In der Mathematik ist der Fixpunktsatz von Banach (auch bekannt als der Zusammenziehungslehrsatz des kartografisch darstellenden oder Zusammenziehungsgrundsatz des kartografisch darstellenden) ein wichtiges Werkzeug in der Theorie von metrischen Räumen; es versichert die Existenz und Einzigartigkeit von festen Punkten von bestimmten Selbstkarten von metrischen Räumen, und stellt eine konstruktive Methode zur Verfügung, jene festen Punkte zu finden. Der Lehrsatz wird nach Stefan Banach (1892-1945) genannt, und wurde zuerst von ihm 1922 festgesetzt.

Der Lehrsatz

Lassen Sie (X, d), ein nichtleerer ganzer metrischer Raum zu sein. Lässt T: X  X, eine Zusammenziehung sein, die auf X kartografisch darstellt, d. h.: Es gibt eine nichtnegative reelle Zahl q

für den ganzen x, y in X. Dann lässt die Karte T einen und nur einen festen Punkt x in X zu (das bedeutet T (x) = x). Außerdem kann dieser feste Punkt wie folgt gefunden werden: Fangen Sie mit einem willkürlichen Element x in X an und definieren Sie eine wiederholende Folge durch x = T (x) für n = 1, 2, 3... Diese Folge läuft zusammen, und seine Grenze ist x. Die folgende Ungleichheit beschreibt die Geschwindigkeit der Konvergenz:

:

Gleichwertig,

:

und

:

Jeder solcher Wert von q wird Lipschitz genannt, der nach T unveränderlich ist, und der kleinste wird manchmal "besten Lipschitz unveränderlich" von T genannt.

Bemerken Sie, dass die Voraussetzung d (T (x), T (y)) mit T (x) = x + 1/x, der an einem festen Punkt Mangel hat. Jedoch, wenn der metrische Raum X kompakt ist, dann bezieht diese schwächere Annahme wirklich die Existenz und Einzigartigkeit eines festen Punkts ein, der als ein minimizer von d (x, T (x)) leicht gefunden werden kann: Tatsächlich besteht ein minimizer durch die Kompaktheit, und muss ein fester Punkt von T sein. Es folgt dann leicht dem der feste Punkt ist die Grenze jeder Folge von Wiederholungen von T.

Wenn

er den Lehrsatz in der Praxis verwendet, soll der schwierigste Teil normalerweise X richtig definieren, so dass T wirklich Elemente von X bis X kartografisch darstellt, d. h. dass T (x) immer ein Element X ist.

Beweis

Wählen Sie irgendwelchen. Für jeden, definieren. Wir behaupten, dass für alle der folgende wahr ist:

:

Um das zu zeigen, werden wir mit der Induktion weitergehen. Die obengenannte Behauptung ist für den Fall für wahr

:

Nehmen Sie an, dass die obengenannte Behauptung für einige hält. Dann haben wir

:

\begin {richten }\aus

d (x_ {(k + 1) + 1}, x_ {k + 1}) & = d (x_ {k + 2}, x_ {k + 1}) \\[6pt]

& = d (T (x_ {k + 1}), T (x_k)) \\[6pt]

& \leq q d (x_ {k + 1}, x_k) \\[6pt]

& \leq q \cdot q^kd (x_1, x_0) \\[6pt]

& = q^ {k + 1} d (x_1, x_0).

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Die induktive Annahme wird verwendet, von der Linie drei gehend, um sich vier aufzustellen. Durch den Grundsatz der mathematischen Induktion, für alle, ist der obengenannte Anspruch wahr.

Lassen. Seitdem

::

Mit dem Anspruch oben haben wir das für irgendwelchen, mit,

: \begin {richten }\aus

d\left (x_m, x_n\right) & \leq d (x_m, x_ {m-1}) + d (x_ {m-1}, x_ {m-2}) + \cdots + d (x_ {n+1}, x_n) \\[6pt]

& \leq Q^ {m-1} d (x_1, x_0) + Q^ {m-2} d (x_1, x_0) + \cdots + q^nd (x_1, x_0) \\[6pt]

& = d (x_1, x_0) Q^n \cdot \sum_ {k=0} ^ {m-n-1} q^k \\[6pt]

&

Die Ungleichheit in der Linie folgt man aus wiederholten Anwendungen der Dreieck-Ungleichheit; die Reihe in der Linie vier ist eine geometrische Reihe damit

(Um 1) zu sehen, nehmen wir die Grenze von beiden Seiten des Wiederauftretens,

::

Da T eine kartografisch darstellende Zusammenziehung ist, ist es dauernd, so können wir die Grenze innen nehmen:. So.

Um uns (2) zu zeigen, nehmen wir an, dass auch befriedigt. Dann

::

Das Erinnern daran

Anwendungen

• Eine Standardanwendung ist der Beweis des Picard-Lindelöf Lehrsatzes über die Existenz und Einzigartigkeit von Lösungen bestimmter gewöhnlicher Differenzialgleichungen. Die gesuchte Lösung der Differenzialgleichung wird als ein fester Punkt eines passenden integrierten Maschinenbedieners ausgedrückt, der dauernde Funktionen in dauernde Funktionen umgestaltet. Der Banach Fixpunktsatz wird dann verwendet, um zu zeigen, dass dieser integrierte Maschinenbediener einen einzigartigen festen Punkt hat.
• Eine Folge des Fixpunktsatzes von Banach ist, dass die kleine Unruhe von Lipschitz der Identität bi-lipschitz homeomorphisms ist. Lassen Sie, ein offener Satz eines Banachraums zu sein; lassen Sie zeigen die Identität (Einschließung) Karte an und lassen, eine Karte von Lipschitz von unveränderlichem k zu sein, ist eine offene Teilmenge: Genau, für irgendwelchen solch, dass man hat

:; (ii)

ist ein bi-lipschitz homeomorphism; genau, ist noch der Form

:

mit einer Karte von Lipschitz von unveränderlichem

Eine direkte Folge dieses Ergebnisses gibt den Beweis des umgekehrten Funktionslehrsatzes nach.

Spricht

Mehrere sprechen vom Zusammenziehungsgrundsatz von Banach bestehen. Der folgende ist wegen Czesław Bessaga von 1959:

Lassen Sie, eine Karte eines solchen Auszug-Satzes zu sein, dass jeder &fnof wiederholt; hat einen einzigartigen festen Punkt. Lassen Sie q eine reelle Zahl, 0 sein, wenn eine Karte auf einem T topologischen Raum (d. h., einem T1 Raum) mit einem einzigartigen festen Punkt a, solch ist, dass für jeden wir das &fnof haben; (x) läuft zu a zusammen, dann dort bereits besteht ein metrischer auf X, in Bezug auf den f die Bedingungen des Zusammenziehungsgrundsatzes von Banach mit der unveränderlichen Zusammenziehung befriedigt. In diesem Fall ist das metrische tatsächlich ein ultrametrischer.

Generalisationen

Es gibt mehrere Generalisationen als unmittelbare Folgeerscheinungen, die von einem Interesse wegen Anwendungen sind. Lassen Sie, eine Karte auf einem ganzen nichtleeren metrischen Raum zu sein.

• Nehmen Sie an, dass einige von T wiederholen, ist eine Zusammenziehung. Dann hat T einen einzigartigen festen Punkt.
• Nehmen Sie das für alle und in an,

Jedoch in den meisten Anwendungen können die Existenz und unicity eines festen Punkts direkt mit normalem Banach befestigter Punkt-Lehrsatz durch eine passende Wahl des metrischen gezeigt werden, das die Karte T eine Zusammenziehung macht. Tatsächlich deutet das obengenannte Ergebnis durch Bessaga stark an, nach solch einem metrischen zu suchen. Siehe auch den Artikel über feste Punkt-Lehrsätze in unendlich-dimensionalen Räumen für Generalisationen.

Eine verschiedene Klasse von Generalisationen entsteht aus passenden Generalisationen des Begriffs des metrischen Raums, z.B durch die Schwächung der Definieren-Axiome für den Begriff von metrischen. Einige von diesen haben Anwendungen z.B in der Theorie, Semantik in der theoretischen Informatik zu programmieren.

Siehe auch

:Brouwer-Fixpunktsatz

:Infinite-Zusammensetzungen von analytischen Funktionen

Referenzen

• Banach, S. "Anwendung von Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur aux équations intégrales." Fonds. Mathematik. 3 (1922), 133-181.

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/or/or2/or215.pdf

• Vasile I. Istratescu, Feste Punkt-Theorie, Eine Einführung, D.Reidel, die Niederlande (1981). Internationale Standardbuchnummer 90-277-1224-7 Sieht Kapitel 7.
• Andrzej Granas und James Dugundji, Fester Punkt-Springer-Verlag der Theorie (2003), New York, internationale Standardbuchnummer 0-387-00173-5.
• William A. Kirk und Brailey Sims, Handbuch der Metrischen Festen Punkt-Theorie (2001), Kluwer Akademisch, Londoner internationale Standardbuchnummer 0-7923-7073-2.
• Beweis des Fixpunktsatzes von Banach auf Bourbawiki

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