In der Topologie ist eine Kurve von Jordan "nicht selbst das Schneiden" dauernder Schleife im Flugzeug, und ein anderer Name für eine Kurve von Jordan ist eine "einfache geschlossene Kurve". Der Kurve-Lehrsatz von Jordan behauptet, dass jede Kurve von Jordan das Flugzeug in ein "Innen"-Gebiet teilt, das durch die Kurve und ein "Außen"-Gebiet begrenzt ist, das alle nahe gelegenen und weit weg Außenpunkte enthält, so dass sich jeder dauernde Pfad, der einen Punkt eines Gebiets zu einem Punkt vom anderen verbindet, mit dieser Schleife irgendwo schneidet. Während die Behauptung dieses Lehrsatzes scheint, intuitiv offensichtlich zu sein, nimmt es ziemlich wenig Einfallsreichtum, um es durch elementare Mittel zu beweisen. Durchsichtigere Beweise verlassen sich auf die mathematische Maschinerie der algebraischen Topologie, und diese führen zu Generalisationen zu hoch-dimensionalen Räumen.

Der Kurve-Lehrsatz von Jordan wird nach dem Mathematiker Camille Jordan genannt, der seinen ersten Beweis gefunden hat. Seit Jahrzehnten wurde es allgemein gedacht, dass dieser Beweis rissig gemacht wurde, und dass der erste strenge Beweis von Oswald Veblen ausgeführt wurde. Jedoch ist dieser Begriff von Thomas C. Hales und anderen herausgefordert worden.

Definitionen und die Erklärung des Lehrsatzes von Jordan

Eine Kurve von Jordan oder eine einfache geschlossene Kurve im Flugzeug R sind das Image C von einer injective dauernden Karte eines Kreises ins Flugzeug, φ: S  R.

Ein Kreisbogen von Jordan im Flugzeug ist das Image einer injective dauernden Karte eines geschlossenen Zwischenraums ins Flugzeug.

Wechselweise ist eine Kurve von Jordan das Image einer dauernden Karte φ: [0,1]  R solch dass φ (0) = φ (1) und die Beschränkung φ zu [0,1) ist injective. Die ersten zwei Bedingungen sagen, dass C eine dauernde Schleife ist, wohingegen die letzte Bedingung festsetzt, dass C keine Selbstkreuzungspunkte hat.

Lassen Sie C eine Kurve von Jordan im Flugzeug R sein. Dann besteht seine Ergänzung, R \C, aus genau zwei verbundenen Bestandteilen. Einer dieser Bestandteile wird begrenzt (das Interieur), und der andere ist (das Äußere) unbegrenzt, und die Kurve C ist die Grenze jedes Bestandteils.

Außerdem wird die Ergänzung eines Kreisbogens von Jordan im Flugzeug verbunden.

Beweis und Generalisationen

Der Kurve-Lehrsatz von Jordan wurde zu höheren Dimensionen von H. Lebesgue und L.E.J. Brouwer 1911 unabhängig verallgemeinert, auf den Trennungslehrsatz des Jordans-Brouwer hinauslaufend.

Lassen Sie X ein topologischer Bereich in (n+1) - dimensionaler Euklidischer Raum R, d. h. das Image sein, des N-Bereichs S in R injective dauernd kartografisch darzustellen. Dann besteht die Ergänzung Y X in R aus genau zwei verbundenen Bestandteilen. Einer dieser Bestandteile wird begrenzt (das Interieur), und der andere ist (das Äußere) unbegrenzt. Der Satz X ist ihre allgemeine Grenze.

Der Beweis verwendet Homologie-Theorie. Es wird zuerst gegründet, dass, mehr allgemein, wenn X homeomorphic zum K-Bereich ist, dann sind die reduzierten integrierten Homologie-Gruppen von Y = R \X wie folgt:

:

Das wird durch die Induktion in k das Verwenden der Folge von Mayer-Vietoris bewiesen. Als n = k, der zeroth abgenommen ist, hat die Homologie von Y Reihe 1, was bedeutet, dass Y 2 verbundene Bestandteile hat (die außerdem Pfad verbunden sind), und mit ein wenig Extraarbeit, zeigt man, dass ihre allgemeine Grenze X ist. Eine weitere Generalisation wurde von J.W. Alexander gefunden, der die Dualität von Alexander zwischen der reduzierten Homologie einer Kompaktteilmenge X von R und dem reduzierten cohomology seiner Ergänzung eingesetzt hat. Wenn X eine n-dimensional verbundene Kompaktsubsammelleitung von R (oder S) ohne Grenze ist, hat seine Ergänzung 2 verbundene Bestandteile.

Es gibt eine Stärkung des Kurve-Lehrsatzes von Jordan, genannt den Lehrsatz des Jordans-Schönflies, der feststellt, dass das Interieur und die planaren Außengebiete, die durch eine Kurve von Jordan in R bestimmt sind, homeomorphic zum Interieur und Äußeren der Einheitsplatte sind. Insbesondere für jeden Punkt P im Innengebiet und einem Punkt auf der Kurve von Jordan, dort besteht ein Kreisbogen von Jordan, der P mit A und, mit Ausnahme vom Endpunkt A völlig in Verbindung steht, im Innengebiet liegend. Eine alternative und gleichwertige Formulierung des Lehrsatzes des Jordans-Schönflies behauptet, dass sich jeder Jordan &phi biegt;: S  R wo S als der Einheitskreis im Flugzeug angesehen wird, kann zu einem homeomorphism &psi erweitert werden;: R  R des Flugzeugs. Verschieden von der Generalisation von Lebesgues und Brouwers des Kurve-Lehrsatzes von Jordan wird diese Behauptung falsch in höheren Dimensionen: während das Äußere des Einheitsballs in R einfach verbunden wird, weil es auf den Einheitsbereich, der Alexander zurücktritt gehörnter Bereich ist eine Teilmenge von R homeomorphic zu einem Bereich, aber so gedreht im Raum, dass der unbegrenzte Bestandteil seiner Ergänzung in R, und folglich nicht homeomorphic zum Äußeren des Einheitsballs nicht einfach verbunden wird.

Geschichte und weitere Beweise

Die Behauptung des Kurve-Lehrsatzes von Jordan kann offensichtlich zuerst scheinen, aber es ist ein ziemlich schwieriger Lehrsatz, um sich zu erweisen. Bernard Bolzano war erst, um eine genaue Vermutung zu formulieren, bemerkend, dass es nicht eine selbstverständliche Behauptung war, aber dass es einen Beweis verlangt hat. Es ist leicht, dieses Ergebnis für polygonale Linien zu gründen, aber das Problem ist in der Generalisierung gekommen davon zu allen Arten dessen hat sich schlecht Kurven benommen, die nirgends differentiable Kurven, wie die Schneeflocke von Koch und anderen Fractal-Kurven oder sogar eine Kurve von Jordan des positiven Gebiets einschließen, das dadurch gebaut ist.

Der erste Beweis dieses Lehrsatzes wurde von Camille Jordan in seinen Vorträgen auf der echten Analyse gegeben, und wurde in seinem Buch Cours d'analyse de l'École Polytechnique veröffentlicht. Es gibt eine Meinungsverschiedenheit darüber, ob der Beweis von Jordan abgeschlossen war: Die Mehrheit von commenters darauf hat behauptet, dass der erste ganze Beweis später von Oswald Veblen gegeben wurde, der den folgenden über den Beweis von Jordan gesagt hat:

Jedoch hat Thomas C. Hales geschrieben:

Hales hat auch darauf hingewiesen, dass der spezielle Fall von einfachen Vielecken nicht nur eine leichte Übung ist, aber durch den Jordan irgendwie nicht wirklich verwendet wurde, und Reeken zitiert hat:

Jordans Beweis und ein anderer früher Beweis durch de la Vallée-Poussin wurden später kritisch analysiert und von Shoenflies (1924) vollendet.

Wegen der Wichtigkeit vom Jordan biegen Lehrsatz in der niedrig-dimensionalen Topologie und komplizierten Analyse, es hat viel Aufmerksamkeit von prominenten Mathematikern der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts erhalten. Verschiedene Beweise des Lehrsatzes und seiner Generalisationen wurden von J. W. Alexander, Louis Antoine, Bieberbach, Luitzen Brouwer, Denjoy, Hartogs, Kerékjártó, Alfred Pringsheim und Schoenflies gebaut.

Einige neue elementare Beweise des Kurve-Lehrsatzes von Jordan, sowie Vereinfachungen der früheren Beweise, setzen fort, ausgeführt zu werden.

• Ein Beweis mit Brouwer hat Punkt-Lehrsatz dadurch befestigt.
• Ein Beweis mit der Sonderanalyse dadurch.
• Ein Beweis mit der konstruktiven Mathematik dadurch.
• Durch einen Beweis mit non-planarity des ganzen zweiteiligen Graphen K wurde gegeben.
• Eine Vereinfachung des Beweises durch Helge Tverberg.

Der erste formelle Beweis des Kurve-Lehrsatzes von Jordan wurde durch im HOL Leichten System im Januar 2005 geschaffen, und hat ungefähr 60,000 Linien enthalten. Ein anderer strenger formeller 6,500-Linien-Beweis wurde 2005 von einer internationalen Mannschaft von Mathematikern erzeugt, die das System von Mizar verwenden. Sowohl Mizar als auch der HOL Leichte Beweis verlassen sich auf Bibliotheken vorher bewiesener Lehrsätze, so sind diese zwei Größen nicht vergleichbar. hat gezeigt, dass der Kurve-Lehrsatz von Jordan in der probetheoretischen Kraft zum Lemma des schwachen Königs gleichwertig ist.

Siehe auch

• Seen von Wada
• Quasi-Fuchsian Gruppe, eine mathematische Gruppe, die eine Kurve von Jordan bewahrt
• Komplizierte Analyse

Zeichen

• . die Seite des Autors

Außenverbindungen

• Die volle 6,500 Linie formeller Beweis von Jordans Kurve-Lehrsatz in Mizar.
• Die Sammlung von Beweisen des Jordans biegt Lehrsatz an der Einstiegsseite von Andrew Ranicki
• Ein einfacher Beweis des Jordans biegt Lehrsatz (PDF) durch David B. Gauld
• Die Anwendung des Lehrsatzes in der Informatik - Bestimmung, Wenn Ein Punkt Auf Dem Interieur Eines Vielecks durch Paul Bourke Liegt