In der Algebra ist das n-te cyclotomic Polynom, für jede positive ganze Zahl n, das monic Polynom:

:

wo das Produkt über alle n-ten primitiven Wurzeln der Einheit ω in einem Feld, d. h. allen komplexen Zahlen ω vom Auftrag n ist.

Eigenschaften

Lassen Sie uns untergehen.

Grundsätzliche Werkzeuge

Der Grad, oder mit anderen Worten die Zahl von Faktoren in seiner Definition oben, ist φ (n), wo φ die Totient-Funktion von Euler ist.

Die Koeffizienten dessen sind ganze Zahlen mit anderen Worten, Das kann elementar durch das Ausdrücken der Koeffizienten der Polynome als elementare symmetrische Polynome der primitiven Wurzeln gesehen werden, und induktiv durch das Verwenden der Beziehung weiterzugehen:

:

Die grundsätzliche Beziehung, die cyclotomic Polynome einschließt, ist

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der sich auf die Tatsache beläuft, dass jedes mit der n-ten Wurzel der Einheit beteiligte Polynom Produkt, für einen Teiler d von n, einer primitiven d-th Wurzel der Einheit ist. Das hängt von Formel ab:

\sum_ {d\mid n }\\varphi (d) =n,

</Mathematik>

wo φ die Totient-Funktion von Euler ist.

Die Möbius Inversionsformel gibt die gleichwertige Formulierung nach:

:

wo μ die Funktion von Möbius ist.

Von dieser Tatsache, oder wechselweise direkt von der Tatsache, dass die Wurzeln eines cyclotomic Polynoms die primitiven Wurzeln der Einheit sind, können wir rechnen, indem wir uns durch die cyclotomic Polynome der richtigen Teiler von n teilen:

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