Die spezielle einheitliche Gruppe des Grads n, angezeigter SU (n), ist die Gruppe von n×n einheitlichem matrices mit der Determinante 1. Die Gruppenoperation ist die der Matrixmultiplikation. Die spezielle einheitliche Gruppe ist eine Untergruppe der einheitlichen Gruppe U (n), aus allen n×n einheitlicher matrices bestehend, der selbst eine Untergruppe der allgemeinen geradlinigen Gruppe GL (n, C) ist.

Die SU (n) Gruppen finden breite Anwendung im Standardmodell der Partikel-Physik, besonders SU (2) in der electroweak Wechselwirkung und SU (3) in QCD.

Der einfachste Fall, SU (1), ist die triviale Gruppe, nur ein einzelnes Element habend. Die Gruppe ist SU (2) zur Gruppe von quaternions der Norm 1 isomorph, und ist so diffeomorphic zum 3-Bereiche-. Seit der Einheit kann quaternions verwendet werden, um Folgen im 3-dimensionalen Raum zu vertreten (bis zum Zeichen), wir haben einen surjective Homomorphismus von SU (2) zur Folge-Gruppe SO (3), dessen Kern ist.

Eigenschaften

Die spezielle einheitliche Gruppe SU (n) ist eine echte Matrixlüge-Gruppe der Dimension n - 1. Topologisch ist es kompakt und einfach verbunden. Algebraisch ist es eine einfache Lüge-Gruppe (das Meinen, dass seine Lüge-Algebra einfach ist; sieh unten). Das Zentrum von SU (n) ist zur zyklischen Gruppe Z isomorph. Seine automorphism Außengruppe, für n  3, ist Z, während die automorphism Außengruppe von SU (2) die triviale Gruppe ist.

Die Lüge-Algebra von SU (n), angezeigt dadurch wird von n Maschinenbedienern erzeugt, die die Umschalter-Beziehung (weil ich, j, k, l = 1, 2..., n) befriedigen

:

Zusätzlich, der Maschinenbediener

:

befriedigt

:

der andeutet, dass die Zahl von unabhängigen Generatoren n-1 ist.

Generatoren

Im Allgemeinen werden die unendlich kleinen Generatoren (Funktionen, die des unendlich kleinen generativ sind) SU (n), T, als traceless hermitian matrices vertreten. D. h.:

:und:

Grundsätzliche Darstellung

Im Definieren oder der grundsätzlichen Darstellung werden die Generatoren durch n×n matrices wo vertreten:

:

:where sind die f die Struktur-Konstanten und sind in allen Indizes antisymmetrisch, während die d in allen Indizes symmetrisch sind.

Demzufolge:

::

Wir haben auch

:

als eine Normalisierungstagung.

Darstellung von Adjoint

In der adjoint Darstellung werden die Generatoren durch n-1 &times vertreten; n-1 matrices, n-1 ihrer, deren Elemente durch die Struktur-Konstanten definiert werden:

:

n

2 = =

SU (2) ist die folgende Gruppe:

:

Denken Sie jetzt die folgende Karte:

:

wo M (2, C) den Satz 2 durch 2 Komplex matrices anzeigt. Indem wir C diffeomorphic zu R und M (2, C) diffeomorphic zu R in Betracht ziehen, können wir sehen, dass das eine injective echte geradlinige Karte und folglich ein Einbetten ist. Jetzt die Beschränkung zum 3-Bereiche-, angezeigten denkend, können wir sehen, dass das ein Einbetten des 3-Bereiche-auf eine Kompaktsubsammelleitung der M (2, C) ist. Jedoch ist es auch das klar. Deshalb, da eine Sammelleitung diffeomorphic zu SU (2) ist, und so ist SU (2) ein kompakter, verbundene Gruppe Liegen.

Die Lüge-Algebra von SU (2) ist:

:

Es wird leicht nachgeprüft, dass matrices dieser Form Spur-Null haben und antihermitian sind. Die Lüge-Algebra wird dann durch den folgenden matrices erzeugt

:

u_1 = \begin {pmatrix }\

0 & ich \\

ich & 0

\end {pmatrix }\

\qquad

u_2 = \begin {pmatrix }\

0 &-1 \\

1 & 0

\end {pmatrix }\\qquad

u_3 = \begin {pmatrix }\

ich & 0 \\

0 &-i

\end {pmatrix }\</Mathematik>

die, wie man leicht sieht, die Form des allgemeinen Elements haben, das oben angegeben ist. Diese befriedigen die Beziehungen und. Die Umschalter-Klammer wird deshalb durch angegeben

:

Die obengenannten Generatoren sind mit Pauli matrices durch verbunden, und. Diese Darstellung wird häufig in der Quant-Mechanik verwendet (sieh Pauli matrices und Gell-Mann matrices), um die Drehung von grundsätzlichen Partikeln wie Elektronen zu vertreten. Sie dienen auch als Einheitsvektoren für die Beschreibung unserer 3 Raumdimensionen im Schleife-Quant-Ernst.

n

3 = =

Die Generatoren (3), T, in der Definieren-Darstellung, sind:

:

wo, der Gell-Mann matrices, der SU (3) Analogon von Pauli matrices für SU (2) sind:

:

Bemerken Sie, dass sie ganzen traceless Hermitian matrices, wie erforderlich, abmessen.

Diese folgen den Beziehungen

::

Die f sind die Struktur-Konstanten, die gegeben sind durch:

:::

und alle anderer, der nicht mit diesen durch die Versetzung verbunden ist, sind Null.

Die d nehmen die Werte:

:::

Lügen Sie Algebra

Die Lüge-Algebra entsprechend SU (n) wird dadurch angezeigt. Seine mathematische Standarddarstellung besteht aus dem traceless antihermitian Komplex matrices mit dem regelmäßigen Umschalter, wie Klammer Liegen. Ein Faktor ich werde häufig von Partikel-Physikern eingefügt, so dass alle matrices Hermitian werden. Das ist einfach eine verschiedene, günstigere, Darstellung von demselben echte Lüge-Algebra. Bemerken Sie, dass das eine Lüge-Algebra über R ist.

Wenn wir eine (willkürliche) besondere Basis wählen, dann bildet der Subraum der traceless Diagonale n × n matrices mit imaginären Einträgen einen n - 1 dimensionale Subalgebra von Cartan.

Complexify die Lüge-Algebra, so dass jeder traceless Matrix jetzt erlaubt wird. Die Gewicht-Eigenvektoren sind die Subalgebra von Cartan selbst und der matrices mit nur einem Nichtnullzugang, der von der Diagonale ist. Wenn auch die Subalgebra von Cartan nur n - 1 dimensionaler ist, um Berechnungen zu vereinfachen, ist es häufig günstig, ein Hilfselement, die Einheitsmatrix einzuführen, die mit etwas anderem pendelt (vom als ein Element der Lüge-Algebra nicht gedacht werden sollte!) zum Zweck, Gewichte und das nur zu schätzen. Also, wir haben eine Basis, wo der i-th Basisvektor die Matrix mit 1 auf dem i-th diagonalen Zugang und der Null anderswohin ist. Gewichte würden dann durch N-Koordinaten gegeben, und die Summe über alle N-Koordinaten muss Null sein (weil die Einheitsmatrix nur Hilfs-ist).

Also, SU ist (n) von der Reihe n - 1, und durch sein Diagramm von Dynkin wird, eine Kette von n - 1 Scheitelpunkte gegeben. Sein Wurzelsystem besteht aus n (n - 1) Wurzeln, die einen n - 1 Euklidischer Raum abmessen. Hier verwenden wir n überflüssige Koordinaten statt n - 1, um den symmetries des Wurzelsystems zu betonen (die N-Koordinaten müssen sich auf Null belaufen). Mit anderen Worten betten wir diesen n - 1 dimensionaler Vektorraum in einem n-dimensional ein ein. Dann, die Wurzeln besteht aus dem ganzen n (n - 1) Versetzungen (1,-1, 0..., 0). Der Aufbau gegeben vor zwei Paragrafen

erklärt warum. Eine Wahl von einfachen Wurzeln ist

::

:&hellip;,

:

Seine Cartan Matrix ist

:

Seine Weyl Gruppe von Gruppe oder Coxeter ist die symmetrische Gruppe, die Symmetrie-Gruppe (n - 1) - Simplex.

Verallgemeinerte spezielle einheitliche Gruppe

Für Feld F, die verallgemeinerte spezielle einheitliche Gruppe über F, SU (p, q; F), ist die Gruppe aller geradlinigen Transformationen der Determinante 1 eines Vektorraums der Reihe n = p + q über F, die invariant eine nichtdegenerierte, Form von Hermitian der Unterschrift (p, q) verlassen. Diese Gruppe wird häufig die spezielle einheitliche Gruppe der Unterschrift p q über F genannt. Feld F kann durch einen Ersatzring ersetzt werden, in welchem Fall der Vektorraum durch ein freies Modul ersetzt wird.

Befestigen Sie spezifisch eine Matrix von Hermitian von der Unterschrift p q in GL (n, R), dann der ganze

:

befriedigen Sie

::

Häufig wird man die Notation ohne Berücksichtigung eines Rings oder Feldes sehen, in diesem Fall sind der Ring oder das Feld, das darauf wird verweist, C, und das gibt eine der klassischen Lüge-Gruppen. Die Standardwahl für, wenn F = C ist

:

Ein

=

\begin {bmatrix }\

0 & 0 & ich \\

0 & I_ {n-2} & 0 \\

- ich & 0 & 0

\end {bmatrix}.

</Mathematik>

Jedoch kann es bessere Wahlen für für bestimmte Dimensionen geben, die mehr Verhalten unter der Beschränkung zu Subringen von C ausstellen.

Beispiel

Ein sehr wichtiges Beispiel dieses Typs der Gruppe ist Picard Modulgruppe SU (2,1; Z [ich]), der (projektiv) auf dem komplizierten Hyperbelraum des Grads zwei, ebenso dass SL (2, Z) Taten (projektiv) auf dem echten Hyperbelraum der Dimension zwei handelt. 2005 haben Gábor Francsics und Peter Lax ein ausführliches grundsätzliches Gebiet für die Handlung dieser Gruppe darauf geschätzt.

Ein anderes Beispiel ist SU (1,1; C) der zu SL (2, R) isomorph ist.

Wichtige Untergruppen

In der Physik wird die spezielle einheitliche Gruppe verwendet, um bosonic symmetries zu vertreten. In Theorien der Symmetrie, die es bricht, ist wichtig im Stande zu sein, die Untergruppen der speziellen einheitlichen Gruppe zu finden. Untergruppen von SU (n), die in der EINGEWEIDE-Physik wichtig sind, sind für p> 1, n-p> 1:

:

SU (n) \supset SU (p) \times SU (n-p) \times U (1)

</Mathematik>,

wo das direkte Produkt und, bekannt als die Kreisgruppe anzeigt, die multiplicative Gruppe aller komplexen Zahlen mit dem absoluten Wert 1 ist.

Für die Vollständigkeit gibt es auch die orthogonalen und symplectic Untergruppen:

:

SU (n) \supset O (n)

</Mathematik>:

SU (2n) \supset USp (2n).

</Mathematik>

Seit der Reihe von SU ist (n) n-1, und U (1) ist 1, eine nützliche Kontrolle ist, dass die Summe der Reihen der Untergruppen weniger ist als oder gleich der Reihe der ursprünglichen Gruppe. SU (n) ist eine Untergruppe von verschiedenen anderen Lüge-Gruppen:

:

SO (2n) \supset SU (n)

</Mathematik>:

USp (2n) \supset SU (n)

</Mathematik>:

Drehung (4) = SU (2) \times SU (2)

</Mathematik> (sieh Drehungsgruppe)

:

E_6 \supset SU (6)

</Mathematik>:

\lambda=0

E_7 \supset SU (8)

</Mathematik>:

G_2 \supset SU (3)

</Mathematik> (sieh Einfache Lüge-Gruppen für E, E, und G).

Es gibt auch die Identität SU (4) =Spin (6), SU (2) =Spin (3) =USp (2) und U (1) =Spin (2) =SO (2).

Man sollte schließlich erwähnen, dass SU (2) die doppelte Bedeckungsgruppe SO (3), eine Beziehung ist, die eine wichtige Rolle in der Theorie von Folgen von 2-spinors in der nichtrelativistischen Quant-Mechanik spielt.

Siehe auch

• Darstellungstheorie von SU (2)
• Projektive spezielle einheitliche Gruppe, PSU (n)

Referenzen

• Maximale Untergruppen von Compact Lie Groups

Links

• Physik 558 - Vortrag 1, Winter 2003