In der Geometrie, der Topologie und den verwandten Zweigen der Mathematik, ist ein geschlossener Satz ein Satz, dessen Ergänzung ein offener Satz ist. In einem topologischen Raum kann ein geschlossener Satz als ein Satz definiert werden, der alle seine Grenze-Punkte enthält. In einem metrischen Raum ist ein geschlossener Satz ein Satz, der unter der Grenze-Operation geschlossen wird.

Gleichwertige Definitionen eines geschlossenen Satzes

In einem topologischen Raum wird ein Satz geschlossen, wenn, und nur wenn er mit seinem Verschluss zusammenfällt. Gleichwertig wird ein Satz geschlossen, wenn, und nur wenn er alle seine Grenze-Punkte enthält.

Das soll mit einer geschlossenen Sammelleitung nicht verwirrt sein.

Eigenschaften von geschlossenen Sätzen

Ein geschlossener Satz enthält seine eigene Grenze. Mit anderen Worten, wenn Sie "außerhalb" eines geschlossenen Satzes sind, können Sie einen kleinen Betrag in jeder Richtung bewegen und noch außerhalb des Satzes bleiben. Bemerken Sie, dass das auch wahr ist, wenn die Grenze der leere Satz z.B im metrischen Raum von rationalen Zahlen für den Satz von Zahlen ist, von denen das Quadrat weniger als 2 ist.

Jede Kreuzung von geschlossenen Sätzen wird (einschließlich Kreuzungen von ungeheuer vielen geschlossenen Sätzen) geschlossen, und jede Vereinigung von begrenzt vielen geschlossenen Sätzen wird geschlossen.

Insbesondere der leere Satz und der ganze Raum werden geschlossen.

Tatsächlich in Anbetracht eines Satzes X und einer Sammlung F Teilmengen X, der diese Eigenschaften dann hat, wird F die Sammlung von geschlossenen Sätzen für eine einzigartige Topologie auf X sein.

Das Kreuzungseigentum erlaubt auch, den Verschluss eines Satzes in einem Raum X zu definieren, der als die kleinste geschlossene Teilmenge X definiert wird, der eine Obermenge von A ist.

Spezifisch kann der Verschluss von A als die Kreuzung von allen diesen geschlossenen Obermengen gebaut werden.

Sätze, die als die Vereinigung von zählbar vielen geschlossenen Sätzen gebaut werden können, werden F-Sätze angezeigt. Diese Sätze brauchen nicht geschlossen zu werden.

Beispiele von geschlossenen Sätzen

• Der geschlossene Zwischenraum [a, b] reeller Zahlen wird geschlossen. (Sieh Zwischenraum (Mathematik) für eine Erklärung der Klammer und Parenthese-Satz-Notation.)
• Der Einheitszwischenraum [0,1] wird im metrischen Raum von reellen Zahlen und dem Satz [0,1] geschlossen  Q rationaler Zahlen zwischen 0 und 1 (einschließlich) wird im Raum von rationalen Zahlen geschlossen, aber [0,1] wird  Q in den reellen Zahlen nicht geschlossen.
• Einige Sätze sind weder offen noch, zum Beispiel der halb offene Zwischenraum 0,1 geschlossen) in den reellen Zahlen.
• Einige Sätze sind sowohl offen als auch geschlossen und werden Clopen-Sätze genannt.
• Halbzwischenraum [1, +) wird geschlossen.
• Der Kantor ist untergegangen ist ein ungewöhnlicher geschlossener Satz im Sinn, dass er völlig aus Grenzpunkten besteht und nirgends dicht ist.
• Singleton-Punkte (und so begrenzte Sätze) werden in Räumen von Hausdorff geschlossen.
• Wenn X und Y topologische Räume sind, ist eine Funktion f von X in Y dauernd, wenn, und nur wenn Vorimages von geschlossenen Sätzen in Y in X geschlossen werden.

Mehr über geschlossene Sätze

In der Punkt-Satz-Topologie wird ein Satz A geschlossen, wenn es alle seine Grenzpunkte enthält.

Der Begriff des geschlossenen Satzes wird oben in Bezug auf offene Sätze, ein Konzept definiert, das Sinn für topologische Räume, sowie für andere Räume hat, die topologische Strukturen, wie metrische Räume, differentiable Sammelleitungen, gleichförmige Räume tragen, und messen Räume.

Eine alternative Charakterisierung von geschlossenen Sätzen ist über Folgen und Netze verfügbar. Eine Teilmenge eines topologischen Raums X wird in X geschlossen, wenn, und nur wenn jede Grenze jedes Netzes von Elementen dessen auch A gehört.

In einem erst-zählbaren Raum (wie ein metrischer Raum) ist es genug, nur konvergente Folgen statt aller Netze zu denken. Ein Wert dieser Charakterisierung besteht darin, dass sie als eine Definition im Zusammenhang von Konvergenz-Räumen verwendet werden kann, die allgemeiner sind als topologische Räume.

Bemerken Sie, dass diese Charakterisierung auch vom Umgebungsraum X abhängt, weil, ob eine Folge oder Netz in X zusammenlaufen, davon abhängt, welche Punkte in X da sind.

Ob ein Satz geschlossen wird, hängt vom Raum ab, in dem er eingebettet wird. Jedoch werden die Kompakträume von Hausdorff" im Sinn "absolut geschlossen, dass, wenn Sie einen Kompaktraum von Hausdorff K in einem willkürlichen Raum von Hausdorff X, dann einbetten, K immer eine geschlossene Teilmenge X sein wird; der "Umgebungsraum" ist hier nicht von Bedeutung. Stein-Čech compactification, ein Prozess, der einen völlig regelmäßigen Raum von Hausdorff in einen Kompaktraum von Hausdorff verwandelt, kann als angrenzende Grenzen von bestimmten nichtkonvergenten Netzen zum Raum beschrieben werden.

Außerdem ist jede geschlossene Teilmenge eines Kompaktraums kompakt, und jeder Kompaktsubraum eines Raums von Hausdorff wird geschlossen.

Geschlossene Sätze geben auch eine nützliche Charakterisierung der Kompaktheit: Ein topologischer Raum X ist kompakt, wenn, und nur wenn jede Sammlung von nichtleeren geschlossenen Teilmengen X mit der leeren Kreuzung eine begrenzte Subsammlung mit der leeren Kreuzung zulässt.

Ein topologischer Raum X wird getrennt, wenn dort zusammenhanglose, nichtleere, geschlossene Teilmengen A und B X bestehen, dessen Vereinigung X ist. Außerdem, X wird völlig getrennt, wenn es eine offene Basis hat, die aus geschlossenen Sätzen besteht.

Siehe auch

• Offener Satz
• Clopen setzen
• Nachbarschaft