Die Schneeflocke von Koch (auch bekannt als der Stern von Koch und die Insel von Koch) ist eine mathematische Kurve und eine der frühsten zu beschreibenden Fractal-Kurven. Es basiert auf der Kurve von Koch, die in einer 1904-Zeitung betitelt "Auf einer dauernden Kurve ohne Tangenten, constructible von der elementaren Geometrie" erschienen ist (ursprünglicher französischer Titel: Sur une courbe gehen ohne tangente, obtenue Durchschnitt une Aufbau géométrique élémentaire weiter) durch den schwedischen Mathematiker Helge von Koch.

Aufbau

Die Schneeflocke von Koch kann durch das Starten mit einem gleichseitigen Dreieck, dann rekursiv das Ändern jedes Liniensegmentes wie folgt gebaut werden:

1. teilen Sie das Liniensegment in drei Segmente der gleichen Länge.
2. ziehen Sie ein gleichseitiges Dreieck, das das mittlere Segment vom Schritt 1 als seine Basis und äußere Punkte hat.
3. entfernen Sie das Liniensegment, das die Basis des Dreiecks vom Schritt 2 ist.

Nach einer Wiederholung dieses Prozesses ist die resultierende Gestalt der Umriss eines hexagram.

Die Schneeflocke von Koch ist die genäherte Grenze, weil den obengenannten Schritten immer wieder gefolgt wird. Die von Koch ursprünglich beschriebene Kurve von Koch wird mit nur einer der drei Seiten des ursprünglichen Dreiecks gebaut. Mit anderen Worten machen drei Kurven von Koch eine Schneeflocke von Koch.

Eigenschaften

Die Kurve von Koch hat eine unendliche Länge, weil jedes Mal, wenn die Schritte oben auf jedem Liniensegment der Zahl durchgeführt werden, es viermal so viel Liniensegmente, die Länge von jedem gibt, ein Drittel die Länge der Segmente in der vorherigen Bühne seiend. Folglich werden die Gesamtlänge-Zunahmen um ein Drittel und so die Länge am Schritt n (4/3) des ursprünglichen Dreieck-Umfangs sein: Die fractal Dimension ist Klotz 4/loggst 3  1.26, größer als die Dimension einer Linie (1), aber weniger als die raumfüllende Kurve von Peano (2).

Die Kurve von Koch ist überall, aber differentiable nirgends dauernd.

s als die Seitenlänge nehmend, ist das ursprüngliche Dreieck-Gebiet. Die Seitenlänge jedes aufeinander folgenden kleinen Dreiecks ist 1/3 von denjenigen in der vorherigen Wiederholung; weil das Gebiet der zusätzlichen Dreiecke zum Quadrat seiner Seitenlänge proportional ist, ist das Gebiet jedes im n-ten Schritt hinzugefügten Dreiecks 1/9 davon in (n-1) th Schritt. In jeder Wiederholung nach dem ersten werden 4mal so viel Dreiecke hinzugefügt wie in der vorherigen Wiederholung; weil die erste Wiederholung 3 Dreiecke dann hinzufügt, wird die n-te Wiederholung Dreiecke hinzufügen. Das Kombinieren dieser zwei Formeln gibt die Wiederholungsformel:

:

wo Gebiet des ursprünglichen Dreiecks ist. Das Ersetzen in

:

und Erweiterung von Erträgen:

:

In der Grenze weil geht n zur Unendlichkeit, die Grenze der Summe der Mächte von 4/9 ist 4/5, so

:

So ist das Gebiet einer Schneeflocke von Koch 8/5 des Gebiets des ursprünglichen Dreiecks, oder. Deshalb schließt der unendliche Umfang des Dreiecks von Koch ein begrenztes Gebiet ein.

Es ist zu tessellate das Flugzeug durch Kopien von Schneeflocken von Koch in zwei verschiedenen Größen möglich. Jedoch ist solch ein tessellation verwendend nur Schneeflocken derselben Größe wie einander nicht möglich. Da jede Schneeflocke von Koch im tesselation in sieben kleinere Schneeflocken zwei verschiedener Größen unterteilt werden kann, ist es auch möglich, tessellations zu finden, die mehr als zwei Größen sofort verwenden.

Thue-Morsezeichen-Folge und Schildkröte-Grafik

Eine Grafische Schildkröte ist die Kurve, die erzeugt wird, wenn ein Automat mit einer Folge programmiert wird.

Wenn die Thue-Morsezeichen-Folge-Mitglieder verwendet werden, um Programm-Staaten auszuwählen:

• Wenn t (n) = 0, durch eine Einheit, vorangehen Sie
• Wenn t (n) = 1, gegen den Uhrzeigersinn durch einen Winkel von π/3, rotieren Sie

die resultierende Kurve läuft zur Schneeflocke von Koch zusammen.

Darstellung als System von Lindenmayer

Die Kurve von Koch kann durch ein umschreiben System (System von Lindenmayer) ausgedrückt werden.

:Alphabet: F

:Constants: +,

−

:Axiom: F ++ F ++ F

:Production-Regeln:

: F →

F−F++F−F

Hier bedeutet F "ziehen vorwärts", + bedeutet "biegen 60 °", und &minus nach rechts ab; bedeutet, dass "Umdrehung 60 ° verlassen hat".

Varianten der Kurve von Koch

Das Konzept von folgendem von Koch, mehrere Varianten der Kurve von Koch wurden entworfen, richtige Winkel als (quadratisch), andere Winkel (Césaro) oder Kreise und ihre Erweiterungen auf höhere Dimensionen (Sphereflake) betrachtend:

Siehe auch

• Liste von fractals durch die Dimension von Hausdorff
• Das Horn von Gabriel (unendliche Fläche, aber schließt ein begrenztes Volumen ein)
• Flowsnake
• Edward Kasner & James Newman, Mathematik und die Einbildungskraft Pressenachdruck von Dover von Simon & Schuster (1940) internationale Standardbuchnummer 0-486-41703-4, Seiten 344-51.

Außenverbindungen

• Kurve von von Koch
• Die Schneeflocke von Koch in Mathworld
• Die Anwendung vom Koch biegt sich zu einer Antenne