In der abstrakten Algebra ist ein Gruppenisomorphismus eine Funktion zwischen zwei Gruppen, die eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen den Elementen der Gruppen in einem Weg aufstellt, der die gegebenen Gruppenoperationen respektiert. Wenn dort ein Isomorphismus zwischen zwei Gruppen besteht, dann werden die Gruppen isomorph genannt. Von der Einstellung der Gruppentheorie haben isomorphe Gruppen dieselben Eigenschaften und brauchen nicht bemerkenswert zu sein.

Definition und Notation

In Anbetracht zwei Gruppen (*) und , ein Gruppenisomorphismus davon (*) dazu ist ein bijektiver Gruppenhomomorphismus von dazu. Dargelegt bedeutet das, dass ein Gruppenisomorphismus eine bijektive solche Funktion ist, dass für alle und darin das hält

:.

Die zwei Gruppen (*) und sind isomorph, wenn dort ein Isomorphismus von einem bis den anderen besteht. Das wird geschrieben:

:

Häufig kürzer und können einfachere Notationen verwendet werden. Wenn die relevanten Gruppenoperationen eindeutig sind, werden sie weggelassen, und man schreibt:

:

Manchmal kann man sogar einfach = schreiben. Ob solch eine Notation ohne Verwirrung möglich ist oder Zweideutigkeit von Zusammenhang abhängt. Zum Beispiel ist das Gleichheitszeichen nicht sehr passend, wenn die Gruppen beide Untergruppen derselben Gruppe sind. Siehe auch die Beispiele.

Umgekehrt, in Anbetracht einer Gruppe (*), ein Satz und eine Bijektion, können wir eine Gruppe machen indem wir definieren

:.

Wenn = und = * dann die Bijektion ein automorphism (q.v) ist.

Intuitiv sehen Gruppentheoretiker zwei isomorphe Gruppen wie folgt an: Für jedes Element g einer Gruppe G, dort besteht ein Element h solchen H, dass sich h 'ebenso' als g benimmt (funktioniert mit anderen Elementen der Gruppe ebenso als g). Zum Beispiel, wenn g G erzeugt, dann so tut h. Das deutet insbesondere an, dass G und H in der bijektiven Ähnlichkeit sind. So ist die Definition eines Isomorphismus ziemlich natürlich.

Ein Isomorphismus von Gruppen kann als ein invertible morphism in der Kategorie von Gruppen gleichwertig definiert werden, wo invertible hier bedeutet, hat ein zweiseitiges Gegenteil.

Beispiele

• Die Gruppe aller reellen Zahlen mit der Hinzufügung, (+), ist zur Gruppe aller positiven reellen Zahlen mit der Multiplikation isomorph (,&times):

:

über den Isomorphismus

:

(sieh Exponentialfunktion).

• Die Gruppe von ganzen Zahlen (mit der Hinzufügung) ist eine Untergruppe, und die Faktor-Gruppe ist zur Gruppe von komplexen Zahlen des absoluten Werts 1 (mit der Multiplikation) isomorph:

:

Ein Isomorphismus wird durch gegeben

:

für jeden darin.

• Der vier-Gruppen-Klein ist zum direkten Produkt von zwei Kopien dessen isomorph (sieh Modularithmetik), und kann deshalb geschrieben werden. Eine andere Notation ist Dih, weil es eine zweiflächige Gruppe ist.
• Das für den ganzen sonderbaren n verallgemeinernd, ist Dih mit dem direkten Produkt von Dih und Z isomorph.
• Wenn (G, *) eine unendliche zyklische Gruppe ist, dann (G, *) ist zu den ganzen Zahlen (mit der Hinzufügungsoperation) isomorph. Aus einem algebraischen Gesichtspunkt bedeutet das, dass der Satz aller ganzen Zahlen (mit der Hinzufügungsoperation) die 'einzige' unendliche zyklische Gruppe ist.

Wie man

beweisen kann, sind einige Gruppen isomorph, sich auf das Axiom der Wahl verlassend, aber der Beweis zeigt nicht an, wie man einen konkreten Isomorphismus baut. Beispiele:

• Die Gruppe (+) ist zur Gruppe (+) von allen komplexen Zahlen mit der Hinzufügung isomorph.
• Die Gruppe (·) komplexer Nichtnullzahlen mit der Multiplikation weil ist Operation zur Gruppe S erwähnt oben isomorph.

Eigenschaften

• Der Kern eines Isomorphismus von (G, *) zu (H) ist immer {e}, wo e die Identität der Gruppe (G, *) ist
• Wenn (G, *) zu (H) isomorph ist, und wenn G abelian dann ist, auch ist H.
• Wenn (G, *) eine Gruppe ist, die zu (H), [isomorph ist, wo f der Isomorphismus], dann ist, wenn ein Gehören G und Auftrag n, dann so f (a) hat.
• Wenn (G, *) eine lokal begrenzte Gruppe ist, die zu (H) isomorph ist, dann (H), ist auch lokal begrenzt.
• Die vorherigen Beispiele illustrieren, dass 'Gruppeneigenschaften' immer durch den Isomorphismus bewahrt werden.

Zyklische Gruppen

Alle zyklischen Gruppen einer gegebenen Ordnung sind dazu isomorph.

Lassen Sie G eine zyklische Gruppe und n sein, die Ordnung von G sein. G ist dann die Gruppe, die dadurch erzeugt ist

Wir werden dem zeigen

:

Definieren Sie

: so dass. Klar, ist bijektiv.

Dann

: der das beweist.

Folgen

Aus der Definition, hieraus folgt dass jeder Isomorphismus das Identitätselement zum Identitätselement, kartografisch darstellen wird

:

dass es Gegenteile zu Gegenteilen, kartografisch darstellen wird

:

und mehr allgemein, die n-ten Mächte zu den n-ten Mächten,

:

für alle in,

und dass die umgekehrte Karte auch ein Gruppenisomorphismus ist.

Die Beziehung "isomorph zu sein", befriedigt alle Axiome einer Gleichwertigkeitsbeziehung. Wenn ein Isomorphismus zwischen zwei Gruppen ist und, dann ist alles, was darüber wahr ist, nur mit der Gruppenstruktur verbunden kann über in einen wahren dito Behauptung über, und umgekehrt übersetzt werden.

Automorphisms

Ein Isomorphismus von einer Gruppe (*) zu sich wird einen automorphism dieser Gruppe genannt. So ist es eine solche Bijektion dass

:.

Ein automorphism stellt immer die Identität zu sich kartografisch dar. Das Image unter einem automorphism einer conjugacy Klasse ist immer eine conjugacy Klasse (dasselbe oder ein anderer). Das Image eines Elements hat dieselbe Ordnung wie dieses Element.

Die Zusammensetzung von zwei automorphisms ist wieder ein automorphism, und mit dieser Operation bildet der Satz des ganzen automorphisms einer Gruppe, die von Aut angezeigt ist, sich eine Gruppe, die automorphism Gruppe dessen.

Für alle Gruppen von Abelian gibt es mindestens den automorphism, der die Gruppenelemente durch ihre Gegenteile ersetzt. Jedoch in Gruppen, wo alle Elemente ihrem Gegenteil gleich sind, ist das der triviale automorphism z.B im vier-Gruppen-Klein. Für diese Gruppe sind alle Versetzungen der drei Nichtidentitätselemente automorphisms, so ist die automorphism Gruppe zu und Dih isomorph.

In Z für eine Primzahl kann ein Nichtidentitätselement von irgendwelchem anderer mit entsprechenden Änderungen in den anderen Elementen ersetzt werden. Die automorphism Gruppe ist zu Z isomorph. Zum Beispiel, für = 7, alle Elemente von Z durch 3, modulo 7 multiplizierend, ist ein automorphism des Auftrags 6 in der automorphism Gruppe, weil 3 = 1 (modulo 7), während niedrigere Mächte 1 nicht geben. So erzeugt dieser automorphism Z. Es gibt einen mehr automorphism mit diesem Eigentum: alle Elemente von Z durch 5, modulo 7 multiplizierend. Deshalb entsprechen diese zwei den Elementen 1 und 5 von Z in dieser Ordnung oder umgekehrt.

Die automorphism Gruppe von Z ist zu Z isomorph, weil nur jedes der zwei Elemente 1 und 5 Z erzeugt, so abgesondert von der Identität können wir nur diese auswechseln.

Die automorphism Gruppe von Z × Z × Z = Dih × Z hat Auftrag 168, wie wie folgt gefunden werden kann. Alle 7 Nichtidentitätselemente spielen dieselbe Rolle, so können wir der Spiele die Rolle (1,0,0) wählen. Einige der restlichen 6 kann gewählt werden, um die Rolle (0,1,0) zu spielen. Das bestimmt, der (1,1,0) entspricht. Für (0,0,1) können wir von 4 wählen, der den Rest bestimmt. So haben wir 7 × 6 × 4 = 168 automorphisms. Sie entsprechen denjenigen des Flugzeugs von Fano, dessen die 7 Punkte den 7 Nichtidentitätselementen entsprechen. Die Linien, die drei Punkte verbinden, entsprechen der Gruppenoperation: a, b, und c auf einer Linie bedeutet a+b=c, a+c=b, und b+c=a. Siehe auch allgemeine geradlinige Gruppe über begrenzte Felder.

Für Abelian Gruppen werden alle automorphisms außer dem trivialen Außenautomorphisms genannt.

Non-Abelian Gruppen haben eine nichttriviale innere automorphism Gruppe, und vielleicht auch Außenautomorphisms.

• Herstein, ich. N., Themen in der Algebra, Wiley; 2 Ausgabe (am 20. Juni 1975), internationale Standardbuchnummer 0-471-01090-1.