In der Euklidischen Geometrie ist ein Platonischer Festkörper ein regelmäßiges, konvexes Polyeder. Die Gesichter sind kongruente, regelmäßige Vielecke mit derselben Zahl von Gesichtern, die sich an jedem Scheitelpunkt treffen. Es gibt fünf Platonische Festkörper; ihre Namen werden aus ihren Zahlen von Gesichtern abgeleitet.

Die ästhetische Schönheit und Symmetrie der Platonischen Festkörper haben sie ein Lieblingsthema von geometers seit Tausenden von Jahren gemacht. Sie werden für den alten griechischen Philosophen Plato genannt, der theoretisiert hat, dass die klassischen Elemente von den regelmäßigen Festkörpern gebaut wurden.

Geschichte

Die Platonischen Festkörper sind seit der Altertümlichkeit bekannt gewesen. Modelle von Ornamented von ihnen können unter den geschnitzten Steinbällen gefunden werden, die von den verstorbenen neolithischen Leuten Schottlands mindestens 1000 Jahre vor Plato geschaffen sind. Würfel gehen zur Morgendämmerung der Zivilisation mit Gestalten zurück, die das formelle Entwerfen von Platonischen Festkörpern prophezeit haben.

Die alten Griechen haben die Platonischen Festkörper umfassend studiert. Einige Quellen (wie Proclus) schreiben Pythagoras ihre Entdeckung zu. Andere Beweise weisen darauf hin, dass er nur mit dem Tetraeder, Würfel und Dodekaeder vertraut gewesen sein kann, und dass die Entdeckung des Oktaeders und Ikosaeders Theaetetus, einem Zeitgenossen von Plato gehört. Jedenfalls hat Theaetetus eine mathematische Beschreibung aller fünf gegeben und kann für den ersten bekannten Beweis verantwortlich gewesen sein, dass es keine anderen konvexen regelmäßigen Polyeder gibt.

Die Platonischen Festkörper zeigen prominent in der Philosophie von Plato, für den sie genannt werden. Plato hat über sie im Dialog Timaeus c.360 B.C. geschrieben, in dem er jedes der vier klassischen Elemente (Erde, Luft, Wasser und Feuer) mit einem regelmäßigen Festkörper vereinigt hat. Erde wurde mit dem Würfel, der Luft mit dem Oktaeder, dem Wasser mit dem Ikosaeder und dem Feuer mit dem Tetraeder vereinigt. Es gab intuitive Rechtfertigung für diese Vereinigungen: Die Hitze des Feuers fühlt sich scharf und stechend (wie wenig tetrahedra). Luft wird aus dem Oktaeder gemacht; seine Minuskelbestandteile sind so glatt, dass man es kaum fühlen kann. Wasser, das Ikosaeder, fließt aus jemandes Hand, wenn aufgenommen, als ob es aus winzigen kleinen Bällen gemacht wird. Im Vergleich, ein hoch unkugelförmiger Festkörper, vertritt der hexahedron (Würfel) Erde. Diese plumpen kleinen Festkörper veranlassen Schmutz, zu zerbröckeln und wenn aufgenommen, im steifen Unterschied zum glatten Fluss von Wasser zu brechen. Außerdem, wie man glaubte, war die Solidität der Erde auf Grund dessen, dass der Würfel der einzige regelmäßige Festkörper das tesselates Euklidischer Raum ist. Der fünfte Platonische Festkörper, das Dodekaeder, äußert sich Plato dunkel, "... der Gott ist gewöhnt gewesen, für die Konstellationen auf dem ganzen Himmel einzuordnen". Aristoteles hat ein fünftes Element, aithêr (Narkoseäther in Latein, "Äther" in Englisch) hinzugefügt und hat verlangt, dass der Himmel aus diesem Element gemacht wurde, aber er hatte kein Interesse am Zusammenbringen davon mit dem fünften Festkörper von Plato.

Euklid hat eine ganze mathematische Beschreibung der Platonischen Festkörper in den Elementen, das letzte Buch gegeben, dessen (Buch XIII) ihren Eigenschaften gewidmet wird. Vorschläge 13-17 im Buch XIII beschreiben den Aufbau des Tetraeders, Oktaeders, Würfels, Ikosaeders und Dodekaeders in dieser Ordnung. Weil jeder feste Euklid das Verhältnis des Diameters des umschriebenen Bereichs zur Rand-Länge findet. Im Vorschlag 18 behauptet er, dass es keine weiteren konvexen regelmäßigen Polyeder gibt.

Andreas Speiser hat die Ansicht verteidigt, dass der Aufbau der 5 regelmäßigen Festkörper die Hauptabsicht des deduktiven in den Elementen heilig gesprochenen Systems ist. Viel von der Information im Buch XIII wird wahrscheinlich aus der Arbeit von Theaetetus abgeleitet.

Im 16. Jahrhundert hat der deutsche Astronom Johannes Kepler versucht, eine Beziehung zwischen den fünf außerirdischen Planeten bekannt damals und den fünf Platonischen Festkörpern zu finden. In Mysterium Cosmographicum, veröffentlicht 1596, hat Kepler ein Modell des Sonnensystems angelegt, in dem die fünf Festkörper in einander gesetzt und durch eine Reihe von eingeschriebenen und umschriebenen Bereichen getrennt wurden. Kepler hat vorgeschlagen, dass die Entfernungsbeziehungen zwischen den sechs Planeten bekannt damals in Bezug auf die fünf Platonischen Festkörper verstanden werden konnten, die innerhalb eines Bereichs eingeschlossen sind, der die Bahn des Saturns vertreten hat. Die sechs Bereiche hat jeder einem der Planeten (Quecksilber, Venus, Erde, Mars, Jupiter und Saturn) entsprochen. Die Festkörper wurden mit dem innersten Wesen das Oktaeder bestellt, das vom Ikosaeder, Dodekaeder, Tetraeder, und schließlich dem Würfel gefolgt ist. Auf diese Weise wurde die Struktur des Sonnensystems und der Entfernungsbeziehungen zwischen den Planeten durch die Platonischen Festkörper diktiert. Schließlich musste die ursprüngliche Idee von Kepler aufgegeben werden, aber aus seiner Forschung ist seine drei Gesetze der Augenhöhlentriebkräfte gekommen, von denen die erste war, dass die Bahnen von Planeten Ellipsen aber nicht Kreise sind, den Kurs der Physik und Astronomie ändernd. Er hat auch die Festkörper von Kepler entdeckt.

Im 20. Jahrhundert wurden Versuche, Platonische Festkörper mit der physischen Welt zu verbinden, zum Elektronschalenmodell in der Chemie von Robert Moon in einer als das "Modell von Moon bekannten Theorie" ausgebreitet.

Kombinatorische Eigenschaften

Ein konvexes Polyeder ist ein Platonischer Festkörper wenn und nur wenn

1. alle seine Gesichter sind kongruente konvexe regelmäßige Vielecke,
2. keines seiner Gesichter schneidet sich außer an ihren Rändern und
3. dieselbe Zahl von Gesichtern trifft sich an jedem seiner Scheitelpunkte.

Jeder Platonische Festkörper kann deshalb durch ein Symbol {p, q} wo angezeigt werden

:p = die Zahl von Rändern jedes Gesichtes (oder die Zahl von Scheitelpunkten jedes Gesichtes) und

:q = die Zahl von Gesichtern, die sich an jedem Scheitelpunkt (oder die Zahl von Rändern treffen, die sich an jedem Scheitelpunkt treffen).

Das Symbol {p, q}, genannt das Symbol von Schläfli, gibt eine kombinatorische Beschreibung des Polyeders. Die Schläfli Symbole der fünf Platonischen Festkörper werden im Tisch unten gegeben.

Ganze andere kombinatorische Information über diese Festkörper, wie Gesamtzahl von Scheitelpunkten (V), Ränder (E), und Gesichter (F), kann von p und q bestimmt werden. Da sich jeder Rand zwei Scheitelpunkten anschließt und zwei angrenzende Gesichter hat, die wir haben müssen:

:

Die andere Beziehung zwischen diesen Werten wird durch die Formel von Euler gegeben:

:

Diese nichttriviale Tatsache kann in einer großen Vielfalt von Wegen bewiesen werden (in der algebraischen Topologie es folgt aus der Tatsache, dass die Eigenschaft von Euler des Bereichs 2 ist). Zusammen bestimmen diese drei Beziehungen völlig V, E, und F:

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Bemerken Sie, dass das Tauschen p und q F und V auswechselt, während Sie E unverändert (für eine geometrische Interpretation dieser Tatsache abreisen, sieh die Abteilung auf Doppelpolyedern unten).

Klassifikation

Es ist ein klassisches Ergebnis, dass es nur fünf konvexe regelmäßige Polyeder gibt. Zwei allgemeine Argumente werden unten gegeben. Beide dieser Argumente zeigen nur, dass es nicht mehr als fünf Platonische Festkörper geben kann. Das alle fünf bestehen wirklich, ist getrenntes Frage-dasjenige, auf das durch einen ausführlichen Aufbau geantwortet werden kann.

Geometrischer Beweis

Das folgende geometrische Argument ist ein gegebener durch Euklid in den Elementen sehr ähnlich:

1. Jeder Scheitelpunkt des Festkörpers muss mit einem Scheitelpunkt jedes von mindestens drei Gesichtern zusammenfallen.
2. An jedem Scheitelpunkt des Festkörpers muss die Summe, unter den angrenzenden Gesichtern, der Winkel zwischen ihren jeweiligen angrenzenden Seiten weniger als 360 ° sein.
3. Die Winkel an allen Scheitelpunkten aller Gesichter eines Platonischen Festkörpers sind identisch, so muss jeder Scheitelpunkt jedes Gesichtes weniger als 360 °/3 = 120 ° beitragen.
4. Regelmäßige Vielecke von sechs oder mehr Seiten haben nur Winkel von 120 ° oder mehr, so muss das allgemeine Gesicht das Dreieck, Quadrat oder Pentagon sein. Und für:
5. *Triangular-Gesichter: Jeder Scheitelpunkt eines regelmäßigen Dreiecks ist 60 °, so kann eine Gestalt 3, 4, oder 5 Dreiecke haben, die sich an einem Scheitelpunkt treffen; das sind das Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder beziehungsweise.
6. *Square-Gesichter: Jeder Scheitelpunkt eines Quadrats ist 90 °, also gibt es nur eine Einordnung, die mit drei Gesichtern an einem Scheitelpunkt, dem Würfel möglich ist.
7. * Fünfeckige Gesichter: Jeder Scheitelpunkt ist 108 °; wieder ist nur eine Einordnung, drei Gesichter an einem Scheitelpunkt, das Dodekaeder möglich.

Topologischer Beweis

Ein rein topologischer Beweis kann mit nur die kombinatorische Information über die Festkörper gemacht werden. Der Schlüssel ist die Beobachtung von Euler, dass, und die Tatsache das, wo p für die Zahl von Rändern jedes Gesichtes und q für die Zahl von Rändern eintritt, die sich an jedem Scheitelpunkt treffen. Wenn man diese Gleichungen verbindet, erhält man die Gleichung

:

Einfache algebraische Manipulation gibt dann

:

Seitdem ist ausschließlich positiv, dass wir haben müssen

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Mit der Tatsache, dass p und q beide mindestens 3 sein müssen, kann man leicht sehen, dass es nur fünf Möglichkeiten für (p, q) gibt:

:

Geometrische Eigenschaften

Winkel

Es gibt mehrere mit jedem Platonischen Festkörper vereinigte Winkel. Der zweiflächige Winkel ist der Innenwinkel zwischen irgendwelchen zwei Gesichtsflugzeugen. Der zweiflächige Winkel, θ, des Festkörpers {p, q} wird durch die Formel gegeben

:

Das wird manchmal in Bezug auf die Tangente durch günstiger ausgedrückt

:

Die Menge h ist 4, 6, 6, 10, und 10 für das Tetraeder, den Würfel, das Oktaeder, das Dodekaeder und das Ikosaeder beziehungsweise.

Der winkelige Mangel am Scheitelpunkt eines Polyeders ist der Unterschied zwischen der Summe der Gesichtswinkel an diesem Scheitelpunkt und 2π. Der Defekt, δ, an jedem Scheitelpunkt der Platonischen Festkörper {p, q} ist

:

Durch einen Lehrsatz von Descartes ist das 4π geteilt durch die Zahl von Scheitelpunkten gleich (d. h. der Gesamtdefekt an allen Scheitelpunkten ist 4π).

Das 3-dimensionale Analogon eines Flugzeug-Winkels ist ein Raumwinkel. Der Raumwinkel, Ω, am Scheitelpunkt eines Platonischen Festkörpers wird in Bezug auf den zweiflächigen Winkel durch gegeben

:

Das folgt aus der kugelförmigen Überformel für ein kugelförmiges Vieleck und die Tatsache, dass die Scheitelpunkt-Zahl des Polyeders {p, q} ein regelmäßiger q-gon ist.

Der Raumwinkel eines vom Zentrum eines platonischen Festkörpers entgegengesetzten Gesichtes ist dem Raumwinkel eines vollen Bereichs (4π Steradianten) geteilt durch die Zahl von Gesichtern gleich. Bemerken Sie, dass das dem winkeligen Mangel an seinem Doppel-gleich ist.

Die verschiedenen mit den Platonischen Festkörpern vereinigten Winkel werden unten tabellarisiert. Die numerischen Werte der Raumwinkel werden in Steradianten gegeben. Der unveränderliche φ = (1 +  5)/2 ist das goldene Verhältnis.

Radien, Gebiet und Volumen

Ein anderer Vorteil der Regelmäßigkeit besteht darin, dass die Platonischen Festkörper alle drei konzentrische Bereiche besitzen:

• der umschriebene Bereich, der alle Scheitelpunkte, durchführt
• der midsphere, der Tangente zu jedem Rand am Mittelpunkt des Randes und ist
• der eingeschriebene Bereich, der Tangente zu jedem Gesicht am Zentrum des Gesichtes ist.

Die Radien dieser Bereiche werden den circumradius, den midradius und den inradius genannt. Das sind die Entfernungen vom Zentrum des Polyeders zu den Scheitelpunkten, Rand-Mittelpunkten und Gesichtszentren beziehungsweise. Der circumradius R und der inradius r des Festkörpers {p, q} mit der Rand-Länge gegeben durch zu sein

::

wo θ der zweiflächige Winkel ist. Der midradius ρ wird durch gegeben

:

wo h die Menge ist, die oben in der Definition des zweiflächigen Winkels (h = 4, 6, 6, 10, oder 10) verwendet ist. Bemerken Sie, dass das Verhältnis des circumradius zum inradius in p und q symmetrisch ist:

:

Die Fläche, A, eines Platonischen Festkörpers {p, q} wird als Gebiet eines Stammkunden p-gon Zeiten die Zahl von Gesichtern F leicht geschätzt. Das ist:

:

Das Volumen wird als F Zeiten das Volumen der Pyramide geschätzt, deren Basis ein regelmäßiger p-gon ist, und dessen Höhe der inradius r ist. Das, ist

:

Der folgende Tisch verzeichnet die verschiedenen Radien der Platonischen Festkörper zusammen mit ihrer Fläche und Volumen. Die gesamte Größe wird durch die Einnahme der Rand-Länge, a befestigt, um 2 gleich zu sein.

Die Konstanten φ und ξ im obengenannten werden durch gegeben

:

Unter den Platonischen Festkörpern können entweder das Dodekaeder oder das Ikosaeder als die beste Annäherung an den Bereich gesehen werden. Das Ikosaeder hat die größte Zahl von Gesichtern und den größten zweiflächigen Winkel, es umarmt seinen eingeschriebenen Bereich das dichteste, und seine Fläche zum Volumen-Verhältnis ist an diesem eines Bereichs derselben Größe am nächsten (d. h. entweder dieselbe Fläche oder dasselbe Volumen.) Hat das Dodekaeder andererseits den kleinsten winkeligen Defekt, den größten Scheitelpunkt-Raumwinkel, und es füllt seinen umschriebenen Bereich am meisten aus.

Symmetrie

Doppelpolyeder

Jedes Polyeder hat einen Doppel-(oder "polar") Polyeder mit Gesichtern und ausgewechselten Scheitelpunkten. Der Doppel-von jedem Platonischen Festkörper ist ein anderer Platonischer Festkörper, so dass wir die fünf Festkörper in Doppelpaare einordnen können.

• Das Tetraeder ist Selbstdoppel-(d. h. sein Doppel-ist ein anderes Tetraeder).
• Der Würfel und das Oktaeder bilden ein Doppelpaar.
• Das Dodekaeder und das Ikosaeder bilden ein Doppelpaar.

Wenn ein Polyeder Symbol von Schläfli {p, q} hat, dann hat sein Doppel-das Symbol {q, p}. Tatsächlich kann jedes kombinatorische Eigentum eines Platonischen Festkörpers als ein anderes kombinatorisches Eigentum des Doppel-interpretiert werden.

Man kann das Doppelpolyeder bauen, indem man die Scheitelpunkte des Doppel-nimmt, um die Zentren der Gesichter der ursprünglichen Zahl zu sein. Die Ränder des Doppel-werden durch das Anschließen der Zentren von angrenzenden Gesichtern im Original gebildet. Auf diese Weise wird die Zahl von Gesichtern und Scheitelpunkten ausgewechselt, während die Zahl von Rändern dasselbe bleibt.

Mehr allgemein kann man dualize ein Platonischer Festkörper in Bezug auf einen Bereich des Radius d konzentrisch mit dem Festkörper. Die Radien (R, ρ, r) eines Festkörpers und sind diejenigen seines Doppel-(R *, ρ *, r *) durch verbunden

:

Es ist häufig zu dualize in Bezug auf den midsphere günstig (d = ρ), da es dieselbe Beziehung zu beiden Polyedern hat. Wenn er d = nimmt, gibt Rr einen Doppelfestkörper mit demselben circumradius und inradius (d. h. R* = R und r* = r).

Symmetrie-Gruppen

In der Mathematik wird das Konzept der Symmetrie mit dem Begriff einer mathematischen Gruppe studiert. Jedes Polyeder hat eine verbundene Symmetrie-Gruppe, die der Satz aller Transformationen ist (Euklidische Isometrien), die das Polyeder invariant verlassen. Die Ordnung der Symmetrie-Gruppe ist die Zahl von symmetries des Polyeders. Man unterscheidet häufig zwischen der vollen Symmetrie-Gruppe, die Nachdenken und die richtige Symmetrie-Gruppe einschließt, die nur Folgen einschließt.

Die Symmetrie-Gruppen der Platonischen Festkörper sind als polyedrische Gruppen bekannt (die eine spezielle Klasse der Punkt-Gruppen in drei Dimensionen sind). Der hohe Grad der Symmetrie der Platonischen Festkörper kann auf mehrere Weisen interpretiert werden. Am wichtigsten sind die Scheitelpunkte jedes Festkörpers die ganze Entsprechung unter der Handlung der Symmetrie-Gruppe, wie die Ränder und Gesichter sind. Man sagt, dass die Handlung der Symmetrie-Gruppe auf den Scheitelpunkten, Rändern und Gesichtern transitiv ist. Tatsächlich ist das eine andere Weise, Regelmäßigkeit eines Polyeders zu definieren: Ein Polyeder ist regelmäßig, wenn, und nur wenn es mit dem Scheitelpunkt gleichförmig, mit dem Rand gleichförmig, und gesichtsgleichförmig ist.

Es gibt nur drei Symmetrie-Gruppen, die mit den Platonischen Festkörpern aber nicht fünf vereinigt sind, da die Symmetrie-Gruppe jedes Polyeders mit diesem seiner Doppel-zusammenfällt. Das wird durch das Überprüfen des Aufbaus des Doppelpolyeders leicht gesehen. Jede Symmetrie des Originals muss eine Symmetrie des Doppel- und umgekehrt sein. Die drei polyedrischen Gruppen sind:

• die vierflächige Gruppe T,
• die octahedral Gruppe O (der auch die Symmetrie-Gruppe des Würfels ist), und
• die icosahedral Gruppe I (der auch die Symmetrie-Gruppe des Dodekaeders ist).

Die Ordnungen des richtigen (Folge) Gruppen sind 12, 24, und 60 beziehungsweise - genau zweimal die Zahl von Rändern in den jeweiligen Polyedern. Die Ordnungen der vollen Symmetrie-Gruppen sind doppelt so viel wieder (24, 48, und 120). Sieh (Coxeter 1973) für eine Abstammung dieser Tatsachen. Alle Platonischen Festkörper außer dem Tetraeder sind zentral symmetrisch, bedeutend, dass sie unter dem Nachdenken durch den Ursprung bewahrt werden.

Der folgende Tisch verzeichnet die verschiedenen Symmetrie-Eigenschaften der Platonischen Festkörper. Die Symmetrie-Gruppen haben Schlagseite gehabt sind die vollen Gruppen mit den Folge-Untergruppen, die in der Parenthese (ebenfalls für die Zahl von symmetries) gegeben sind. Der Kaleidoskop-Aufbau von Wythoff ist eine Methode, um Polyeder direkt von ihren Symmetrie-Gruppen zu bauen. Wir haben für das Bezugssymbol von Wythoff für jeden der Platonischen Festkörper Schlagseite.

In der Natur und Technologie

Das Tetraeder, der Würfel und das Oktaeder kommen alle natürlich in Kristallstrukturen vor. Diese erschöpfen keineswegs die Zahlen von möglichen Formen von Kristallen. Jedoch sind weder das regelmäßige Ikosaeder noch das regelmäßige Dodekaeder unter ihnen. Eine der Formen, genannt den pyritohedron (genannt für die Gruppe von Mineralen, für die es typisch ist) hat zwölf fünfeckige Gesichter, die in demselben Muster wie die Gesichter des regelmäßigen Dodekaeders eingeordnet sind. Die Gesichter des pyritohedron sind jedoch, nicht regelmäßig, so ist der pyritohedron auch nicht regelmäßig.

Am Anfang des 20. Jahrhunderts hat Ernst Haeckel (Haeckel, 1904) mehrere Arten von Radiolaria beschrieben, einige von werden dessen Skeletten wie verschiedene regelmäßige Polyeder gestaltet. Beispiele schließen Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus und Circorrhegma dodecahedra ein. Die Gestalten dieser Wesen sollten von ihren Namen offensichtlich sein.

Viele Viren, wie das Herpes-Virus, haben die Gestalt eines regelmäßigen Ikosaeders. Virenstrukturen werden wiederholter identischer Protein-Subeinheiten gebaut, und das Ikosaeder ist die leichteste Gestalt, um das Verwenden dieser Subeinheiten zu sammeln. Ein regelmäßiges Polyeder wird verwendet, weil es von einem einzelnen grundlegenden Einheitsprotein verwendet immer wieder gebaut werden kann; das spart Raum im Virengenom.

In der Meteorologie und Klimatologie sind globale numerische Modelle des atmosphärischen Flusses vom zunehmenden Interesse, die Bratrost verwenden, der auf einem Ikosaeder (raffiniert durch die Triangulation) statt des allgemeiner verwendeten Bratrostes der Länge/Breite basiert. Das ist im Vorteil der gleichmäßig verteilten Raumentschlossenheit ohne Eigenartigkeiten (d. h. die Pole) auf Kosten der etwas größeren numerischen Schwierigkeit.

Die Geometrie von Raumrahmen basiert häufig auf platonischen Festkörpern. Im MERO System werden Platonische Festkörper verwendet, um Tagung von verschiedenen Raumrahmenkonfigurationen zu nennen. Zum Beispiel bezieht sich ½O+T auf eine Konfiguration, die aus einer Hälfte des Oktaeders und eines Tetraeders gemacht ist.

Mehrere Platonische Kohlenwasserstoffe, sind einschließlich cubane und dodecahedrane aufgebaut worden.

Platonische Festkörper werden häufig verwendet, um Würfel zu machen, weil Würfel dieser Gestalten schön gemacht werden können. 6-seitige Würfel sind sehr üblich, aber die anderen Zahlen werden in Rolle spielenden Spielen allgemein verwendet. Solche Würfel werden allgemein dn genannt, wo n die Zahl von Gesichtern (d8, d20, usw.) ist; sieh Würfel-Notation für mehr Details.

Diese Gestalten tauchen oft in anderen Spielen oder Rätseln auf. Ist ähnlich einem Würfel von Rubik verwirrt, der in allen fünf Gestalten gekommen ist - sieh magische Polyeder.

Flüssige Kristalle mit symmetries von Platonischen Festkörpern

Für die materielle Zwischenphase genannt Flüssige Kristalle

die Existenz solchen symmetries wurde zuerst 1981 vorgeschlagen

durch

H. Kleinert und K. Maki und ihre Struktur wurden darin analysiert. Sieh den Übersichtsartikel hier.

In Aluminium wurde die icosahedral Struktur drei Jahre nach diesem entdeckt

Dan Shechtman, der ihn der Nobelpreis 2011 verdient hat.

Zusammenhängende Polyeder und polytopes

Gleichförmige Polyeder

Dort bestehen Sie vier regelmäßige Polyeder, die nicht konvexe, genannte Kepler-Poinsot Polyeder sind. Diese alle haben icosahedral Symmetrie und können als stellations des Dodekaeders und des Ikosaeders erhalten werden.

Die folgenden regelmäßigsten konvexen Polyeder nach den Platonischen Festkörpern sind der cuboctahedron, der eine Korrektur des Würfels und des Oktaeders und des icosidodecahedron ist, der eine Korrektur des Dodekaeders und des Ikosaeders ist (ist die Korrektur des Selbstdoppeltetraeders ein regelmäßiges Oktaeder). Diese sind sowohl quasiregelmäßig, bedeutend, dass sie Scheitelpunkt - als auch Rand-Uniform sind und regelmäßige Gesichter haben, aber die Gesichter sind nicht alle kongruent (in zwei verschiedenen Klassen kommend). Sie bilden zwei der dreizehn Festkörper von Archimedean, die die konvexen gleichförmigen Polyeder mit der polyedrischen Symmetrie sind.

Die gleichförmigen Polyeder bilden eine viel breitere Klasse von Polyedern. Diese Zahlen sind mit dem Scheitelpunkt gleichförmig und haben einen oder mehr Typen von regelmäßigen oder Sternvielecken für Gesichter. Diese schließen alle Polyeder ein, die oben zusammen mit einem unendlichen Satz von Prismen, einem unendlichen Satz von Antiprismen und 53 anderen nichtkonvexen Formen erwähnt sind.

Die Festkörper von Johnson sind konvexe Polyeder, die regelmäßige Gesichter haben, aber nicht gleichförmig sind.

Tessellations

Die drei regelmäßigen tessellations des Flugzeugs sind nah mit den Platonischen Festkörpern verbunden. Tatsächlich kann man die Platonischen Festkörper als die fünf regelmäßigen tessellations des Bereichs ansehen. Das wird durch die Projektierung jedes Festkörpers auf einen konzentrischen Bereich getan. Die Gesichter springen auf regelmäßige kugelförmige Vielecke vor, die genau den Bereich bedecken. Man kann zeigen, dass jeder regelmäßige tessellation des Bereichs von einem Paar von ganzen Zahlen {p, q} mit 1/p + 1/q &gt charakterisiert wird; 1/2. Ebenfalls wird ein regelmäßiger tessellation des Flugzeugs durch die Bedingung 1/p + 1/q = 1/2 charakterisiert. Es gibt drei Möglichkeiten:

• {4, 4}, der ist, Quadrat-mit Ziegeln zu decken
• {3, 6}, der ist, und dreieckig mit Ziegeln zu decken
• {6, 3}, der ist (Doppel-dazu sechseckig mit Ziegeln zu decken, dreieckig mit Ziegeln zu decken).

Auf eine ähnliche Weise kann man regelmäßigen tessellations des Hyperbelflugzeugs denken. Diese werden durch die Bedingung 1/p + 1/q &lt charakterisiert; 1/2. Es gibt eine unendliche Familie solchen tessellations.

Höhere Dimensionen

In mehr als drei Dimensionen verallgemeinern Polyeder zu polytopes mit hoch-dimensionalem konvexem regelmäßigem polytopes die Entsprechungen von den dreidimensionalen Platonischen Festkörpern zu sein.

Mitte des 19. Jahrhunderts hat der schweizerische Mathematiker Ludwig Schläfli die vierdimensionalen Entsprechungen der Platonischen Festkörper, genannt konvexen 4-polytopes Stammkunden entdeckt. Es gibt genau sechs dieser Zahlen; fünf sind den Platonischen Festkörpern analog, während der sechste, der 24-Zellen-, eine Entsprechung der niedrigeren Dimension hat (Stutzung eines Simplex-Faceted-Polyeders, das simplices für Kämme hat und Selbstdoppel-ist): das Sechseck.

In allen Dimensionen höher als vier gibt es nur drei konvexe regelmäßige polytopes: das Simplex, der Hyperwürfel und das Quer-Polytope. In drei Dimensionen fallen diese mit dem Tetraeder, dem Würfel und dem Oktaeder zusammen.

Siehe auch

• Archimedean fester
• Katalanischer fester
• Festkörper von Kepler
• Liste von regelmäßigem polytopes
• Planen Sie, dass Euler platonische Festkörper verwendet, um Zählen-Niveaus anzuzeigen.
• Regelmäßiger polytopes
• Der Würfel von Metatron

Referenzen

• Haeckel, E. (1904). Kunstformen der Natur. Verfügbar als Haeckel, E. (1998); Kunstformen in der Natur, Prestel die USA. Internationale Standardbuchnummer 3-7913-1990-6, oder online an

http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html.

• "Strena seu de nive sexangula" (Auf der Sechseckigen Schneeflocke), 1611 Vortrag von Kepler, der den Grund für die sechswinklige Gestalt der Schnee-Kristalle und der Formen und symmetries in der Natur besprochen hat. Gespräche über platonische Festkörper.

Links

• Buch XIII der Elemente von Euklid.
• Interaktive 3D-Polyeder in Java
• Interaktiv Sich Platonische Festkörper in Java Falten/entfalten
• Papiermodelle der Platonischen Festkörper haben das Verwenden von Netzen geschaffen, die durch die Software von Stella erzeugt sind
• Platonische Festkörper Freie Papiermodelle (Netze)
• Platonische Festkörper für die Meditation platonische Festkörper, die für die Meditation verwendet sind und heilend
• Lehrende Mathematik mit der Kunst studentengeschaffene Modelle
• Lehrende Mathematik mit Kunstlehrer-Instruktionen, um Modelle zu machen
• Rahmen von Platonischen Festkörper-Images von algebraischen Oberflächen
• Platonische Festkörper mit einigen Formel-Abstammungen