In der Mathematik ist Differenzialrechnung ein Teilfeld der Rechnung, die mit der Studie der Raten betroffen ist, an denen sich Mengen ändern. Es ist eine der zwei traditionellen Abteilungen der Rechnung, der andere, Integralrechnung seiend.

Die primären Gegenstände der Studie in der Differenzialrechnung sind die Ableitung einer Funktion, verwandte Begriffe wie das Differenzial und ihre Anwendungen. Die Ableitung einer Funktion an einem gewählten Eingangswert beschreibt die Rate der Änderung der Funktion in der Nähe von diesem Eingangswert. Der Prozess, eine Ableitung zu finden, wird Unterscheidung genannt. Geometrisch kommt die Ableitung an einem Punkt dem Hang der Tangente-Linie zum Graphen der Funktion an diesem Punkt gleich. Für eine reellwertige Funktion einer einzelnen echten Variable bestimmt die Ableitung einer Funktion an einem Punkt allgemein die beste geradlinige Annäherung an die Funktion an diesem Punkt.

Differenzialrechnung und Integralrechnung werden durch den Hauptsatz der Rechnung verbunden, die feststellt, dass Unterscheidung der Rückprozess zur Integration ist.

Unterscheidung hat Anwendungen auf fast alle quantitativen Disziplinen. Zum Beispiel, in der Physik, ist die Ableitung der Versetzung eines bewegenden Körpers in Bezug auf die Zeit die Geschwindigkeit des Körpers, und die Ableitung der Geschwindigkeit in Bezug auf die Zeit ist Beschleunigung. Das zweite Gesetz des Newtons der Bewegung stellt fest, dass die Ableitung des Schwungs eines Körpers der auf den Körper angewandten Kraft gleichkommt. Die Reaktionsrate einer chemischen Reaktion ist eine Ableitung. In der Operationsforschung bestimmen Ableitungen die effizientesten Weisen, Materialien und Designfabriken zu transportieren.

Ableitungen werden oft verwendet, um die Maxima und Minima einer Funktion zu finden. Gleichungen, die Ableitungen einschließen, werden Differenzialgleichungen genannt und sind im Beschreiben von natürlichen Phänomenen grundsätzlich. Ableitungen und ihre Generalisationen erscheinen in vielen Feldern der Mathematik, wie komplizierte Analyse, Funktionsanalyse, Differenzialgeometrie, Maß-Theorie und abstrakte Algebra.

Die Ableitung

Nehmen Sie an, dass x und y reelle Zahlen sind, und dass y eine Funktion von x, d. h. für jeden Wert von x ist, gibt es einen entsprechenden Wert von y. Diese Beziehung wird als y = f (x) geschrieben. Wenn f (x) die Gleichung für eine Gerade ist, dann gibt es zwei reelle Zahlen M und solcher b dass. M wird den Hang genannt und kann von der Formel bestimmt werden:

:

wo das Symbol Δ (die Großschrift-Form des griechischen Briefs Delta) eine Abkürzung für die "Änderung in" ist. Hieraus folgt dass.

Eine allgemeine Funktion ist nicht eine Linie, so hat sie keinen Hang. Die Ableitung von f am Punkt x ist die bestmögliche Annäherung an die Idee vom Hang von f am Punkt x. Es wird gewöhnlich f (x) oder dy/dx angezeigt. Zusammen mit dem Wert von f an x bestimmt die Ableitung von f die beste geradlinige Annäherung oder linearization, f in der Nähe vom Punkt x. Dieses letzte Eigentum wird gewöhnlich als die Definition der Ableitung genommen.

Ein nah zusammenhängender Begriff ist das Differenzial einer Funktion.

Wenn x und y echte Variablen sind, ist die Ableitung von f an x der Hang der Tangente-Linie zum Graphen von f an x. Weil die Quelle und das Ziel von f eindimensional sind, ist die Ableitung von f eine reelle Zahl. Wenn x und y Vektoren sind, dann hängt die beste geradlinige Annäherung an den Graphen von f ab, wie sich f in mehreren Richtungen sofort ändert. Die Einnahme der besten geradlinigen Annäherung in einer einzelnen Richtung bestimmt eine partielle Ableitung, die gewöhnlich y /  x angezeigt wird. Der linearization von f in allen Richtungen wird sofort die Gesamtableitung genannt.

Geschichte der Unterscheidung

Das Konzept einer Ableitung im Sinne einer Tangente-Linie ist ein sehr altes, das für griechischen geometers wie vertraut

ist

Euklid (c. 300 v. Chr.), Archimedes (c. 287-212 v. Chr.) und Apollonius von Perga (c. 262-190 v. Chr.). Archimedes hat auch den Gebrauch von infinitesimals eingeführt, obwohl diese in erster Linie verwendet wurden, um Gebiete und Volumina aber nicht Ableitungen und Tangenten zu studieren; sieh den Gebrauch von Archimedes von infinitesimals.

Der Gebrauch von infinitesimals, um Raten der Änderung zu studieren, kann in der Indianermathematik, vielleicht schon in 500 n.Chr. gefunden werden, als der Astronom und Mathematiker Aryabhata (476-550) infinitesimals verwendet haben, um die Bewegung des Monds zu studieren. Der Gebrauch von infinitesimals, um Raten der Änderung zu schätzen, wurde bedeutsam durch Bhāskara II (1114-1185) entwickelt; tatsächlich ist es behauptet worden, dass viele der Schlüsselbegriffe der Differenzialrechnung in seiner Arbeit, wie "der Lehrsatz von Rolle" gefunden werden können. Der persische Mathematiker, Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213), war erst, um die Ableitung von Kubikpolynomen, einem wichtigen Ergebnis in der Differenzialrechnung zu entdecken; seine Abhandlung auf Gleichungen hat Konzepte entwickelt, die mit der Differenzialrechnung, wie die abgeleitete Funktion und die Maxima und Minima von Kurven verbunden sind, um kubische Gleichungen zu lösen, die positive Lösungen nicht haben können.

Die moderne Entwicklung der Rechnung wird gewöhnlich Isaac Newton (1643-1727) und Gottfried Leibniz (1646-1716) kreditiert, wer unabhängige und vereinigte Annäherungen an die Unterscheidung und Ableitungen zur Verfügung gestellt hat. Die Schlüsselscharfsinnigkeit, jedoch, der sie dieser Kredit verdient hat, war der Hauptsatz der Rechnungsverbindungsunterscheidung und Integration: Das hat veraltet die meisten vorherigen Methoden für Rechengebiete und Volumina gemacht, die seit der Zeit von Ibn al-Haytham (Alhazen) nicht bedeutsam erweitert worden waren. Für ihre Ideen auf Ableitungen haben sowohl Newton als auch Leibniz bedeutend aufgebaut früher arbeiten durch Mathematiker wie Isaac Barrow (1630-1677), René Descartes (1596-1650), Christiaan Huygens (1629-1695), Blaise Pascal (1623-1662) und John Wallis (1616-1703). Isaac Barrow wird allgemein Kredit für die frühe Entwicklung der Ableitung gegeben. Dennoch bleiben Newton und Leibniz Schlüsselfiguren in der Geschichte der Unterscheidung nicht zuletzt, weil Newton erst war, um Unterscheidung auf die theoretische Physik anzuwenden, während Leibniz systematisch viel von der Notation noch verwendet heute entwickelt hat.

Seit dem 17. Jahrhundert haben viele Mathematiker zur Theorie der Unterscheidung beigetragen. Im 19. Jahrhundert wurde Rechnung auf einen viel strengeren Stand von Mathematikern wie Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Bernhard Riemann (1826-1866) und Karl Weierstrass (1815-1897) gestellt. Es war auch während dieser Periode, dass die Unterscheidung zum Euklidischen Raum und dem komplizierten Flugzeug verallgemeinert wurde.

Anwendungen von Ableitungen

Optimierung

Wenn f eine Differentiable-Funktion auf R ist (oder ein offener Zwischenraum) und x ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum von f ist, dann ist die Ableitung von f an x Null; Punkte, wo kritische Punkte oder stationäre Punkte genannt werden (und der Wert von f an x wird einen kritischen Wert genannt). (Die Definition eines kritischen Punkts wird manchmal erweitert, um Punkte einzuschließen, wo die Ableitung nicht besteht.) Umgekehrt kann ein kritischer Punkt x f durch das Betrachten der zweiten Ableitung von f an x analysiert werden:

• wenn es positiv ist, ist x ein lokales Minimum;
• wenn es negativ ist, ist x ein lokales Maximum;
• wenn es Null ist, dann konnte x ein lokales Minimum, ein lokales Maximum oder keiner sein. (Zum Beispiel, hat einen kritischen Punkt daran, aber er hat weder ein Maximum noch ein Minimum dort, wohingegen einen kritischen Punkt an und ein Minimum und ein Maximum beziehungsweise dort hat.)

Das wird den zweiten abgeleiteten Test genannt. Eine alternative Annäherung, genannt den ersten abgeleiteten Test, ist mit dem Betrachten des Zeichens des f auf jeder Seite des kritischen Punkts verbunden.

Die Einnahme von Ableitungen und das Lösen für kritische Punkte sind deshalb häufig eine einfache Weise, lokale Minima oder Maxima zu finden, die in der Optimierung nützlich sein können. Durch den äußersten Wertlehrsatz muss eine dauernde Funktion auf einem geschlossenen Zwischenraum seine minimalen und maximalen Werte mindestens einmal erreichen. Wenn die Funktion differentiable ist, können die Minima und Maxima nur an kritischen Punkten oder Endpunkten vorkommen.

Das hat auch Anwendungen im eine Skizze machenden Graphen: Sobald die lokalen Minima und Maxima einer Differentiable-Funktion gefunden worden sind, kann ein rauer Anschlag des Graphen bei der Beobachtung erhalten werden, dass es entweder zunehmen oder zwischen kritischen Punkten abnehmen wird.

In höheren Dimensionen ist ein kritischer Punkt der geschätzten Funktion eines Skalars ein Punkt, an dem der Anstieg Null ist. Der zweite abgeleitete Test kann noch verwendet werden, um kritische Punkte durch das Betrachten des eigenvalues der Jute-Matrix der zweiten partiellen Ableitungen der Funktion am kritischen Punkt zu analysieren. Wenn alle eigenvalues positiv sind, dann ist der Punkt ein lokales Minimum; wenn alle negativ sind, ist es ein lokales Maximum. Wenn es einige positiv und ein negativer eigenvalues gibt, dann ist der kritische Punkt ein Sattel-Punkt, und wenn keiner dieser Fälle hält (d. h. einige der eigenvalues sind Null) dann der Test ist nicht überzeugend.

Rechnung von Schwankungen

Ein Beispiel eines Optimierungsproblems ist: Finden Sie die kürzeste Kurve zwischen zwei Punkten auf einer Oberfläche, annehmend, dass die Kurve auch auf der Oberfläche liegen muss. Wenn die Oberfläche ein Flugzeug ist, dann ist die kürzeste Kurve eine Linie. Aber wenn die Oberfläche zum Beispiel, eiförmig ist, dann ist der kürzeste Pfad nicht sofort klar. Diese Pfade werden geodesics genannt, und eines der einfachsten Probleme in der Rechnung von Schwankungen findet geodesics. Ein anderes Beispiel ist: Finden Sie das kleinste Bereichsoberflächenausfüllen einer geschlossenen Kurve im Raum. Diese Oberfläche wird eine minimale Oberfläche genannt, und es kann auch mit der Rechnung von Schwankungen gefunden werden.

Physik

Rechnung ist von Lebenswichtigkeit in der Physik: Viele physische Prozesse werden durch Gleichungen beschrieben, die Ableitungen, genannt Differenzialgleichungen einschließen. Physik ist besonders mit der Weise beschäftigt, wie sich Mengen ändern und sich mit der Zeit, und das Konzept der "Zeitableitung" entwickeln - ist die Rate der Änderung mit der Zeit - für die genaue Definition von mehreren wichtigen Konzepten notwendig. Insbesondere die Zeitableitungen einer Position eines Gegenstands sind in der Newtonischen Physik bedeutend:

• Geschwindigkeit ist die Ableitung (in Bezug auf die Zeit) von einer Versetzung eines Gegenstands (Entfernung von der ursprünglichen Position)
• Beschleunigung ist die Ableitung (in Bezug auf die Zeit) von einer Geschwindigkeit eines Gegenstands, d. h. die zweite Ableitung (in Bezug auf die Zeit) von einer Position eines Gegenstands.

Zum Beispiel, wenn eine Position eines Gegenstands auf einer Linie durch gegeben wird

:

dann ist die Geschwindigkeit des Gegenstands

:

und die Beschleunigung des Gegenstands ist

:

der unveränderlich ist.

Differenzialgleichungen

Eine Differenzialgleichung ist eine Beziehung zwischen einer Sammlung von Funktionen und ihren Ableitungen. Eine gewöhnliche Differenzialgleichung ist eine Differenzialgleichung, die Funktionen einer Variable zu ihren Ableitungen in Bezug auf diese Variable verbindet. Eine teilweise Differenzialgleichung ist eine Differenzialgleichung, die Funktionen von mehr als einer Variable zu ihren partiellen Ableitungen verbindet. Differenzialgleichungen entstehen natürlich in den physischen Wissenschaften, im mathematischen Modellieren, und innerhalb der Mathematik selbst. Zum Beispiel kann das zweite Gesetz des Newtons, das die Beziehung zwischen Beschleunigung und Kraft beschreibt, als die gewöhnliche Differenzialgleichung festgesetzt werden

:

Die Hitzegleichung in einer Raumvariable, die beschreibt, wie sich Hitze durch eine gerade Stange verbreitet, ist die teilweise Differenzialgleichung

:

Hier u (x, t) ist die Temperatur der Stange an der Position x und Zeit t, und α ist eine Konstante, die abhängt, wie sich schnelle Hitze durch die Stange verbreitet.

Mittelwertlehrsatz

Der Mittelwertlehrsatz gibt eine Beziehung zwischen Werten der Ableitung und Werten der ursprünglichen Funktion. Wenn f (x) eine reellwertige Funktion und a ist und b Zahlen damit sind