In der Mathematik ist Skalarmultiplikation eine der grundlegenden Operationen, die einen Vektorraum in der geradlinigen Algebra (oder mehr allgemein, ein Modul in der abstrakten Algebra) definieren. In einem intuitiven geometrischen Zusammenhang multipliziert die Skalarmultiplikation eines echten Euklidischen Vektoren durch eine positive reelle Zahl den Umfang des Vektoren, ohne seine Richtung zu ändern. Der Begriff "Skalar" selbst ist auf diesen Gebrauch zurückzuführen: Ein Skalar ist das, das Vektoren erklettert. Skalarmultiplikation ist vom Skalarprodukt verschieden, das ein Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren ist.

Definition

Im Allgemeinen, wenn K ein Feld ist und V ein Vektorraum über K ist, dann ist Skalarmultiplikation eine Funktion von K × V zu V.

Das Ergebnis, diese Funktion auf c in K und v in V anzuwenden, wird c'v angezeigt.

Skalarmultiplikation folgt den folgenden Regeln (Vektor in der Fettschrift):

• Verlassener distributivity: (c + d) v = c'v + d'v;
• Recht distributivity: c (v + w) = c'v + c'w;
• Associativity: (cd) v = c (d'v);
• Das Multiplizieren mit 1 ändert keinen Vektoren: 1v = v;
• Das Multiplizieren mit 0 gibt den ungültigen Vektoren: 0v = 0;
• Das Multiplizieren mit-1 gibt das zusätzliche Gegenteil: (-1) v =-v.

Hier + ist Hinzufügung entweder im Feld oder im Vektorraum, als passend; und 0 ist die zusätzliche Identität in auch.

Nebeneinanderstellung zeigt entweder Skalarmultiplikation oder die Multiplikationsoperation im Feld an.

Skalarmultiplikation kann als eine binäre Außenoperation oder als eine Handlung des Feldes auf dem Vektorraum angesehen werden. Eine geometrische Interpretation zur Skalarmultiplikation ist ein Ausdehnen oder das Schrumpfen eines Vektoren.

Als ein spezieller Fall, V kann genommen werden, um K selbst zu sein, und Skalarmultiplikation kann dann genommen werden, um einfach die Multiplikation im Feld zu sein.

Wenn V K ist, dann wird Skalarmultiplikation teilklug definiert.

Dieselbe Idee geht ohne Änderung durch, wenn K ein Ersatzring ist und V ein Modul über K ist.

K kann sogar ein Bohrturm sein, aber dann gibt es kein zusätzliches Gegenteil.

Wenn K nicht auswechselbar ist, dann ist die einzige Änderung, dass die Ordnung der Multiplikation umgekehrt werden kann, hat das Hinauslaufen auf die verschiedenen Operationen Skalarmultiplikation c'v und richtige Skalarmultiplikation vc verlassen.

Siehe auch

• Statik
• Mechanik
• Produkt (Mathematik)