Die verallgemeinerte logistische Kurve oder Funktion, auch bekannt als die Kurve von Richards sind eine weit verwendete und flexible Sigmoid-Funktion für das Wachstumsmodellieren, die wohl bekannte logistische Kurve erweiternd.

:

wo Y = Gewicht, Höhe, Größe usw. und t = Zeit.

Es hat sechs Rahmen:

• A: die niedrigere Asymptote;
• K: die obere Asymptote. Wenn A=0 dann K die Tragfähigkeit genannt wird;
• B: die Wachstumsrate;
• ν>0: Betrifft nahe, welches Asymptote-Maximum-Wachstum vorkommt.
• Q: hängt vom Wert Y (0) ab
• M: die Zeit des maximalen Wachstums wenn Q=ν

Verallgemeinerte logistische Differenzialgleichung

Ein besonderer Fall der Funktion von Richard ist:

:

der die Lösung der so genannten Differenzialgleichung von Richard (RDE) ist:

:

mit der anfänglichen Bedingung

:

wo

:

vorausgesetzt, dass ν > 0 und α > 0.

Die klassische logistische Differenzialgleichung ist ein besonderer Fall der obengenannten Gleichung, mit ν =1, wohingegen die Kurve von Gompertz in der Grenze vorausgesetzt, dass wieder erlangt werden kann:

:

Tatsächlich, für den kleinen ν es ist

:

Der RDE passt, um viele Wachstumsphänomene einschließlich des Wachstums von Tumoren zu modellieren. Bezüglich seiner Anwendungen in oncology sind seine biologischen Haupteigenschaften denjenigen des Logistischen Kurve-Modells ähnlich.

Anstieg

Wenn

man Rahmen von Daten schätzt, ist es häufig notwendig, die partiellen Ableitungen der Rahmen an einem gegebenen zu schätzen, Daten spitzen an, dass t (sehen):

:\begin {richten }\aus

\frac {\\teilweise Y\{\\teilweise A\&= 1 - (1 + Qe^ {-B (t-M)}) ^ {-1/\nu }\\\

\frac {\\teilweise Y\{\\teilweise K\&= (1 + Qe^ {-B (t-M)}) ^ {-1/\nu }\\\

\frac {\\teilweise Y\{\\teilweise B\&= \frac {(K-A) (t-M) Qe^ {-B (t-M)}} {\\nu (1 + Qe^ {-B (t-M)}) ^ {\\frac {1} {\\nu} +1} }\\\

\frac {\\teilweise Y\{\\teilweiser \nu} &= \frac {(K-A) \ln (1 + Qe^ {-B (t-M)})} {\\nu^2 (1 + Qe^ {-B (t-M)}) ^ {\\frac {1} {\\nu}} }\\\

\frac {\\teilweise Y\{\\teilweise Q\&=-\frac {(K-A) e^ {-B (t-M)}} {\\nu (1 + Qe^ {-B (t-M)}) ^ {\\frac {1} {\\nu} +1} }\\\

\frac {\\teilweise Y\{\\teilweise M\&=-\frac {(K-A) Be^ {-B (t-M)}} {\\nu (1 + Qe^ {-B (t-M)}) ^ {\\frac {1} {\\nu} +1} }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Siehe auch

• Logistische Funktion
• Gompertz biegen
• Ludwig von Bertalanffy

Zitate

• Richards, F.J. 1959 Eine flexible Wachstumsfunktion für den empirischen Gebrauch. J. Exp. Funktionseinheit. 10: 290-300.
• Pella JS und PK Tomlinson. 1969. Ein verallgemeinertes Aktienproduktionsmodell. Stier. IATTC 13: 421-496.
• Lei, Y.C. und Zhang, S.Y. 2004. Eigenschaften und Partielle Ableitungen des Wachstumsmodells von Bertalanffy-Richards in der Forstwirtschaft. Nichtlineare Analyse: Modellierend und Kontrolle, Vol 9, Nr. 1:65-73