In der Topologie ist das Lemma von Urysohn ein Lemma, das feststellt, dass ein topologischer Raum normal ist, wenn, und nur wenn irgendwelche zwei zusammenhanglosen geschlossenen Teilmengen durch eine Funktion getrennt werden können.

Das Lemma von Urysohn wird manchmal "die erste nichttriviale Tatsache der Punkt-Satz-Topologie" genannt und wird allgemein verwendet, um dauernde Funktionen mit verschiedenen Eigenschaften auf normalen Räumen zu bauen. Es ist seit allen metrischen Räumen weit anwendbar, und alle Kompakträume von Hausdorff sind normal. Das Lemma wird durch verallgemeinert (und gewöhnlich im Beweis verwendet) der Erweiterungslehrsatz von Tietze.

Das Lemma wird nach dem Mathematiker Pavel Samuilovich Urysohn genannt.

Formelle Behauptung

sagt, werden zwei zusammenhanglose geschlossene Teilmengen A und B eines topologischen Raums X durch die Nachbarschaft getrennt, wenn es Nachbarschaft U von A und V von B gibt, die auch zusammenhanglos sind. Wie man sagt, werden A und B durch eine Funktion getrennt, wenn dort eine dauernde Funktion f von X in den solchen Einheitszwischenraum dass f (a) = 0 für alle in A und f (b) = 1 für den ganzen b in B besteht. Jede solche Funktion wird eine Funktion von Urysohn nach A und B genannt.

Ein normaler Raum ist ein topologischer Raum, in dem irgendwelche zwei zusammenhanglosen geschlossenen Sätze durch die Nachbarschaft getrennt werden können. Das Lemma von Urysohn stellt fest, dass ein topologischer Raum normal ist, wenn, und nur wenn irgendwelche zwei zusammenhanglosen geschlossenen Sätze durch eine Funktion getrennt werden können.

Die Sätze A und B brauchen durch f nicht genau getrennt zu werden, d. h. wir tun nicht, und im Allgemeinen kann nicht, dass f (x)  0 und  1 für x außerhalb A und B verlangen. Das ist nur in vollkommen normalen Räumen möglich.

Das Lemma von Urysohn hat zur Formulierung anderer topologischer Eigenschaften wie das 'Eigentum von Tychonoff' und 'völlig die Räume von Hausdorff' geführt. Zum Beispiel ist eine Folgeerscheinung des Lemmas, dass normale T Räume Tychonoff sind.

Skizze des Beweises

Für jeden dyadischen Bruchteil r  (0,1) sind wir dabei, eine offene Teilmenge U(r) X solch dass zu bauen:

1. U(r) enthält A und ist von B für den ganzen r zusammenhanglos
2. für r) und V (a/2) sind bereits für = 1..., 2-1 gebaut worden. Seitdem X ist normal, wir können zwei zusammenhanglose offene Sätze finden, die die Ergänzung V (a/2) und die Ergänzung von U ((a+1)/2) beziehungsweise enthalten. Nennen Sie diese zwei offenen Sätze U ((2a+1)/2) und V ((2a+1)/2), und prüfen Sie die obengenannten drei Bedingungen nach.

Das Mizar-Projekt hat völlig formalisiert und automatisch einen Beweis des Lemmas von Urysohn in der URYSOHN3 Datei überprüft.

Siehe auch

• Abkürzungsfunktion