Die Elemente von Euklid (Stoicheia) sind eine mathematische und geometrische Abhandlung, die aus 13 Büchern besteht, die vom griechischen Mathematiker Euklid in Alexandria c geschrieben sind. 300 v. Chr. Es ist eine Sammlung von Definitionen, Postulaten (Axiome), Vorschläge (Lehrsätze und Aufbauten), und mathematische Beweise der Vorschläge. Die dreizehn Bücher bedecken Euklidische Geometrie und die alte griechische Version der elementaren Zahlentheorie. Die Arbeit schließt auch ein algebraisches System ein, das bekannt als geometrische Algebra geworden ist, die stark genug ist, um viele algebraische Probleme einschließlich des Problems zu beheben, die Quadratwurzel zu finden. Mit Ausnahme von Autolycus Auf dem Bewegenden Bereich sind die Elemente eine der ältesten noch vorhandenen griechischen mathematischen Abhandlungen, und es ist die älteste noch vorhandene axiomatische deduktive Behandlung der Mathematik. Es hat sich instrumental in der Entwicklung der modernen und Logikwissenschaft erwiesen.

Der Name Elemente kommt aus dem Mehrzahl-vom 'Element'. Gemäß Proclus wurde der Begriff gebraucht, um einen Lehrsatz zu beschreiben, der volldurchdringt und Ausrüstungsbeweisen von vielen anderen Lehrsätzen hilft. Das Wort 'Element' ist auf der griechischen Sprache dasselbe als 'Brief'. Das weist darauf hin, dass Lehrsätze in den Elementen als Stehen in derselben Beziehung zur Geometrie wie Briefe an die Sprache gesehen werden sollten. Spätere Kommentatoren geben eine ein bisschen verschiedene Bedeutung dem Begriff 'Element', darauf betonend, wie der Vorschlag-Fortschritt in kleinen Schritten, und fortsetzt, auf vorherige Vorschläge in einer bestimmten Ordnung zu bauen.

Die Elemente von Euklid sind das erfolgreichste und einflussreiche jemals schriftliche Lehrbuch genannt geworden. Im Typ in Venedig 1482 zuerst gesetzt, ist es eine der sehr frühsten mathematischen Arbeiten, die nach der Erfindung der Druckpresse zu drucken sind, und wurde von Carl Benjamin Boyer geschätzt, nur zur Bibel in der Zahl von Ausgaben veröffentlicht mit der Zahl zweit zu sein, die gut mehr als eintausend erreicht. Seit Jahrhunderten, als der quadrivium in den Lehrplan aller Universitätsstudenten eingeschlossen wurde, waren Kenntnisse mindestens des Teils der Elemente von Euklid aller Studenten erforderlich. Erst als das 20. Jahrhundert, vor der Zeit sein Inhalt durch Schulbücher allgemein unterrichtet wurde, hat getan es hört auf, als etwas betrachtet zu werden, was alle gebildeten Leute gelesen hatten.

Geschichte

Basis in der früheren Arbeit

Gelehrte glauben, dass die Elemente größtenteils eine Sammlung von Lehrsätzen sind, die von anderen durch etwas ursprüngliche Arbeit ergänzten Mathematikern bewiesen sind. Proclus, ein griechischer Mathematiker, der mehrere Jahrhunderte nach Euklid gelebt hat, hat in seinem Kommentar der Elemente geschrieben:" Euklid, der die Elemente zusammengestellt hat, viele Lehrsätze von Eudoxus sammelnd, vielen Theaetetus vervollkommnend, und auch zur unwiderlegbaren Demonstration die Dinge bringend, die nur von seinen Vorgängern etwas lose bewiesen wurden". Pythagoras war wahrscheinlich die Quelle der meisten Bücher I und II, Hippocrates von Chios (nicht der besser bekannte Hippocrates von Kos) des Buches III und Buches V von Eudoxus, während Bücher IV, VI, XI, und XII wahrscheinlich aus anderen Pythagoreischen oder athenischen Mathematikern gekommen sind. Euklid hat häufig trügerische Beweise durch seine eigenen, strengeren Versionen ersetzt. Der Gebrauch von Definitionen, Postulaten und Axiomen ist auf Plato zurückgegangen. Die Elemente können auf einem früheren Lehrbuch von Hippocrates von Chios basiert haben, der auch den Gebrauch von Briefen hervorgebracht haben kann, um sich auf Zahlen zu beziehen.

Übertragung des Textes

Im vierten Jahrhundert n.Chr. hat Theon Alexandrias eine Ausgabe von Euklid erzeugt, der so weit verwendet wurde, dass es die einzige überlebende Quelle geworden ist, bis 's 1808-Entdeckung am Vatikan eines Manuskriptes nicht auf Theon zurückzuführen gewesen ist. Dieses Manuskript, das Manuskript von Heiberg, ist von einer byzantinischen Werkstatt c. 900 und ist die Basis von modernen Ausgaben. Papyrus-Oxyrhynchus 29 ist ein winziges Bruchstück eines noch älteren Manuskriptes, aber enthält nur die Behauptung eines Vorschlags.

Obwohl bekannt, zum Beispiel, Cicero, gibt es keine noch vorhandene Aufzeichnung des Textes, der in Latein vor Boethius im fünften oder das sechste Jahrhundert worden ist übersetzt. Die Araber haben die Elemente von den Byzantinern in etwa 760 erhalten; diese Version, durch einen Schüler von Euklid genannt Proclo, wurde ins Arabisch unter Harun al Rashid c übersetzt. 800. Der byzantinische Gelehrte Arethas hat das Kopieren von einem der noch vorhandenen griechischen Manuskripte von Euklid gegen Ende des neunten Jahrhunderts beauftragt. Obwohl bekannt, in Byzanz wurden die Elemente nach Westeuropa bis c verloren. 1120, als der englische Mönch Adelard des Bades es in Latein aus einer arabischen Übersetzung übersetzt hat.

Die erste gedruckte Ausgabe ist 1482 (gestützt auf Campanus der 1260-Ausgabe von Novara) geschienen, und seitdem ist es in viele Sprachen übersetzt und in ungefähr eintausend verschiedenen Ausgaben veröffentlicht worden. Die griechische Ausgabe von Theon wurde 1533 wieder erlangt. 1570 hat John Dee eine weit respektierte "Mathematische Einleitung", zusammen mit reichlichen Zeichen und ergänzendem Material zur ersten englischen Ausgabe von Henry Billingsley zur Verfügung gestellt.

Kopien des griechischen Textes bestehen noch, von denen einige in der Vatikaner Bibliothek und der Bodleian Bibliothek in Oxford gefunden werden können. Die verfügbaren Manuskripte sind von variabler Qualität, und unveränderlich unvollständig. Durch die sorgfältige Analyse der Übersetzungen und Originale sind Hypothesen über den Inhalt des ursprünglichen Textes gemacht worden (dessen Kopien nicht mehr verfügbar sind).

Alte Texte, die sich auf die Elemente selbst und auf andere mathematische Theorien beziehen, die zurzeit aktuell waren, wurde es geschrieben sind auch in diesem Prozess wichtig. Solche Analysen werden von J. L. Heiberg und Herrn Thomas Little Heath in ihren Ausgaben des Textes geführt.

Auch wichtig sind der scholia oder Anmerkungen zum Text. Diese Hinzufügungen, die häufig sich aus dem Haupttext (abhängig von Manuskript), allmählich angesammelt mit der Zeit als Meinungen unterschieden haben, die darauf geändert sind, was der Erklärung oder Erläuterung würdig war.

Einfluss

Die Elemente werden noch als ein Meisterwerk in der Anwendung der Logik zur Mathematik betrachtet. Im historischen Zusammenhang hat es sich enorm einflussreich in vielen Gebieten der Wissenschaft erwiesen. Wissenschaftler Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, Galileo Galilei und Herr Isaac Newton waren alle unter Einfluss der Elemente, und haben ihre Kenntnisse davon zu ihrer Arbeit angewandt. Mathematiker und Philosophen, wie Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, und Baruch Spinoza, haben versucht, ihre eigenen foundational "Elemente" für ihre jeweiligen Disziplinen zu schaffen, indem sie die axiomatized deduktiven Strukturen annehmen, die die Arbeit von Euklid eingeführt hat.

Die strenge Schönheit der Euklidischen Geometrie ist von vielen in der Westkultur als ein Anblick eines weltfremden Systems der Vollkommenheit und Gewissheit gesehen worden. Abraham Lincoln hat eine Kopie von Euklid in seiner Satteltasche behalten, und hat sie spät abends beim Lampenlicht studiert; er hat das verbunden er hat sich gesagt, "Sie können nie einen Rechtsanwalt machen, wenn Sie nicht verstehen, was Mittel demonstriert; und ich habe meine Situation in Springfield verlassen, bin zum Haus meines Vaters nach Hause gegangen, und bin dort geblieben, bis ich jeden Vorschlag in den sechs Büchern von Euklid am Anblick geben konnte". Edna St Vincent Millay hat in ihrem Sonett geschrieben Euklid Allein Hat Bloße Schönheit Betrachtet, "O das Blenden der Stunde, O heiliger, schrecklicher Tag, Als zuerst die Welle in seine Vision des sezierten Lichtes geschienen hat!". Einstein hat eine Kopie der Elemente und eines magnetischen Kompasses als zwei Geschenke zurückgerufen, die einen großen Einfluss auf ihn als ein Junge hatten, den Euklid als das "heilige kleine Geometrie-Buch" kennzeichnend.

Der Erfolg der Elemente ist in erster Linie zu seiner logischen Präsentation der meisten mathematischen für Euklid verfügbaren Kenntnisse erwartet. Viel vom Material ist zu ihm nicht ursprünglich, obwohl viele der Beweise sein sind. Jedoch hat die systematische Entwicklung von Euklid seines Themas, von einem kleinen Satz von Axiomen zu tiefen Ergebnissen und der Konsistenz seiner Annäherung überall in den Elementen, seinen Gebrauch als ein Lehrbuch seit ungefähr 2,000 Jahren gefördert. Die Elemente beeinflussen noch moderne Geometrie-Bücher. Weiter bleiben seine logische axiomatische Annäherung und strenge Beweise der Eckstein der Mathematik.

Umriss von Elementen

Inhalt der Bücher

Bücher 1 bis 4 befassen sich mit Flugzeug-Geometrie:

• Buch 1 enthält die 10 Axiome von Euklid (5 genannte Postulate — einschließlich des parallelen Postulates — und 5 genannte Axiome) und die grundlegenden Vorschläge der Geometrie: Der pons asinorum (Vorschlag 5), der Pythagoreische Lehrsatz (Vorschlag 47), Gleichheit von Winkeln und Gebieten, Parallelismus, der Summe der Winkel in einem Dreieck und der drei Fälle, in denen Dreiecke "gleich" sind (haben den gemeinsamen Bereich).
• Buch 2 wird das "Buch der geometrischen Algebra" allgemein genannt, weil die meisten Vorschläge als geometrische Interpretationen der algebraischen Identität, solcher als (b + c +...) = ab + ac +... oder (2a + b) + b = 2 (+ (+ b)) gesehen werden können. Es enthält auch eine Methode, die Quadratwurzel einer gegebenen Zahl zu finden.
• Buch 3 befasst sich mit Kreisen und ihren Eigenschaften: eingeschriebene Winkel, Tangenten, die Macht eines Punkts, des Lehrsatzes von Thales.
• Buch 4 baut den incircle und circumcircle eines Dreiecks, und baut regelmäßige Vielecke mit 4, 5, 6, und 15 Seiten.

Bücher 5 bis 10 führen Verhältnisse und Verhältnisse ein:

• Buch 5 ist eine Abhandlung auf Verhältnissen von Umfängen. Vorschlag 25 hat als ein spezieller Fall die Ungleichheit der Arithmetik und geometrischen Mittel.
• Buch 6 wendet Verhältnisse zur Geometrie an: Ähnliche Zahlen.
• Buch 7 befasst sich ausschließlich mit der elementaren Zahlentheorie: Teilbarkeit, Primzahlen, der Algorithmus von Euklid, für den größten allgemeinen Teiler, kleinstes Gemeinsames Vielfaches zu finden. Vorschläge 30 und 32 sind zusammen zum Hauptsatz der Arithmetik im Wesentlichen gleichwertig feststellend, dass jede positive ganze Zahl als ein Produkt der Blüte auf eine im Wesentlichen einzigartige Weise geschrieben werden kann, obwohl Euklid Schwierigkeiten gehabt hätte, es in dieser modernen Form festzusetzen, weil er das Produkt von mehr als 3 Zahlen nicht verwendet hat.
• Buch 8 befasst sich mit Verhältnissen in der Zahlentheorie und den geometrischen Folgen.
• Buch 9 wendet die Ergebnisse des Vorangehens zwei Büchern an und gibt die Unendlichkeit von Primzahlen (Vorschlag 20), die Summe einer geometrischen Reihe (Vorschlag 35), und der Aufbau sogar vollkommener Zahlen (Vorschlag 36).
• Buch 10 versucht, nicht vergleichbar (auf der modernen Sprache, vernunftwidrig) Umfänge durch das Verwenden der Methode der Erschöpfung, eines Vorgängers zur Integration zu klassifizieren.

Bücher 11 durch zu 13 Geschäft mit Raumgeometrie:

• Buch 11 verallgemeinert die Ergebnisse von Büchern 1-6 zum Raum: perpendicularity, Parallelismus, Volumina von parallelepipeds.
• Buch 12 studiert Volumina von Kegeln, Pyramiden, und Zylindern im Detail und Shows zum Beispiel, dass das Volumen eines Kegels ein Drittel des Volumens des entsprechenden Zylinders ist. Es hört durch die Vertretung auf, dass das Volumen eines Bereichs zum Würfel seines Radius durch das Approximieren ihm durch eine Vereinigung von vielen Pyramiden proportional ist.
• Buch 13 baut die fünf regelmäßigen Platonischen in einem Bereich eingeschriebenen Festkörper, berechnet das Verhältnis ihrer Ränder zum Radius des Bereichs und beweist, dass es keine weiteren regelmäßigen Festkörper gibt.

Die Methode von Euklid und Stil der Präsentation

Die axiomatische Annäherung von Euklid und konstruktive Methoden waren weit einflussreich.

Wie in alten mathematischen Texten üblich war, als ein Vorschlag Beweis in mehreren verschiedenen Fällen gebraucht hat, hat Euklid häufig nur einen von ihnen (häufig das schwierigste) bewiesen, andere dem Leser verlassend. Spätere Redakteure wie Theon haben häufig ihre eigenen Beweise dieser Fälle interpoliert.

Die Liste von Euklid von Axiomen war nicht erschöpfend, aber hat die Grundsätze vertreten, die am wichtigsten waren. Seine Beweise rufen häufig axiomatische Begriffe an, die in seiner Liste von Axiomen nicht ursprünglich präsentiert wurden. Spätere Redakteure haben die impliziten axiomatischen Annahmen von Euklid in der Liste von formellen Axiomen interpoliert.

Die Präsentation von Euklid wurde durch die mathematischen Ideen und Notationen in der gemeinsamen Währung in seinem Zeitalter beschränkt, und das veranlasst die Behandlung, ungeschickt dem modernen Leser an einigen Stellen zu scheinen. Zum Beispiel gab es keinen Begriff eines Winkels, der größer ist als zwei richtige Winkel, die Nummer 1 wurde manchmal getrennt von anderen positiven ganzen Zahlen behandelt, und wie Multiplikation geometrisch behandelt wurde, hat er das Produkt von mehr als 3 verschiedenen Zahlen nicht verwendet. Die geometrische Behandlung der Zahlentheorie kann darin bestanden haben, weil die Alternative das äußerst ungeschickte System von Alexandrian von Ziffern gewesen wäre.

Die Präsentation jedes Ergebnisses wird in einer stilisierten Form gegeben, die mit Euklid entstanden ist: Ankündigung, Behauptung, Aufbau, Beweis und Beschluss. Keine Anzeige wird der Methode gegeben zu schließen, dass zum Ergebnis geführt hat, obwohl die Daten wirklich Instruktion darüber zur Verfügung stellen, wie man sich den Typen von in den ersten vier Büchern der Elemente gestoßenen Problemen nähert. Einige Gelehrte haben versucht, im Gebrauch von Euklid von Zahlen in seinen Beweisen zu nörgeln, ihn anklagend, Beweise zu schreiben, die von den spezifischen Zahlen angezogen aber nicht die allgemeine zu Grunde liegende Logik, besonders bezüglich des Vorschlags II des Buches I abgehangen haben. Jedoch ist der ursprüngliche Beweis von Euklid dieses Vorschlags allgemein, gültig, und hängt von der als ein Beispiel verwendeten Zahl nicht ab, um eine gegebene Konfiguration zu illustrieren.

Apokryphen

Es war in der alten Zeit ziemlich üblich, berühmten Autor-Arbeiten zuzuschreiben, die von ihnen nicht geschrieben wurden. Es ist durch diese Mittel, dass die apokryphischen Bücher XIV und XV der Elemente manchmal in die Sammlung eingeschlossen wurden. Das unechte Buch XIV wurde wahrscheinlich von Hypsicles auf der Grundlage von einer Abhandlung von Apollonius geschrieben. Das Buch setzt den Vergleich von Euklid von regelmäßigen Festkörpern fort, die in Bereichen mit dem Hauptergebnis eingeschrieben sind, das ist, dass das Verhältnis der Oberflächen des Dodekaeders und in demselben Bereich eingeschriebenen Ikosaeders dasselbe wie das Verhältnis ihrer Volumina, das Verhältnis ist, das ist

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Das unechte Buch XV wurde wahrscheinlich mindestens teilweise von Isidore von Miletus geschrieben. Das Buchumschlag-Themen wie das Zählen der Zahl von Rändern und Raumwinkeln in den regelmäßigen Festkörpern und Entdeckung des Maßes von zweiflächigen Winkeln von Gesichtern, die sich an einem Rand treffen.

Ausgaben

• Die 1460er Jahre, Regiomontanus (unvollständiger)
• 1482, Erhard Ratdolt (Venedig), hat zuerst Ausgabe gedruckt
• 1533, editio princeps durch Simon Grynäus
• 1557, durch Jean Magnien und Pierre de Montdoré, der von Stephanus Gracilis nachgeprüft ist (nur Vorschläge, keine vollen Beweise, schließt ursprüngliches Griechisch und die lateinische Übersetzung ein)
• 1572, Commandinus lateinische Ausgabe
• 1574, Christoph Clavius

Übersetzungen

• 1505, Bartolomeo Zamberti (Latein)
• 1543, Niccolò Tartaglia (Italienisch)
• 1557, Jean Magnien und Pierre de Montdoré, der von Stephanus Gracilis (Griechisch zu Latein) nachgeprüft ist
• 1558, Johann Scheubel (Deutsch)
• 1562, Jacob Kündig (Deutsch)
• 1562, Wilhelm Holtzmann (Deutsch)
• 1564-1566, Pierre Forcadel de Béziers (Französisch)
• 1570, Henry Billingsley (Englisch)
• 1575, Commandinus (Italienisch)
• 1576, Rodrigo de Zamorano (Spanisch)
• 1594, Typografia Medicea (Ausgabe der arabischen Übersetzung des Al-Lärms von Nasir al-Tusi)
• 1604, Jean Errard de Bar-Le-Duc (Französisch)
• 1606, Jan Pieterszoon Dou (Niederländisch)
• 1607, Matteo Ricci, Xu Guangqi (Chinesisch)
• 1613, Pietro Cataldi (Italienisch)
• 1615, Denis Henrion (Französisch)
• 1617, Frans van Schooten (Niederländisch)
• 1637, L. Carduchi (Spanisch)
• 1639, Pierre Hérigone (Französisch)
• 1651, Heinrich Hoffmann (Deutsch)
• 1651, Thomas Rudd (Englisch)
• 1660, Isaac Barrow (Englisch)
• 1661, John Leeke und Geo. Serle (Englisch)
• 1663, Domenico Magni (Italienisch von Latein)
• 1672, Claude François Milliet Dechales (Französisch)
• 1680, Vitale Giordano (Italienisch)
• 1685, William Halifax (Englisch)
• 1689, Jacob Knesa (Spanisch)
• 1690, Vincenzo Viviani (Italienisch)
• 1694, Ameise. Ernst Burkh v. Pirckenstein (Deutsch)
• 1695, C. J. Vooght (Niederländisch)
• 1697, Samuel Reyher (Deutsch)
• 1702, Hendrik Coets (Niederländisch)
• 1705, Edmund Scarburgh (Englisch)
• 1708, John Keill (Englisch)
• 1714, Chr. Schessler (Deutsch)
• 1714, W. Whiston (Englisch)
• Die 1720er Jahre Jagannatha Samrat (Sanskrit, das auf der arabischen Übersetzung des Al-Lärms von Nasir al-Tusi gestützt ist)
• 1731, Guido Grandi (Abkürzung zu Italienisch)
• 1738, Ivan Satarov (Russisch von Französisch)
• 1744, Mårten Strömer (schwedischer)
• 1749, Dechales (Italienisch)
• 1745, Ernest Gottlieb Ziegenbalg (Dänisch)
• 1752, Leonardo Ximenes (Italienisch)
• 1756, Robert Simson (Englisch)
• 1763, Pubo Steenstra (Niederländisch)
• 1773, 1781, J. F. Lorenz (Deutsch)
• 1780, Baruch Ben-Yaakov Mshkelab (Neuhebräisch)
• 1781, 1788 James Williamson (Englisch)
• 1781, William Austin (Englisch)
• 1789, Pr. Suvoroff nad Yos. Nikitin (Russisch von Griechisch)
• 1795, John PLayfair (Englisch)
• 1803, H.C. Linderup (Dänisch)
• 1804, F. Peyrard (Französisch)
• 1807, Józef Tscheche (Polnisch, das auf griechischen, lateinischen und englischen Ausgaben gestützt ist)
• 1807, J. K. F. Hauff (Deutsch)
• 1817, Jo. Czencha (Polnisch)
• 1818, Vincenzo Flauti (Italienisch)
• 1820, Benjamin von Lesbos (Modernes Griechisch)
• 1826, George Phillips (Englisch)
• 1828, Joh. Josh und Ign. Hoffmann (Deutsch)
• 1828, Dionysius Lardner (Englisch)
• 1833, E. S. Unger (Deutsch)
• 1833, Thomas Perronet Thompson (Englisch)
• 1836, H. Falk (schwedischer)
• 1844, 1845, 1859 P. R. Bråkenhjelm (schwedischer)
• 1850, F. A. A. Lundgren (schwedischer)
• 1850, H. A. Witt und M. E. Areskong (schwedischer)
• 1862, Isaac Todhunter (Englisch)
• 1880, Vachtchenko-Zakhartchenk (Russisch)
• 1901, Max Simon (Deutsch)
• 1908, Thomas Little Heath (Englisch)
• 1939, R. Catesby Taliaferro (Englisch)

Zurzeit im Druck

• Die Elemente von Euklid - Alle dreizehn Bücher in einem Volumen, das auf der Übersetzung des Moors, Grüne internationale Löwe-Pressestandardbuchnummer 1-888009-18-7 basiert ist.
• Die Elemente: Bücher I-XIII-Complete und Ungekürzt, (2006) Übersetzt durch Sir Thomas Heath, Barnes & Noble ISBN 0-7607-6312-7.
• Die Dreizehn Bücher der Elemente von Euklid, Übersetzung und Kommentare durch das Moor, Thomas L. (1956) in drei Volumina. Veröffentlichungen von Dover. Internationale Standardbuchnummer 0-486-60088-2 (vol. 1), internationale Standardbuchnummer 0-486-60089-0 (vol. 2), internationale Standardbuchnummer 0-486-60090-4 (vol. 3)

Zeichen

• Die herrische Übersetzung des Moors plus die umfassende historische Forschung und ausführlich berichteter Kommentar überall im Text.

Außenverbindungen

• IM HTML mit javanischen interaktiven Zahlen.
• Richard Fitzpatrick eine zweisprachige Ausgabe (typset im PDF-Format, mit dem ursprünglichen Griechen und einer englischen Übersetzung bei der Einfassungen Seiten; frei in der PDF-Form, die im Druck verfügbar ist) internationale Standardbuchnummer 978-0-615-17984-1
• Die englische Übersetzung des Moors (HTML, ohne die Zahlen, das öffentliche Gebiet) (hat am 4. Februar 2010 zugegriffen)
• Die englische Übersetzung und Kommentar des Moors, mit den Zahlen (Google Bücher): vol. 1, vol. 2, vol. 3, vol. 3 c. 2

• (Schriftsatz im PDF-Format, öffentlichem Gebiet. verfügbar im Druck - kostenloser Download)
• Die 1847-Ausgabe von Oliver Byrne - eine ungewöhnliche Version durch Oliver Byrne (Mathematiker), der Farbe aber nicht Etiketten wie Abc (gescannte Seitenimages, öffentliches Gebiet) verwendet

hat

• Die Ersten Sechs Bücher der Elemente durch John Casey und durch Projektgutenberg gescannten Euklid.
• Lesender Euklid - ein Kurs darin, wie man Euklid im ursprünglichen Griechen, mit englischen Übersetzungen und Kommentaren (HTML mit Zahlen) liest
• Herr Thomas More ist Manuskript
• Lateinische Übersetzung durch Aethelhard des Bades
• Elemente von Euklid - Das ursprüngliche griechische griechische Text-HTML
• Tonmathematik-Institut Historisches Archiv - Die dreizehn Bücher der Elemente von Euklid, die von Stephen der Büroangestellte für Arethas von Patras, in Constantinople in 888 n.Chr. kopiert sind
• Kitāb Tarīr uūl li-Ūqlīdis arabische Übersetzung der dreizehn Bücher der Elemente von Euklid durch Nasīr al-Dīn al -  ūsī. Veröffentlicht von Medici östliche Presse (auch, Typographia Medicea). Faksimile durch das islamische Erbe-Projekt veranstaltet.