In der Mathematik, und in der besonderen geradlinigen Algebra, einem Verdrehen - symmetrisch (oder antisymmetrisch oder antimetrisch) ist Matrix eine Quadratmatrix, wessen umstellen, ist auch seine Verneinung; d. h. es befriedigt die Gleichung, Wenn der Zugang in und a ist, d. h. dann die symmetrische Bedingung Zum Beispiel wird, ist die folgende Matrix verdrehen - symmetrisch:

0 & 2 &-1 \\

- 2 & 0 &-4 \\

1 & 4 & 0\end {bmatrix}. </Mathematik>

Eigenschaften

Wir nehmen an, dass das zu Grunde liegende Feld nicht von der Eigenschaft 2 ist: D. h. das, wo 1 die multiplicative Identität und 0 die zusätzliche Identität des gegebenen Feldes anzeigt. Sonst, ein Verdrehen - symmetrische Matrix ist genau dasselbe als eine symmetrische Matrix.

Summen und Skalarvielfachen dessen verdrehen - symmetrische matrices sind wieder verdrehen - symmetrisch. Folglich, das Verdrehen - symmetrische matrices bilden einen Vektorraum. Seine Dimension ist n (n&minus;1)/2.

Lassen Sie Matte den Raum von matrices anzeigen. Ein Verdrehen - symmetrische Matrix wird durch n bestimmt (n &minus; 1)/2-Skalare (die Zahl von Einträgen über der Hauptdiagonale); eine symmetrische Matrix wird durch n (n + 1)/2 Skalare (die Zahl von Einträgen auf oder über der Hauptdiagonale) bestimmt. Wenn Verdrehen, zeigt an, dass der Raum dessen verdreht - zeigen symmetrischer matrices und Sym den Raum von symmetrischem matrices und dann seitdem und} an, d. h.

wo  die direkte Summe anzeigt. Lassen Sie dann

Bemerken Sie, dass und Das für jede Quadratmatrix mit Einträgen von jedem Feld wahr ist, dessen Eigenschaft von 2 verschieden ist.

Betreffs gleichwertiger Bedingungen, bemerken Sie, dass die Beziehung dessen, Ein =-a-symmetricity verdreht, hält für eine Matrix, wenn, und nur wenn man xAy =-yAx für alle Vektoren x und y hat. Das ist auch zu xAx=0 für den ganzen x gleichwertig (eine Implikation, die, der andere eine einfache Folge von (x+y) (x+y) =0 für den ganzen x und y) offensichtlich ist.

Alle diagonalen Haupteinträge eines Verdrehens - symmetrische Matrix muss Null sein, so ist die Spur Null. Wenn