In der Mathematik ist eine Ordnungstopologie eine bestimmte Topologie, die auf jedem völlig bestellten Satz definiert werden kann. Es ist eine natürliche Generalisation der Topologie der reellen Zahlen zu willkürlichen völlig bestellten Sätzen.

Wenn X ein völlig bestellter Satz ist, wird die Ordnungstopologie auf X durch die Subbasis "offener Strahlen" erzeugt

::

für den ganzen a, b in X. Das ist zum Ausspruch dass die offenen Zwischenräume gleichwertig

:

zusammen mit den obengenannten Strahlen bilden eine Basis für die Ordnungstopologie. Die offenen Sätze in X sind die Sätze, die eine Vereinigung (vielleicht ungeheuer viele) solche offenen Zwischenräume und Strahlen sind.

Die Ordnungstopologie macht X in einen völlig normalen Raum von Hausdorff.

Die Standardtopologien auf R, Q, und N sind die Ordnungstopologien.

Veranlasste Ordnungstopologie

Wenn Y eine Teilmenge X ist, dann erbt Y einen Gesamtbezug von X. Y hat deshalb eine Ordnungstopologie, die veranlasste Ordnungstopologie. Weil eine Teilmenge X, Y auch eine Subraumtopologie hat. Die Subraumtopologie ist immer mindestens so fein wie die veranlasste Ordnungstopologie, aber sie sind nicht im Allgemeinen dasselbe.

Denken Sie zum Beispiel die Teilmenge Y = {-1} ∪ {1/n} im rationals. Unter der Subraumtopologie ist der Singleton {-1} untergegangen ist in Y offen, aber unter der veranlassten Ordnungstopologie muss jeder offene Satz, der-1 enthält, alle, aber begrenzt viele Mitglieder des Raums enthalten.

Ein Beispiel eines Subraums eines geradlinig bestellten Raums, dessen Topologie nicht eine Ordnungstopologie ist

Obwohl die Subraumtopologie von Y = {-1} ∪ wie man zeigt, wird {1/n} in der Abteilung oben durch die veranlasste Ordnung auf Y erzeugt, es ist dennoch eine Ordnungstopologie auf Y; tatsächlich in der Subraumtopologie wird jeder Punkt isoliert (d. h. Singleton {y} ist in Y für jeden y in Y offen), so ist die Subraumtopologie die getrennte Topologie auf Y (die Topologie, in der jede Teilmenge von Y ein offener Satz ist), und die getrennte Topologie auf jedem Satz eine Ordnungstopologie ist. Um einen Gesamtbezug auf, zu definieren Y, der die getrennte Topologie auf Y einfach erzeugt, modifizieren Sie die veranlasste Ordnung auf Y, indem Sie-1 definieren, um das größte Element von Y zu sein, und sonst dieselbe Ordnung für die anderen Punkte behalten, so dass in dieser neuen Ordnung (Anruf sagt es), wir 1/n-1 für alle n∈N haben. Dann, in der Ordnungstopologie auf Y, der dadurch erzeugt ist, wird jeder Punkt von Y in Y isoliert.

Wir möchten hier eine Teilmenge Z von einem geradlinig bestellten topologischen Raum X solch definieren, dass kein Gesamtbezug auf Z die Subraumtopologie auf Z erzeugt, so dass die Subraumtopologie keine Ordnungstopologie sein wird, wenn auch es die Subraumtopologie eines Raums ist, dessen Topologie eine Ordnungstopologie ist.

Lassen

Ein Argument folgt. Nehmen Sie über den Widerspruch an, dass es einen strengen Gesamtbezug auf solchem Z dass die durch A erzeugte Ordnungstopologie gibt. Dann (-1, a) = [p, a), so [p, a) ist offen. {p} ∪A= [p, a) ∪A, so {p} ∪A ist eine offene Teilmenge der M und folglich M = ({p} ∪A) ∪ B ist die Vereinigung von zwei zusammenhanglosen offenen Teilmengen der M, so wird M, ein Widerspruch nicht verbunden.

Ein Raum, dessen Topologie eine Ordnungstopologie ist, wird Linearly Ordered Topological Space (LOTS) genannt, und ein Subraum eines geradlinig bestellten topologischen Raums wird einen Verallgemeinerten Bestellten Raum (GEHEN-RAUM) genannt. So ist das Beispiel Z oben ein Beispiel eines GEHEN-RAUMS, der nicht ein geradlinig bestellter topologischer Raum ist.

Verlassen und Recht bestellen Topologien

Mehrere Varianten der Ordnungstopologie können gegeben werden:

• Die richtige Ordnungstopologie auf X ist die Topologie, deren offene Sätze aus Zwischenräumen der Form bestehen (a, &infin).
• Die linke Ordnungstopologie auf X ist die Topologie, deren offene Sätze aus Zwischenräumen der Form bestehen (−∞ b).

Der verlassene und die richtigen Ordnungstopologien können verwendet werden, um Gegenbeispiele in der allgemeinen Topologie zu geben. Zum Beispiel stellen der verlassene oder die richtige Ordnungstopologie auf einem begrenzten Satz ein Beispiel eines Kompaktraums zur Verfügung, der nicht Hausdorff ist.

Die linke Ordnungstopologie ist die Standardtopologie, die zu vielen mit dem Satz theoretischen Zwecken auf einer Algebra von Boolean verwendet ist.

Ordnungsraum

Für jede Ordinalzahl λ man kann die Räume von Ordinalzahlen denken

::

zusammen mit der natürlichen Ordnungstopologie. Diese Räume werden Ordnungsräume genannt. (Bemerken Sie, dass im üblichen mit dem Satz theoretischen Aufbau von Ordinalzahlen wir &lambda haben; = [0,&lambda) und λ + 1 = [0,λ]). Offensichtlich sind diese Räume wenn &lambda größtenteils von Interesse; ist eine unendliche Ordnungszahl; sonst (für begrenzte Ordnungszahlen) ist die Ordnungstopologie einfach die getrennte Topologie.

Wenn λ = ω (die erste unendliche Ordnungszahl), der Raum [0,&omega) ist gerade N mit dem üblichen (noch getrennt) Topologie, während [0,ω] ist der ein Punkt compactification N.

Vom besonderen Interesse ist wenn &lambda der Fall; = ω der Satz aller zählbaren Ordnungszahlen und der ersten unzählbaren Ordnungszahl. Das Element ω ist ein Grenze-Punkt der Teilmenge [0,&omega) wenn auch keine Folge von Elementen in [0,&omega) hat das Element ω als seine Grenze. Insbesondere [0,ω] ist nicht erst-zählbar. Der Subraum [0,&omega) ist jedoch erst-zählbar, da der einzige Punkt ohne eine zählbare lokale Basis &omega ist;. einige weitere Eigenschaften schließen ein

• keiner [0,&omega) oder [0,ω] ist trennbarer oder zweit-zählbarer
• [0,ω] ist während [0,&omega kompakt) ist folgend kompakt und, aber nicht kompakter oder parakompakter zählbar kompakt

Topologie und Ordnungszahlen

Ordnungszahlen als topologische Räume

Jede Ordinalzahl kann in einen topologischen Raum durch das Ausstatten davon mit der Ordnungstopologie gemacht werden (da, gut bestellt zu werden, eine Ordnungszahl insbesondere völlig bestellt wird): Ohne Anzeige zum Gegenteil ist es immer, dass Ordnungstopologie, die gemeint wird, wenn von einer Ordnungszahl als ein topologischer Raum gedacht wird. (Bemerken Sie, dass, wenn wir bereit sind, eine richtige Klasse als ein topologischer Raum dann zu akzeptieren, die Klasse aller Ordnungszahlen auch ein topologischer Raum für die Ordnungstopologie ist.)

Der Satz von Grenze-Punkten eines Ordnungs-α ist genau der Satz von Grenze-Ordnungszahlen weniger als α. Nachfolger-Ordnungszahlen (und Null) weniger als α werden Punkte in α isoliert. Insbesondere die begrenzten Ordnungszahlen und der ω sind getrennte topologische Räume, und keine Ordnungszahl ist darüber hinaus getrennt. Der Ordnungs-α ist als ein topologischer Raum kompakt, wenn, und nur wenn α ein Ordnungs-Nachfolger ist.

Die geschlossenen Sätze einer Grenze Ordnungs-α sind gerade die geschlossenen Sätze im Sinn, dass wir bereits, nämlich, diejenigen definiert haben, die eine Ordnungs-Grenze enthalten, wann auch immer sie alle genug großen Ordnungszahlen darunter enthalten.

Jede Ordnungszahl, ist natürlich, eine offene Teilmenge der weiteren Ordnungszahl. Wir können auch die Topologie auf den Ordnungszahlen auf die folgende induktive Weise definieren: 0 ist der leere topologische Raum, α + 1 wird durch die Einnahme des eines Punkts compactification α erhalten (wenn α eine Ordnungs-Grenze ist; wenn es nicht ist, α + 1 ist bloß die zusammenhanglose Vereinigung von α und einem Punkt), und für δ wird eine Grenze Ordnungs-, δ mit der induktiven Grenze-Topologie ausgestattet.

Als topologische Räume sind alle Ordnungszahlen Hausdorff und sogar normal. Sie werden auch völlig getrennt (verbundene Bestandteile sind Punkte), gestreut (hat jeder nichtleere Satz einen isolierten Punkt; nehmen Sie in diesem Fall gerade das kleinste Element), nulldimensional (hat die Topologie eine clopen Basis: Hier schreiben Sie einen offenen Zwischenraum (β,γ), weil die Vereinigung der clopen Zwischenräume (β,γ '+ 1) = β + 1, γ' für γ' und seinen Nachfolger ω + 1 oft als Lehrbuch-Beispiele von nichtzählbaren topologischen Räumen verwendet wird.

Zum Beispiel, im topologischen Raum ω + 1, ist das Element ω im Verschluss der Teilmenge ω, wenn auch keine Folge von Elementen in ω das Element ω als seine Grenze hat: Ein Element in ω ist ein zählbarer Satz; für jede Folge solcher Sätze ist die Vereinigung dieser Sätze die Vereinigung von zählbar vielen zählbaren Sätzen, also noch zählbar; diese Vereinigung ist ein oberer, der der Elemente der Folge, und deshalb der Grenze der Folge gebunden ist, wenn es denjenigen hat.

Der Raum ω ist erst-zählbar, aber nicht zweit-zählbar, und ω + 1 hat keinen dieser zwei Eigenschaften, trotz, kompakt zu sein. Es ist auch erwähnenswert, dass jede dauernde Funktion von ω bis R (die echte Linie) schließlich unveränderlich ist: So ist Stein-Čech compactification von ω ω + 1, ebenso sein ein Punkt compactification (in der scharfen Unähnlichkeit zu ω, dessen Stein-Čech compactification viel größer ist als ω).

Mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Folgen

Wenn α eine Ordnungs-Grenze ist und X ein Satz ist, bedeutet eine α-indexed Folge von Elementen X bloß eine Funktion von α bis X. Dieses Konzept, eine transfinite Folge oder mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Folge, ist eine Generalisation des Konzepts einer Folge. Eine gewöhnliche Folge entspricht dem Fall α = ω.

Wenn X ein topologischer Raum ist, sagen wir, dass eine α-indexed Folge von Elementen X zu einer Grenze x zusammenläuft, wenn sie als ein Netz, mit anderen Worten, wenn gegeben, jede Nachbarschaft U von x zusammenläuft, gibt es einen Ordnungs-β ist in U für den ganzen ι β.

Mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Folgen sind stärker als gewöhnliche (ω-indexed) Folgen, um Grenzen in der Topologie zu bestimmen: Zum Beispiel, ω (Omega ein, der Satz aller zählbaren Ordinalzahlen und der kleinsten unzählbaren Ordinalzahl), ist ein Grenze-Punkt von ω + 1 (weil es eine Grenze Ordnungs-ist), und, tatsächlich, ist es die Grenze der ω-indexed Folge, die jede Ordnungszahl weniger kartografisch darstellt als ω zu sich: Jedoch ist es nicht die Grenze jeder gewöhnlichen (ω-indexed) Folge in ω, da jede solche Grenze weniger ist als oder gleich der Vereinigung seiner Elemente, die eine zählbare Vereinigung von zählbaren Sätzen, folglich selbst zählbar ist.

Jedoch sind mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Folgen nicht stark genug, um Netze (oder Filter) im Allgemeinen zu ersetzen: Zum Beispiel, auf dem Brett von Tychonoff (der Produktraum), ist der Eckpunkt ein Grenze-Punkt (es ist im Verschluss) der offenen Teilmenge, aber es ist nicht die Grenze einer mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen Folge.

Siehe auch

• senken Sie Grenze-Topologie
• lange Linie (Topologie)
• Geradliniges Kontinuum

Referenzen

• Steen, Lynn A. und Seebach, J. Arthur der Jüngere.; Gegenbeispiele in Topologie, Holt, Rinehart und Winston (1970). Internationale Standardbuchnummer 0-03-079485-4.
• Stephen Willard, allgemeine Topologie, (1970) Addison Wesley Publishing Company, Massachusetts lesend.