In der Kategorie-Theorie, einem Zweig der Mathematik, ist ein functor ein spezieller Typ davon, zwischen Kategorien kartografisch darzustellen. Von Functors kann als Homomorphismus zwischen Kategorien oder morphisms wenn in der Kategorie von kleinen Kategorien gedacht werden.

Functors wurden zuerst in der algebraischen Topologie betrachtet, wo algebraische Gegenstände (wie die grundsätzliche Gruppe) zu topologischen Räumen vereinigt werden, und algebraischer Homomorphismus zu dauernden Karten vereinigt wird. Heutzutage werden functors überall in der modernen Mathematik verwendet, um verschiedene Kategorien zu verbinden. Das Wort functor wurde von Mathematikern vom Philosophen Rudolf Carnap geliehen, der den Begriff in einem Sprachzusammenhang gebraucht hat.

Definition

Lassen Sie C und D Kategorien sein. Ein functor F von C bis D ist das kartografisch darzustellen

• Partner zu jedem Gegenstand ein Gegenstand,
• Partner zu jedem morphism ein solcher morphism, dass die folgenden zwei Bedingungen halten:

• für jeden Gegenstand

• für den ganzen morphisms und

D. h. functors muss Identität morphisms und Zusammensetzung von morphisms bewahren.

Kovarianz und Kontravarianz

Es gibt viele Aufbauten in der Mathematik, die functors sein würde, aber für die Tatsache, dass sie "morphisms ringsherum" drehen und, "kehren Zusammensetzung um". Wir definieren dann eine Kontravariante functor F von C bis D als, das kartografisch darzustellen

• Partner zu jedem Gegenstand ein Gegenstand
• Partner zu jedem morphism ein solcher morphism dass
• für jeden Gegenstand,
• für den ganzen morphisms und

Bemerken Sie, dass Kontravariante functors die Richtung der Zusammensetzung umkehrt.

Gewöhnliche functors werden auch kovarianten functors genannt, um sie von kontravarianten zu unterscheiden. Bemerken Sie, dass man auch eine Kontravariante functor als ein kovarianter functor auf der Doppelkategorie definieren kann. Einige Autoren ziehen es vor, alle Ausdrücke kovariant zu schreiben. D. h. statt des Ausspruchs ist eine Kontravariante functor, sie schreiben einfach (oder manchmal) und nennen ihn einen functor.

Kontravariante functors wird auch gelegentlich cofunctors genannt.

Gegenüber functor

Jeder functor veranlasst das Gegenteil functor, wo und die entgegengesetzten Kategorien zu sind und. Definitionsgemäß, Karte-Gegenstände und morphisms identisch dazu. Seitdem fällt damit nicht zusammen, weil eine Kategorie, und ähnlich dafür, davon bemerkenswert ist. Zum Beispiel, wenn man damit dichtet, sollte man verwenden entweder oder. Bemerken Sie dass im Anschluss an das Eigentum der entgegengesetzten Kategorie.

Bifunctors und multifunctors

Ein bifunctor (auch bekannt als ein binärer functor) ist ein functor in zwei Argumenten. Hom functor ist ein natürliches Beispiel; es ist Kontravariante in einem Argument, das im anderen kovariant ist.

Formell ist ein bifunctor ein functor, dessen Gebiet eine Produktgruppe ist. Zum Beispiel ist Hom functor des Typs C × C  Satz.

Ein multifunctor ist eine Generalisation des functor Konzepts zu n Variablen. Also, zum Beispiel ist ein bifunctor ein multifunctor mit n = 2.

Beispiele

Diagramm: Für Kategorien C und J ist ein Diagramm des Typs J in C ein kovarianter functor.

(Kategorie theoretisch) Vorbündel: Für Kategorien C und J ist ein J-Vorbündel auf C eine Kontravariante functor.

Vorbündel: Wenn X ein topologischer Raum ist, dann formen sich die offenen Sätze in X ein teilweise bestellter Satz Öffnen Sich (X) unter der Einschließung. Wie jeder teilweise bestellte Satz, Öffnen Sie Sich (X) Formen eine kleine Kategorie, indem Sie einen einzelnen Pfeil U  V wenn und nur wenn hinzufügen. Kontravariante functors auf dem Offenen (X) wird Vorbündel auf X genannt. Zum Beispiel, indem man jedem offenen Satz U die assoziative Algebra von reellwertigen dauernden Funktionen auf U zuteilt, erhält man ein Vorbündel von Algebra auf X.

Unveränderlicher functor: Der functor C  D, der jeden Gegenstand von C zu einem festen Gegenstand X in D und jedem morphism in C zur Identität morphism auf X kartografisch darstellt. Solch ein functor wird eine Konstante oder Auswahl functor genannt.

Endofunctor: Ein functor, der eine Kategorie zu sich kartografisch darstellt.

Identität functor in der Kategorie C, schriftlichem 1 oder id, stellt einen Gegenstand zu sich und einen morphism zu sich kartografisch dar. Identität functor ist ein endofunctor.

Diagonale functor: Die Diagonale functor wird als der functor von D bis die functor Kategorie D definiert, der jeden Gegenstand in D zum unveränderlichen functor an diesem Gegenstand sendet.

Grenze functor: Für eine feste Index-Kategorie J, wenn jeder functor JC eine Grenze hat (zum Beispiel, wenn C abgeschlossen ist), dann teilt die Grenze functor CC jedem functor seine Grenze zu. Die Existenz dieses functor kann durch das Verständnis bewiesen werden, dass es das Recht-adjoint auf die Diagonale functor und das Hervorrufen von Freyd adjoint functor Lehrsatz ist. Das verlangt eine passende Version des Axioms der Wahl. Ähnliche Bemerkungen gelten für den colimit functor (der kovariant ist).

Macht-Sätze: Die Macht hat functor P gesetzt: Satz  Satz stellt jeden Satz zu seinem Macht-Satz und jede Funktion zur Karte kartografisch dar, die an sein Image sendet. Man kann auch denken, dass die kontravariante Macht functor gesetzt hat, der an die Karte der sendet

sendet an sein umgekehrtes Image

Doppelvektorraum: Die Karte, die jedem Vektorraum seinen Doppelraum und jeder geradlinigen Karte sein Doppel-zuteilt oder umstellt, ist eine Kontravariante functor von der Kategorie aller Vektorräume über ein festes Feld zu sich.

Grundsätzliche Gruppe: Denken Sie die Kategorie von spitzen topologischen Räumen, d. h. topologischen Räumen mit ausgezeichneten Punkten. Die Gegenstände sind Paare (X, x), wo X ein topologischer Raum ist und x ein Punkt in X ist. Ein morphism von (X, x) zu (Y, y) wird durch eine dauernde Karte f gegeben: X  Y mit f (x) = y.

Zu jedem topologischen Raum X mit dem ausgezeichneten Punkt x kann man die grundsätzliche an x gestützte Gruppe definieren, hat π (X, x) angezeigt. Das ist die Gruppe von homotopy Klassen von an x gestützten Schleifen. Wenn f: X  Y morphism spitzer Räume dann kann jede Schleife in X mit dem Grundpunkt x mit f zusammengesetzt werden, um eine Schleife in Y mit dem Grundpunkt y nachzugeben. Diese Operation ist mit der homotopy Gleichwertigkeitsbeziehung und der Zusammensetzung von Schleifen vereinbar, und wir bekommen einen Gruppenhomomorphismus von π (X, x) zu π (Y, y). Wir erhalten so einen functor von der Kategorie von spitzen topologischen Räumen zur Kategorie von Gruppen.

In der Kategorie von topologischen Räumen (ohne ausgezeichneten Punkt) denkt man homotopy Klassen von allgemeinen Kurven, aber sie können nicht zusammengesetzt werden, wenn sie keinen Endpunkt teilen. So hat man den grundsätzlichen groupoid statt der grundsätzlichen Gruppe, und dieser Aufbau ist functorial.

Algebra von dauernden Funktionen: Eine Kontravariante functor von der Kategorie von topologischen Räumen (mit dauernden Karten als morphisms) zur Kategorie von echten assoziativen Algebra wird durch das Zuweisen jedem topologischen Raum X die Algebra C (X) aller reellwertigen dauernden Funktionen auf diesem Raum gegeben. Jede dauernde Karte f: X  Y veranlassen einen Algebra-Homomorphismus C (f): C (Y)  C (X) durch die Regel C (f) (φ) = φ o f für jeden φ in C (Y).

Tangente und Kotangens-Bündel: Die Karte, die jede Differentiable-Sammelleitung an sein Tangente-Bündel und jede glatte Karte zu seiner Ableitung sendet, ist ein kovarianter functor von der Kategorie von Differentiable-Sammelleitungen zur Kategorie von Vektor-Bündeln. Ebenfalls ist die Karte, die jede Differentiable-Sammelleitung an sein Kotangens-Bündel und jede glatte Karte zu seinem Hemmnis sendet, eine Kontravariante functor.

diese Aufbauten tut, gibt pointwise kovarianten und kontravarianten functors von der Kategorie von spitzen Differentiable-Sammelleitungen zur Kategorie von echten Vektorräumen.

Gruppenhandlungen/Darstellungen: Jede Gruppe G kann als eine Kategorie mit einem einzelnen Gegenstand betrachtet werden, dessen morphisms die Elemente von G sind. Ein functor von G, um Unterzugehen, ist dann nichts als eine Gruppenhandlung von G auf einem besonderen Satz, d. h. einem G-Satz. Ebenfalls ist ein functor von G bis die Kategorie von Vektorräumen, Vect, eine geradlinige Darstellung von G. Im Allgemeinen kann ein functor G  C als eine "Handlung" von G auf einem Gegenstand in der Kategorie C betrachtet werden. Wenn C eine Gruppe ist, dann ist diese Handlung ein Gruppenhomomorphismus.

Lügen Sie Algebra: Das Zuweisen jeder echten (komplizierten) Lüge gruppiert sich seine echte (komplizierte) Lüge-Algebra definiert einen functor.

Tensor-Produkte: Wenn C die Kategorie von Vektorräumen über ein festes Feld, mit geradlinigen Karten als morphisms anzeigt, dann definiert das Tensor-Produkt einen functor C × C  C, der in beiden Argumenten kovariant ist.

Vergesslicher functors: Der functor U: Grp  Satz, der eine Gruppe zu seinem zu Grunde liegenden Satz und einen Gruppenhomomorphismus zu seiner zu Grunde liegenden Funktion von Sätzen kartografisch darstellt, ist ein functor. Functors wie diese, die eine Struktur "vergessen", werden vergesslicher functors genannt. Ein anderes Beispiel ist functor Rng  Ab, der einen Ring zu seinem zu Grunde liegenden Zusatz abelian Gruppe kartografisch darstellt. Morphisms in Rng (Ringhomomorphismus) werden morphisms in Ab (abelian Gruppenhomomorphismus).

Freier functors: Das Hineingehen in die entgegengesetzte Richtung von vergesslichem functors ist freier functors. Der freie functor F: Satz  Grp sendet jeden Satz X an die freie Gruppe, die durch X erzeugt ist. Funktionen werden kartografisch dargestellt, um Homomorphismus zwischen freien Gruppen zu gruppieren. Freie Aufbauten bestehen für viele auf strukturierten Sätzen gestützte Kategorien. Sieh freien Gegenstand.

Homomorphismus-Gruppen: Jedem Paar A B abelian Gruppen kann man die abelian Gruppe Hom (A, B) zuteilen, aus dem ganzen Gruppenhomomorphismus von bis B bestehend. Das ist ein functor, der Kontravariante im ersten und kovariantes im zweiten Argument ist, d. h. es ein functor Ab &times ist; Ab  Ab (wo Ab die Kategorie von abelian Gruppen mit dem Gruppenhomomorphismus anzeigt). Wenn f: Ein  A und g: B  sind B morphisms in Ab, dann der Gruppenhomomorphismus Hom (f, g): Hom (A, B)  Hom (A, B) wird durch φ g o φ o f gegeben. Sieh Hom functor.

Wiederpräsentabler functors: Wir können das vorherige Beispiel zu jeder Kategorie C verallgemeinern. Jedem Paar X Y Gegenstände in C kann man den Satz Hom (X, Y) morphisms von X bis Y zuteilen. Das definiert einen functor, um Unterzugehen, der Kontravariante im ersten Argument und kovariant im zweiten ist, d. h. es ein functor C &times ist; C  Satz. Wenn f: X  X und g: Y  sind Y morphisms in C, dann der Gruppenhomomorphismus Hom (f, g): Hom (X, Y)  Hom (X, Y) wird durch φ g o φ o f gegeben.

Functors wie diese werden wiederpräsentablen functors genannt. Eine wichtige Absicht in vielen Einstellungen ist zu bestimmen, ob ein gegebener functor wiederpräsentabel ist.

Eigenschaften

Zwei wichtige Folgen der functor Axiome sind:

• F gestaltet jedes Ersatzdiagramm in C in ein Ersatzdiagramm in D um;
• wenn f ein Isomorphismus in C ist, dann ist F (f) ein Isomorphismus in D.

Man kann functors zusammensetzen, d. h. wenn F ein functor von bis B ist und G ein functor von B bis C dann ist, kann man die Zusammensetzung functor GF von bis C bilden. Die Zusammensetzung von functors, ist wo definiert, assoziativ. Die Identität der Zusammensetzung von functors ist Identität functor. Das zeigt, dass functors als morphisms in Kategorien von Kategorien zum Beispiel in der Kategorie von kleinen Kategorien betrachtet werden kann.

Eine kleine Kategorie mit einem einzelnen Gegenstand ist dasselbe Ding wie ein monoid: Vom morphisms einer Ein-Gegenstand-Kategorie kann als Elemente des monoid gedacht werden, und von der Zusammensetzung in der Kategorie wird als die monoid Operation gedacht. Functors zwischen Ein-Gegenstand-Kategorien entsprechen monoid Homomorphismus. Also gewissermaßen, functors zwischen willkürlichen Kategorien sind eine Art Generalisation des monoid Homomorphismus zu Kategorien mit mehr als einem Gegenstand.

Beziehung zu anderen kategorischen Konzepten

Lassen Sie C und D Kategorien sein. Die Sammlung des ganzen functors CD bildet die Gegenstände einer Kategorie: die functor Kategorie. Morphisms in dieser Kategorie sind natürliche Transformationen zwischen functors.

Functors werden häufig durch universale Eigenschaften definiert; Beispiele sind das Tensor-Produkt, die direkte Summe und das direkte Produkt von Gruppen oder Vektorräumen, Aufbau von freien Gruppen und Modulen, direkten und umgekehrten Grenzen. Die Konzepte der Grenze und colimit verallgemeinern mehrere der obengenannten.

Universale Aufbauten verursachen häufig Paare von adjoint functors.

Siehe auch

• Diagramm (Kategorie-Theorie)
• Kategorie von Functor
• Erweiterung von Kan

Referenzen