In der abstrakten Algebra ist Ringtheorie die Studie von Ringen — algebraische Strukturen, in denen Hinzufügung und Multiplikation definiert werden und ähnliche Eigenschaften zu denjenigen haben, die von den ganzen Zahlen vertraut sind. Ringtheorie studiert die Struktur von Ringen, ihren Darstellungen, oder, auf der verschiedenen Sprache, den Modulen, den speziellen Klassen von Ringen (Gruppenringe, Abteilungsringe, universale Einschlagen-Algebra), sowie eine Reihe von Eigenschaften, die sich erwiesen haben, von Interesse sowohl innerhalb der Theorie selbst als auch für seine Anwendungen, wie Homological-Eigenschaften und polynomische Identität zu sein.

Ersatzringe werden viel besser verstanden als nichtauswechselbare. Algebraische Geometrie und Theorie der algebraischen Zahl, die viele natürliche Beispiele von Ersatzringen zur Verfügung stellen, haben viel von der Entwicklung der Ersatzringtheorie gesteuert, die jetzt, unter dem Namen der Ersatzalgebra, einem Hauptgebiet der modernen Mathematik ist. Weil diese drei Felder so vertraut verbunden werden, ist es gewöhnlich schwierig und sinnlos, um zu entscheiden, dem Feld ein besonderes Ergebnis gehört. Zum Beispiel ist der Nullstellensatz von Hilbert ein Lehrsatz, der für die algebraische Geometrie grundsätzlich ist, und festgesetzt und im Begriff der Ersatzalgebra bewiesen wird. Ähnlich wird der letzte Lehrsatz von Fermat im Begriff der elementaren Arithmetik festgesetzt, die ein Teil der Ersatzalgebra ist, aber sein Beweis schließt tiefe Ergebnisse sowohl der Theorie der algebraischen Zahl als auch algebraischen Geometrie ein.

Nichtersatzringe sind im Geschmack ziemlich verschieden, da ungewöhnlicheres Verhalten entstehen kann. Während sich die Theorie in seinem eigenen Recht entwickelt hat, hat sich eine ziemlich neue Tendenz bemüht, der Ersatzentwicklung durch das Gebäude der Theorie von bestimmten Klassen von Nichtersatzringen auf eine geometrische Mode anzupassen, als ob sie Ringe von Funktionen auf (nicht existierenden) 'Nichtersatzräumen' waren. Diese Tendenz hat in den 1980er Jahren mit der Entwicklung der Nichtersatzgeometrie und mit der Entdeckung von Quant-Gruppen angefangen. Es hat zu einem besseren Verstehen von Nichtersatzringen, besonders nichtauswechselbaren Ringen von Noetherian geführt.

Die Definitionen von überall in der Ringtheorie gebrauchten Begriffen können im Wörterverzeichnis der Ringtheorie gefunden werden.

Geschichte

Ersatzringtheorie ist in der Theorie der algebraischen Zahl, entstanden

algebraische Geometrie und invariant Theorie. Zentral zur Entwicklung dieser Themen

waren die Ringe von ganzen Zahlen in Feldern der algebraischen Zahl und algebraischen Funktionsfeldern,

und die Ringe von Polynomen in zwei oder mehr Variablen.

Nichtersatzringtheorie hat mit Versuchen begonnen, die komplexen Zahlen zu erweitern

zu verschiedenen Systemen der hyperkomplexen Zahl. Die Entstehung der Theorien von auswechselbarem

und Nichtersatzringe gehen auf den Anfang des 19. Jahrhunderts, während ihr zurück

Reife wurde nur im dritten Jahrzehnt des 20. Jahrhunderts erreicht.

Genauer hat William Rowan Hamilton hervor den quaternions und biquaternions gestellt; James Cockle hat tessarines und coquaternions präsentiert; und William Kingdon Clifford war ein Anhänger des Spalts-biquaternions, den er algebraische Motoren genannt hat. Diese Nichtersatzalgebra und die nichtassoziativen Lüge-Algebra, wurden innerhalb der universalen Algebra studiert, bevor das Thema in besondere mathematische Struktur-Typen geteilt wurde. Ein Zeichen der Reorganisation war der Gebrauch von direkten Summen, um algebraische Struktur zu beschreiben.

Die verschiedenen hyperkomplexen Zahlen wurden mit Matrixringen von Joseph Wedderburn (1908) und Emil Artin (1928) identifiziert. Die Struktur-Lehrsätze von Wedderburn wurden für endlich-dimensionale Algebra über ein Feld formuliert, während Artin sie zu Ringen von Artinian verallgemeinert hat.

Elementare Einführung

Definition

Formell ist ein Ring eine Gruppe von Abelian (R, +), zusammen mit einer zweiten binären Operation * solch das für den ganzen a, b und c in R,

auch, wenn dort eine multiplicative Identität im Ring, d. h. einem Element e solch das für alle in R, besteht

dann, wie man sagt, ist es ein Ring mit der Einheit. Die Nummer 1 ist ein allgemeines Beispiel einer Einheit.

Der Ring, in dem e der zusätzlichen Identität gleich ist, muss nur ein Element haben. Dieser Ring wird den trivialen Ring genannt.

Ringe, die innerhalb anderer Ringe sitzen, werden Subringe genannt. Karten zwischen Ringen, die die Ringoperationen respektieren, werden Ringhomomorphismus genannt. Ringe, zusammen mit dem Ringhomomorphismus, bilden eine Kategorie (die Kategorie von Ringen). Nah verbunden ist der Begriff von Idealen, die bestimmten Teilmengen von Ringen, die als Kerne des Homomorphismus entstehen und dienen können, um Faktor-Ringe zu definieren. Grundlegende Tatsachen über Ideale, Homomorphismus und Faktor-Ringe werden in den Isomorphismus-Lehrsätzen und im chinesischen Rest-Lehrsatz registriert.

Ein Ring wird auswechselbar genannt, wenn seine Multiplikation auswechselbar ist. Ersatzringe ähneln vertrauten Zahl-Systemen, und verschiedene Definitionen für Ersatzringe werden entworfen, um von den ganzen Zahlen bekannte Eigenschaften wieder zu erlangen. Ersatzringe sind auch in der algebraischen Geometrie wichtig. In der Ersatzringtheorie werden Zahlen häufig durch Ideale ersetzt, und die Definition des Hauptideales versucht, die Essenz von Primzahlen zu gewinnen. Integrierte Gebiete, nichttriviale Ersatzringe, wo keine zwei Nichtnullelemente multiplizieren, um Null zu geben, verallgemeinern ein anderes Eigentum der ganzen Zahlen und des Aufschlags als der richtige Bereich, um Teilbarkeit zu studieren. Ideale Hauptgebiete sind integrierte Gebiete, in denen jedes Ideal durch ein einzelnes Element, ein anderes durch die ganzen Zahlen geteiltes Eigentum erzeugt werden kann. Euklidische Gebiete sind integrierte Gebiete, in denen der Euklidische Algorithmus ausgeführt werden kann. Wichtige Beispiele von Ersatzringen können als Ringe von Polynomen und ihre Faktor-Ringe gebaut werden. Zusammenfassung: Euklidisches Gebiet => ideales Hauptgebiet => einzigartiges factorization Gebiet => integriertes Gebiet => Ersatzring.

Nichtersatzringe ähneln Ringen von matrices in vieler Hinsicht. Im Anschluss an das Modell der algebraischen Geometrie sind Versuche kürzlich beim Definieren der auf Nichtersatzringen gestützten Nichtersatzgeometrie gemacht worden.

Nichtersatzringe und assoziative Algebra (Ringe, die auch Vektorräume sind) werden häufig über ihre Kategorien von Modulen studiert. Ein Modul über einen Ring ist eine Gruppe von Abelian, der der Ring als ein Ring von Endomorphismen folgt, die sehr viel mit dem Weg Felder verwandt sind (integrierte Gebiete, in denen jedes Nichtnullelement invertible ist), folgen Vektorräumen. Beispiele von Nichtersatzringen werden durch Ringe des Quadrats matrices oder mehr allgemein durch Ringe von Endomorphismen von Gruppen von Abelian oder Modulen, und durch Monoid-Ringe angeführt.

Einige nützliche Lehrsätze

Allgemein:

• Isomorphismus-Lehrsätze für Ringe
• Das Lemma von Nakayama

Struktur-Lehrsätze:

• Der Artin-Wedderburn Lehrsatz bestimmt die Struktur von halbeinfachen Ringen.
• Der Dichte-Lehrsatz von Jacobson bestimmt die Struktur von primitiven Ringen.
• Der Lehrsatz von Goldie bestimmt die Struktur von Halbhauptringen von Goldie.
• Der Lehrsatz von Zariski-Samuel beschließt, dass die Struktur eines Ersatzhauptideales klingelt.
• Der Lehrsatz von Hopkins-Levitzki gibt notwendige und genügend Bedingungen für einen Ring von Noetherian, um ein Ring von Artinian zu sein.
• Theorie von Morita besteht aus Lehrsätzen, die bestimmen, wenn zwei Ringe "gleichwertige" Modul-Kategorien haben.
• Der kleine Lehrsatz von Wedderburn stellt fest, dass begrenzte Gebiete Felder sind.

Generalisationen

Jeder Ring kann als eine vorzusätzliche Kategorie mit einem einzelnen Gegenstand gesehen werden. Es ist deshalb natürlich zu denken, dass willkürliche vorzusätzliche Kategorien Generalisationen von Ringen sind. Und tatsächlich können viele Definitionen und für Ringe ursprünglich gegebene Lehrsätze zu diesem allgemeineren Zusammenhang übersetzt werden. Zusatz functors zwischen vorzusätzlichen Kategorien verallgemeinert das Konzept des Ringhomomorphismus, und Ideale in zusätzlichen Kategorien können als Sätze von morphisms definiert werden, der unter der Hinzufügung und unter der Zusammensetzung mit willkürlichem morphisms geschlossen ist.

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• Ein einleitender Studententext im Geist von Texten von Gallian oder Herstein, Gruppen, Ringe, integrierte Gebiete, Felder und Theorie von Galois bedeckend. Freier herunterladbarer PDF mit der offenen Quelle GFDL Lizenz.
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