In der Mathematik ist ein Reziprozitätsgesetz eine Generalisation des Gesetzes der quadratischen Reziprozität.

Es gibt mehrere verschiedene Weisen, Reziprozitätsgesetze auszudrücken. Die frühen Reziprozitätsgesetze gefunden wurden gewöhnlich im 19. Jahrhundert in Bezug auf ein Macht-Rückstand-Symbol (p/q) Generalisierung des quadratischen Reziprozitätssymbols ausgedrückt, das beschreibt, wenn eine Primzahl ein n-ter Macht-Rückstand modulo eine andere Blüte ist, und eine Beziehung zwischen (p/q) und (q/p) gegeben hat. Hilbert hat die Reziprozitätsgesetze wiederformuliert, sagend dass ein Produkt über p von Norm-Rückstand-Symbolen von Hilbert (a, b/p), Werte in Wurzeln der Einheit nehmend, 1 gleich ist. Artin hat die Reziprozitätsgesetze als eine Behauptung wiederformuliert, dass das Symbol von Artin von Idealen (oder ideles) zu Elementen einer Gruppe von Galois auf einer bestimmten Untergruppe trivial ist. Mehrere neuere Generalisationen drücken Reziprozitätsgesetze mit cohomology Gruppen oder Darstellungen von adelic Gruppen oder algebraischen K-Gruppen aus, und ihre Beziehung mit dem ursprünglichen quadratischen Reziprozitätsgesetz kann hart sein zu sehen.

Quadratische Reziprozität

In Bezug auf das Symbol von Legendre setzt das Gesetz der quadratischen Reziprozität für die positive sonderbare Blüte fest

Kubikreziprozität

Das Gesetz der Kubikreziprozität für ganze Zahlen von Eisenstein setzt das wenn &alpha fest; und β sind (Blüte primär, die zu 2 mod 3 kongruent ist) dann

Reziprozität von Quartic

In Bezug auf das quartic Rückstand-Symbol stellt das Gesetz der quartic Reziprozität für ganze Zahlen von Gaussian das fest, wenn π und θ (kongruent zu 1 mod (1+i)) Blüte von Gaussian dann primär

(-1) ^ {\\frac {N\pi - 1} {4 }\\frac {N\theta-1} {4}}. </Mathematik>

Reziprozität von Octic

Reziprozität von Eisenstein

Nehmen Sie an, dass ζ eine lth Wurzel der Einheit für einen sonderbaren ersten l ist.

Der Macht-Charakter ist die Macht von solchem ζ dass

für jedes Hauptideal p Z [ζ]. Es wird zu anderen Idealen in durch multiplicativity erweitert.

Das Reziprozitätsgesetz von Eisenstein setzt das fest

für jede vernünftige ganze Zahl coprime zu l und α jedes Element von Z [ζ], der coprime zu a und l und kongruent zu einer vernünftigen ganzen Zahl modulo (1-ζ) ist.

Reziprozität von Kummer

Nehmen Sie an, dass ζ eine lth Wurzel der Einheit für einen sonderbaren regelmäßigen ersten l ist. Da l regelmäßig ist, können wir das Symbol {} zu Idealen auf eine einzigartige solche Weise dass erweitern

: wo n eine ganze Zahl ist, die zu solchem l erst ist, dass p hauptsächlich ist.

Das Kummer Reziprozitätsgesetz setzt das fest

für p und q irgendwelche verschiedenen Hauptideale von Z [ζ] anders als (1-ζ).

Reziprozität von Hilbert

In Bezug auf das Symbol von Hilbert setzt das Reziprozitätsgesetz von Hilbert für ein Feld der algebraischen Zahl das fest

wo das Produkt über alle begrenzten und unendlichen Plätze ist.

Über die rationalen Zahlen ist das zum Gesetz der quadratischen Reziprozität gleichwertig. Das zu sehen, a und b nehmen, um verschiedene sonderbare Blüte zu sein.

Dann wird das Gesetz von Hilbert

Aber (p, q) ist dem Symbol von Legendre gleich, (p, q) ist 1, wenn einer von p und q positiv ist und-1 sonst, und (p, q) ist (-1). So für p und q positiven sonderbaren Haupthilbert ist Gesetz das Gesetz der quadratischen Reziprozität.

Reziprozität von Artin

Auf der Sprache, wenn ideles, das Reziprozitätsgesetz von Artin für eine begrenzte Erweiterung L/K feststellen, dass die Karte von Artin von der idele Klassengruppe C dem abelianization Mädchen (L/K) der Gruppe von Galois auf N (C) verschwindet, und veranlasst einen Isomorphismus

Obwohl es nicht sofort offensichtlich ist, bezieht das Reziprozitätsgesetz von Artin leicht alle vorher entdeckten Reziprozitätsgesetze, durch die Verwendung davon auf passende Erweiterungen L/K ein.

Zum Beispiel im speziellen Fall, wenn K die n-ten Wurzeln der Einheit und des L=K enthält einer Erweiterung von Kummer von K zu sein, bezieht die Tatsache, dass die Karte von Artin auf N (C) verschwindet, das Reziprozitätsgesetz von Hilbert für das Symbol von Hilbert ein.

Lokale Reziprozität

Hasse hat eine lokale Entsprechung des Reziprozitätsgesetzes von Artin, genannt das lokale Reziprozitätsgesetz eingeführt. Eine Form davon stellt fest, dass für eine begrenzte abelian Erweiterung von L/K von lokalen Feldern die Karte von Artin ein Isomorphismus ist

von auf die Gruppe von Galois.

Ausführliche Reziprozitätsgesetze

Um ein klassisches Stil-Reziprozitätsgesetz aus dem Reziprozitätsgesetz von Hilbert Π (a, b) =1 zu bekommen, muss man die Werte (a, b) für p wissen, der sich n teilt. Ausführliche Formeln dafür werden manchmal ausführliche Reziprozitätsgesetze genannt.

Das Reziprozitätsgesetz von Scholz

Reziprozität von Shimura

Reziprozität von Langlands

Das Langlands Programm schließt mehrere Vermutungen für allgemeine reduktive algebraische Gruppen ein, die für die spezielle von der Gruppe GL das Reziprozitätsgesetz von Artin einbeziehen.

Das Reziprozitätsgesetz von Yamamoto

Siehe auch

• Das neunte Problem von Hilbert
• Der Reziprozitätslehrsatz von Stanley
• Reziprozität von Weil