In der Mathematik ist eine Kategorie eine algebraische Struktur, die "Gegenstände" umfasst, die durch "Pfeile" verbunden werden. Eine Kategorie hat zwei grundlegende Eigenschaften: Die Fähigkeit, die Pfeile assoziativ und die Existenz eines Identitätspfeils für jeden Gegenstand zusammenzusetzen. Ein einfaches Beispiel ist die Kategorie von Sätzen, deren Gegenstände Sätze sind, und dessen Pfeile Funktionen sind. Andererseits kann jeder monoid als eine spezielle Sorte der Kategorie verstanden werden, und jede Vorordnung auch. Im Allgemeinen können die Gegenstände und Pfeile abstrakte Entitäten jeder Art sein, und der Begriff der Kategorie stellt eine grundsätzliche und abstrakte Weise zur Verfügung, mathematische Entitäten und ihre Beziehungen zu beschreiben. Das ist die Hauptidee von der Kategorie-Theorie, ein Zweig der Mathematik, die sich bemüht, die ganze Mathematik in Bezug auf Gegenstände und Pfeile zu verallgemeinern, die dessen unabhängig sind, was die Gegenstände und Pfeile vertreten. Eigentlich kann jeder Zweig der modernen Mathematik in Bezug auf Kategorien beschrieben werden, und das Tun offenbart so häufig tiefe Einblicke und Ähnlichkeiten zwischen anscheinend verschiedenen Gebieten der Mathematik. Für den umfassenderen motivationalen Hintergrund und die historischen Zeichen, sieh Kategorie-Theorie und die Liste von Kategorie-Theorie-Themen.

Zwei Kategorien sind dasselbe, wenn sie dieselbe Sammlung von Gegenständen, dieselbe Sammlung von Pfeilen und dieselbe assoziative Methode haben, ein Paar von Pfeilen zusammenzusetzen. Zwei Kategorien können auch "gleichwertig" zum Zwecke der Kategorie-Theorie betrachtet werden, selbst wenn sie nicht genau dasselbe sind.

Wohl bekannte Kategorien werden durch ein kurzes kapitalisiertes Wort oder Abkürzung im kühnen oder der Kursive angezeigt: Beispiele schließen Satz, die Kategorie von Sätzen ein und setzen Funktionen; Ring, die Kategorie von Ringen und Ringhomomorphismus; und Spitze, die Kategorie von topologischen Räumen und dauernden Karten. Alle vorhergehenden Kategorien haben die Identitätskarte als Identitätspfeil und Zusammensetzung als die assoziative Operation auf Pfeilen.

Der Standardtext auf der Kategorie-Theorie ist Kategorien für den Arbeitsmathematiker durch Saunders Mac Lane. Andere Verweisungen werden in den Verweisungen unten gegeben. Die grundlegenden Definitionen in diesem Artikel werden innerhalb der ersten paar Kapitel von einigen dieser Bücher enthalten.

Definition

Eine Kategorie C besteht aus

• eine Klasse ob (C) Gegenstände
• eine Klasse hom (C) morphisms, oder Pfeile oder Karten, zwischen den Gegenständen. Jeder morphism f lässt eine einzigartige Quelle einwenden, dass a und Ziel b einwenden, wo a und b in ob (C) sind. Wir schreiben f: Ein  b, und sagen wir "f ist ein morphism von bis b". Wir schreiben hom (a, b) (oder hom (a, b), wenn es Verwirrung darüber geben kann, auf den sich Kategorie hom (a, b) bezieht), die Hom-Klasse des ganzen morphisms von bis b anzuzeigen. (Einige Autoren schreiben Mor (a, b) oder einfach C (a, b) stattdessen.)
• für alle drei Gegenstände a, b und c, hat eine binäre Operation hom (a, b) × hom (b, c)  hom (a, c) Zusammensetzung von morphisms genannt; die Zusammensetzung von f: ein  b und g: b  wird c als g  f oder gf geschrieben. (Einige Autoren verwenden "diagrammatische Ordnung", f schreibend; g oder fg.)

solch, dass die folgenden Axiome halten:

• (associativity) wenn f: ein  b, g: b  c und h: c  d dann h  (g  f) = (h  g)  f, und
• (Identität) für jeden Gegenstand x, dort besteht ein morphism 1: x  x (schreiben einige Autoren id), hat die Identität morphism nach x, solch dass für jeden morphism f genannt: Ein  b, wir haben 1  f = f = f  1.

Von diesen Axiomen kann man beweisen, dass es genau eine Identität morphism für jeden Gegenstand gibt. Einige Autoren verwenden eine geringe Schwankung der Definition, in der jeder Gegenstand mit der entsprechenden Identität morphism identifiziert wird.

Geschichte

Kategorie-Theorie ist zuerst in einer Zeitung betitelt "Allgemeine Theorie von Natürlichen Gleichwertigkeiten", geschrieben von Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane 1945 geschienen.

Kleine und große Kategorien

Eine Kategorie C wird klein genannt, wenn sowohl ob (C) als auch hom (C) wirklich Sätze und nicht richtige Klassen, und groß sonst sind. Eine lokal kleine Kategorie ist eine solche Kategorie, dass für alle Gegenstände a und b die Hom-Klasse hom (a, b) ein Satz, genannt einen homset ist. Viele wichtige Kategorien in der Mathematik (wie die Kategorie von Sätzen), obwohl nicht klein, sind mindestens lokal klein.

Beispiele

Die Klasse aller Sätze zusammen mit allen Funktionen zwischen Sätzen, wo Zusammensetzung die übliche Funktionszusammensetzung ist, bildet eine große Kategorie, Satz. Es ist am grundlegendsten und die meistens verwendete Kategorie in der Mathematik. Die Kategorie Rel besteht aus allen Sätzen, mit binären Beziehungen als morphisms. Das Entziehen von Beziehungen statt Funktionen gibt Allegorien statt Kategorien nach.

Jede Klasse kann als eine Kategorie angesehen werden, deren nur morphisms die Identität morphisms sind. Solche Kategorien werden getrennt genannt. Weil irgendwelche gegebenen I, die getrennte Kategorie darauf untergehen, bin mir die kleine Kategorie, die die Elemente von mir als Gegenstände und nur die Identität morphisms als morphisms hat. Getrennte Kategorien sind die einfachste Art der Kategorie.

Jeder vorbestellte Satz (P, ) bildet eine kleine Kategorie, wo die Gegenstände die Mitglieder von P sind, sind die morphisms Pfeile, die von x bis y wenn x  y hinweisen. Zwischen irgendwelchen zwei Gegenständen kann es am grössten Teil eines morphism geben. Die Existenz der Identität morphisms und des composability des morphisms wird durch den reflexivity und den transitivity der Vorordnung versichert. Durch dasselbe Argument können jeder teilweise bestellte Satz und jede Gleichwertigkeitsbeziehung als eine kleine Kategorie gesehen werden. Jede Ordinalzahl kann als eine Kategorie, wenn angesehen, als ein bestellter Satz gesehen werden.

Jeder monoid (jede algebraische Struktur mit einer einzelnen assoziativen binären Operation und einem Identitätselement) bildet eine kleine Kategorie mit einem einzelnen Gegenstand x. (Hier, x ist jeder feste Satz.) Sind die morphisms von x bis x genau die Elemente des monoid, die Identität morphism x ist die Identität des monoid, und die kategorische Zusammensetzung von morphisms wird durch die monoid Operation gegeben. Mehrere Definitionen und Lehrsätze über monoids können für Kategorien verallgemeinert werden.

Jede Gruppe kann als eine Kategorie mit einem einzelnen Gegenstand gesehen werden, in dem jeder morphism invertible ist (für jeden morphism f, gibt es einen morphism g, der sowohl verlassen wird und richtiges Gegenteil zu f unter der Zusammensetzung) durch die Betrachtung der Gruppe als das Folgen sich durch die linke Multiplikation. Ein morphism, der invertible in diesem Sinn ist, wird einen Isomorphismus genannt.

Ein groupoid ist eine Kategorie, in der jeder morphism ein Isomorphismus ist. Groupoids sind Generalisationen von Gruppen, Gruppenhandlungen und Gleichwertigkeitsbeziehungen.

Jeder geleitete Graph erzeugt eine kleine Kategorie: Die Gegenstände sind die Scheitelpunkte des Graphen, und die morphisms sind die Pfade im Graphen (vermehrt mit Schleifen, wie erforderlich), wo die Zusammensetzung von morphisms Verkettung von Pfaden ist. Solch eine Kategorie wird die freie durch den Graphen erzeugte Kategorie genannt.

Die Klasse aller vorbestellten Sätze mit monotonischen Funktionen als morphisms bildet eine Kategorie, Ord. Es ist eine konkrete Kategorie, d. h. eine erhaltene Kategorie durch das Hinzufügen eines Typs der Struktur auf den Satz und das Verlangen, dass morphisms Funktionen sind, die diese zusätzliche Struktur respektieren.

Die Klasse aller Gruppen mit dem Gruppenhomomorphismus als morphisms und Funktionszusammensetzung als die Zusammensetzungsoperation bildet eine große Kategorie, Grp. Wie Ord ist Grp eine konkrete Kategorie. Die Kategorie Ab, aus allen abelian Gruppen und ihrem Gruppenhomomorphismus bestehend, ist eine volle Unterkategorie von Grp und der Prototyp einer abelian Kategorie. Andere Beispiele von konkreten Kategorien werden durch den folgenden Tisch angeführt.

Faser-Bündel mit Bündel-Karten zwischen ihnen bilden eine konkrete Kategorie.

Die Kategorie Cat besteht aus allen kleinen Kategorien, mit functors zwischen ihnen als morphisms.

Aufbau von neuen Kategorien

Doppelkategorie

Jede Kategorie C kann selbst als eine neue Kategorie auf eine verschiedene Weise betrachtet werden: Die Gegenstände sind dasselbe als diejenigen in der ursprünglichen Kategorie, aber die Pfeile sind diejenigen der ursprünglichen umgekehrten Kategorie. Das wird die entgegengesetzte oder Doppelkategorie genannt und wird C angezeigt.

Produktgruppen

Wenn C und D Kategorien sind, kann man die Produktgruppe C × D bilden: Die Gegenstände sind Paare, die aus einem Gegenstand von C und ein von D bestehen, und die morphisms sind auch Paare, aus einem morphism in C und ein in D bestehend. Solche Paare können componentwise zusammengesetzt werden.

Typen von morphisms

Ein morphism f: Ein  b wird genannt

• ein monomorphism (oder monic), wenn fg = fg g = g für den ganzen morphisms g, g einbezieht: x  a.
• ein epimorphism (oder Epos), wenn gf = gf g = g für den ganzen morphisms g, g einbezieht: b  x.
• ein bimorphism, wenn es sowohl ein monomorphism als auch ein epimorphism ist.
• eine Wiedertraktion, wenn es ein richtiges Gegenteil hat, d. h. wenn dort ein morphism g besteht: b  mit fg = 1.
• eine Abteilung, wenn es ein linkes Gegenteil hat, d. h. wenn dort ein morphism g besteht: b  mit gf = 1.
• ein Isomorphismus, wenn es ein Gegenteil hat, d. h. wenn dort ein morphism g besteht: b  mit fg = 1 und gf = 1.
• ein Endomorphismus wenn = b. Die Klasse von Endomorphismen, des angezeigten Endes (a) zu sein.
• ein automorphism, wenn f sowohl ein Endomorphismus als auch ein Isomorphismus ist. Die Klasse von automorphisms, von angezeigtem aut (a) zu sein.

Jede Wiedertraktion ist ein epimorphism. Jede Abteilung ist ein monomorphism. Die folgenden drei Behauptungen sind gleichwertig:

• f ist ein monomorphism und eine Wiedertraktion;
• f ist ein epimorphism und eine Abteilung;
• f ist ein Isomorphismus.

Beziehungen unter morphisms (wie fg = h) können mit Ersatzdiagrammen am günstigsten vertreten werden, wo die Gegenstände als Punkte und der morphisms als Pfeile vertreten werden.

Typen von Kategorien

• In vielen Kategorien, z.B. Ab oder Vect, die Hom-Sätze hom (a, b) sind nicht nur Sätze, aber wirklich abelian Gruppen, und ist die Zusammensetzung von morphisms mit diesen Gruppenstrukturen vereinbar; d. h. ist bilinear. Solch eine Kategorie wird vorzusätzlich genannt. Wenn, außerdem, die Kategorie alle begrenzten Produkte und coproducts hat, wird es eine zusätzliche Kategorie genannt. Wenn alle morphisms einen Kern und einen cokernel haben, und alle epimorphisms cokernels sind und alle monomorphisms Kerne sind, dann sprechen wir von einer abelian Kategorie. Ein typisches Beispiel einer abelian Kategorie ist die Kategorie von abelian Gruppen.
• Eine Kategorie wird abgeschlossen genannt, wenn alle Grenzen darin bestehen. Die Kategorien von Sätzen, abelian Gruppen und topologische Räume sind abgeschlossen.
• Eine Kategorie wird kartesianisch geschlossen genannt, wenn sie begrenzte direkte Produkte hat und ein auf einem begrenzten Produkt definierter morphism immer durch einen auf gerade einem der Faktoren definierten morphism vertreten werden kann. Beispiele schließen Satz und CPO, die Kategorie von ganzen teilweisen Ordnungen mit Scott-dauernden Funktionen ein.
• Ein topos ist ein bestimmter Typ der kartesianischen geschlossenen Kategorie, in der die ganze Mathematik formuliert werden kann (gerade wie klassisch die ganze Mathematik, wird in der Kategorie von Sätzen formuliert). Ein topos kann auch verwendet werden, um eine logische Theorie zu vertreten.

Siehe auch

• Bereicherte Kategorie
• Höhere Kategorie-Theorie
• Tisch von mathematischen Symbolen

• (jetzt freie Online-Ausgabe, GNU FDL).

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• (revidiert und korrigiert gratis online Version von Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).

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