Die Wellengleichung ist eine wichtige zweite Ordnung geradlinige teilweise Differenzialgleichung für die Beschreibung von Wellen - weil sie in der Physik - wie Schallwellen, leichte Wellen und Wasserwellen vorkommen. Es entsteht in Feldern wie Akustik, electromagnetics, und flüssiger Dynamik. Historisch wurde das Problem einer vibrierenden Schnur wie die eines Musikinstruments von Jean le Rond D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli und Joseph-Louis Lagrange studiert.

Einführung

Wellengleichungen sind Beispiele von teilweisen Hyperbeldifferenzialgleichungen ¸, aber es gibt viele Schwankungen.

In seiner einfachsten Form betrifft die Wellengleichung eine Zeitvariable, eine oder mehr Raumvariablen und eine Skalarfunktion, deren Werte die Höhe einer Welle modellieren konnten. Die Wellengleichung dafür ist

wo (räumlicher) Laplacian ist, und wo c eine feste Konstante ist.

Lösungen dieser Gleichung, die außerhalb eines eingeschränkten Gebiets am Anfang Null-sind, pflanzen sich aus dem Gebiet mit einer festen Geschwindigkeit in allen Raumrichtungen fort, wie physische Wellen von einer lokalisierten Störung tun; der unveränderliche c wird mit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Welle identifiziert. Diese Gleichung ist geradlinig, weil die Summe irgendwelcher zwei Lösungen wieder eine Lösung ist: In der Physik wird dieses Eigentum den Überlagerungsgrundsatz genannt.

Die Gleichung allein gibt keine Lösung an; eine einzigartige Lösung wird gewöhnlich durch das Setzen eines Problems mit weiteren Bedingungen wie anfängliche Bedingungen erhalten, die den Wert und die Geschwindigkeit der Welle vorschreiben. Eine andere wichtige Klasse von Problemen gibt Grenzbedingungen an, für die die Lösungen stehende Wellen oder Obertöne vertreten, die den Obertönen von Musikinstrumenten analog sind.

Um dispersive Welle-Phänomene zu modellieren, werden diejenigen, in denen sich die Geschwindigkeit der Welle-Fortpflanzung mit der Frequenz der Welle, der unveränderliche c ändert, durch die Phase-Geschwindigkeit ersetzt:

Phänomene, in denen die Geschwindigkeit vom Umfang der Welle abhängt, werden durch nichtlineare Wellengleichungen modelliert:

Eine Welle kann auf eine andere Bewegung (zum Beispiel Schallausbreitung in einem bewegenden Medium wie ein Gasfluss) überlagert sein. In diesem Fall wird der Skalar u einen Mach-Faktor enthalten (der für die Welle positiv ist, die der Fluss und negativ für die widerspiegelte Welle vorankommt).

Die elastische Wellengleichung in drei Dimensionen beschreibt die Fortpflanzung von Wellen in einem isotropischen elastischen Medium. Die meisten festen Materialien sind elastisch, so beschreibt diese Gleichung solche Phänomene als seismische Wellen in der Erde und Ultraschallwellen gepflegt haben, Fehler in Materialien zu entdecken. Während geradlinig, hat diese Gleichung eine kompliziertere Form als die Gleichungen, die oben gegeben sind, weil sie sowohl für Längs-als auch Querbewegung verantwortlich sein muss:

• und sind die so genannten Rahmen von Lamé, die die elastischen Eigenschaften des Mediums, beschreiben
• ist die Dichte,
• ist die Quellfunktion (treibende Kraft),
• und ist der Versetzungsvektor.

Bemerken Sie, dass in dieser Gleichung beide Kraft und Versetzung Vektor-Mengen sind. So ist diese Gleichung manchmal als die Vektor-Wellengleichung bekannt.

Schwankungen der Wellengleichung werden auch in der Quant-Mechanik, Plasmaphysik und allgemeinen Relativität gefunden.

Skalarwellengleichung in einer Raumdimension

Abstammung der Wellengleichung

Aus dem Gesetz von Hooke

Die Wellengleichung in einem dimensionalem Fall kann aus dem Gesetz von Hooke folgendermaßen abgeleitet werden: Stellen Sie sich Vor, dass eine Reihe von kleinen Gewichten der MassenM mit massless Frühlingen der Länge h miteinander verbunden geworden ist. Die Frühlinge haben eine Frühlingskonstante von k:

Hier u (x) Maßnahmen die Entfernung vom Gleichgewicht der Masse an x gelegen. Die Kräfte, die auf die Masse an der Position ausgeübt sind, sind: