von Hyperbelfunktionen