In der mehrgeradlinigen Algebra ist eine Tensor-Zusammenziehung eine Operation auf einem oder mehr Tensor, die aus der natürlichen Paarung eines endlich-dimensionalen Vektorraums und seines Doppel-entsteht. In Bestandteilen wird es als eine Summe von Produkten von Skalarbestandteilen des verursachten Tensor durch die Verwendung der Summierungstagung auf ein Paar von Scheinindizes ausgedrückt, die zu einander in einem Ausdruck gebunden werden. Die Zusammenziehung eines einzelnen Mischtensor kommt vor, wenn ein Paar von wörtlichen Indizes (ein eine Subschrift, der andere ein Exponent) des Tensor gleich einander gesetzt werden und resümiert hat. In der Notation von Einstein wird diese Summierung in die Notation eingebaut. Das Ergebnis ist ein anderer Tensor mit der Reihe (oder Ordnung) reduziert um 2.

Tensor-Zusammenziehung kann als eine Generalisation der Spur gesehen werden.

Abstrakte Formulierung

Lassen Sie V ein Vektorraum über ein Feld k sein. Der Kern der Zusammenziehungsoperation und der einfachste Fall, sind die natürliche Paarung V mit seinem Doppelvektorraum V*. Die Paarung ist die geradlinige Transformation von dieser zwei Räume zum Feld k:

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entsprechend der bilinearen Form

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wo f in V* ist und v in V ist. Die Karte C definiert die Zusammenziehungsoperation auf einem Tensor des Typs (1,1), der ein Element dessen ist. Bemerken Sie, dass das Ergebnis ein Skalar (ein Element von k) ist. Mit dem natürlichen Isomorphismus zwischen und dem Raum von geradlinigen Transformationen von V bis V erhält man eine basisfreie Definition der Spur.

Im Allgemeinen ist ein Tensor des Typs (M, n) (mit der M  1 und n  1) ein Element des Vektorraums

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(wo es M V Faktoren und n V Faktoren gibt). Die Verwendung der natürlichen Paarung zum kth V Faktor und der lth, den V Faktor und das Verwenden der Identität auf allen anderen Faktoren, (k, l) Zusammenziehungsoperation definieren, die eine geradlinige Karte ist, die einen Tensor des Typs nachgibt (M − 1, n − 1). Analog mit (1,1) Fall wird die allgemeine Zusammenziehungsoperation manchmal die Spur genannt.

Zusammenziehung in der Index-Notation

In der abstrakten Index-Notation wird die grundlegende Zusammenziehung eines Vektoren und eines Doppelvektoren durch angezeigt

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der Schnellschrift für die ausführliche Koordinatensummierung ist

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(wo v die Bestandteile von v in einer besonderen Basis sind und f die Bestandteile von f in der entsprechenden Doppelbasis sind).

Da ein allgemeiner dyadischer Mischtensor eine geradlinige Kombination des zerlegbaren Tensor der Form ist, folgt die ausführliche Formel für den dyadischen Fall: Lassen Sie

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seien Sie ein dyadischer Mischtensor. Dann ist seine Zusammenziehung

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T^j {} _j

T^1 {} _1 + \cdots + T^n {} _n </Mathematik>.

Eine allgemeine Zusammenziehung wird durch das Beschriften eines kovarianten Index und eines kontravarianten Index mit demselben Brief, Summierung über diesen Index angezeigt, der durch die Summierungstagung wird einbezieht. Der resultierende zusammengezogene Tensor erbt die restlichen Indizes des ursprünglichen Tensor. Zum Beispiel wird das Zusammenziehen eines Tensor T des Typs (2,2) auf den zweiten und dritten Indizes, um einen neuen Tensor U des Typs (1,1) zu schaffen, als geschrieben

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Lassen Sie im Vergleich

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seien Sie ein unvermischter dyadischer Tensor. Dieser Tensor zieht sich nicht zusammen; wenn seine Grundvektoren punktiert werden, ist das Ergebnis der kontravariante metrische Tensor,

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wessen Reihe 2 ist.

Metrische Zusammenziehung

Als im vorherigen Beispiel ist die Zusammenziehung auf einem Paar von Indizes, die entweder beide Kontravariante oder beide kovariant sind, im Allgemeinen nicht möglich. Jedoch, in Gegenwart von einem Skalarprodukt (auch bekannt als ein metrischer) g, sind solche Zusammenziehungen möglich. Man verwendet das metrische, um einen der Indizes, wie erforderlich, zu erheben oder zu senken, und dann verwendet man die übliche Operation der Zusammenziehung. Die vereinigte Operation ist als metrische Zusammenziehung bekannt.

Anwendung auf Tensor-Felder

Zusammenziehung wird häufig auf Tensor-Felder über Räume angewandt (z.B. Euklidischer Raum, Sammelleitungen oder Schemas). Da Zusammenziehung eine rein algebraische Operation ist, kann sie pointwise auf ein Tensor-Feld z.B angewandt werden, wenn T (1,1) Tensor-Feld auf dem Euklidischen Raum ist, dann in irgendwelchen Koordinaten wird seine Zusammenziehung (ein Skalarfeld) U an einem Punkt x durch gegeben

:

Da die Rolle von x hier nicht kompliziert wird, wird es häufig unterdrückt, und die Notation für Tensor-Felder wird identisch dazu für den rein algebraischen Tensor.

Über eine Sammelleitung von Riemannian ist ein metrischer (Feld von Skalarprodukten) verfügbar, und sowohl metrische als auch nichtmetrische Zusammenziehungen sind für die Theorie entscheidend. Zum Beispiel ist der Tensor von Ricci eine nichtmetrische Zusammenziehung des Krümmungstensor von Riemann, und die Skalarkrümmung ist die einzigartige metrische Zusammenziehung des Tensor von Ricci.

Man kann auch Zusammenziehung eines Tensor-Feldes im Zusammenhang von Modulen über einen passenden Ring von Funktionen auf der Sammelleitung oder dem Zusammenhang von Bündeln von Modulen über das Struktur-Bündel ansehen; sieh die Diskussion am Ende dieses Artikels.

Tensor-Abschweifung

Als eine Anwendung der Zusammenziehung eines Tensor-Feldes, lassen Sie V ein Vektorfeld auf einer Sammelleitung von Riemannian (zum Beispiel, Euklidischer Raum) sein. Lassen Sie, die kovariante Ableitung V (in etwas Wahl von Koordinaten) zu sein. Im Fall von Kartesianischen Koordinaten im Euklidischen Raum kann man schreiben

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Dann veranlasst das Ändern des Index β zu α das Paar von Indizes, gebunden zu einander zu werden, so dass sich die Ableitung mit sich vertraglich verpflichtet, die folgende Summe zu erhalten:

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der die Abschweifung div V ist. Dann

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ist eine Kontinuitätsgleichung für V.

Im Allgemeinen kann man verschiedene Abschweifungsoperationen auf Tensor-Feldern der höheren Reihe wie folgt definieren. Wenn T ein Tensor-Feld mit mindestens einem kontravariantem Index ist, laufen das Nehmen des kovarianten Differenzials und das Zusammenziehen des gewählten kontravarianten Index mit dem neuen kovarianten Index entsprechend dem Differenzial auf einen neuen Tensor der Reihe eine tiefer hinaus als dieser von T.

Zusammenziehung eines Paares des Tensor

Man kann die Kernzusammenziehungsoperation (Vektor mit dem Doppelvektoren) auf eine ein bisschen verschiedene Weise verallgemeinern, indem man ein Paar des Tensor T und U denkt. Das Tensor-Produkt ist ein neuer Tensor, der, wenn es mindestens einen kovariant und ein kontravarianter Index hat, zusammengezogen werden kann. Der Fall, wo T ein Vektor und U ist, ist ein Doppelvektor ist genau die Kernoperation eingeführt zuerst in diesem Artikel.

In der abstrakten Index-Notation, um zwei Tensor mit einander zusammenzuziehen, legt man sie nebeneinander (nebeneinander gestellt) als Faktoren desselben Begriffes. Das führt das Tensor-Produkt durch, einen zerlegbaren Tensor nachgebend. Das Zusammenziehen von zwei Indizes in diesem zerlegbaren Tensor führt die gewünschte Zusammenziehung des zwei Tensor durch.

Zum Beispiel kann matrices als Tensor des Typs (1,1) mit dem ersten Index vertreten werden, der Kontravariante und der zweite Index ist, der kovariant ist. Lassen Sie, die Bestandteile einer Matrix zu sein und zu lassen, die Bestandteile einer zweiten Matrix zu sein. Dann wird ihre Multiplikation durch die folgende Zusammenziehung, ein Beispiel der Zusammenziehung eines Paares des Tensor gegeben:

:.

Außerdem ist das Innenprodukt eines Vektoren mit einer Differenzialform ein spezieller Fall der Zusammenziehung von zwei Tensor mit einander.

Allgemeinere algebraische Zusammenhänge

Lassen Sie R ein Ersatzring sein und M ein begrenztes freies Modul über R sein zu lassen. Dann funktioniert Zusammenziehung auf der vollen (misch)-Tensor-Algebra der M auf genau dieselbe Weise, wie es im Fall von Vektorräumen über ein Feld tut. (Die Schlüsseltatsache ist, dass die natürliche Paarung noch in diesem Fall vollkommen ist.)

Lassen Sie mehr allgemein O ein Bündel von Ersatzringen über einen topologischen Raum X, z.B sein. O konnte das Struktur-Bündel einer komplizierten Sammelleitung, analytischen Raums oder Schemas sein. Lassen Sie M ein lokal freies Bündel von Modulen über O der begrenzten Reihe sein. Dann ist die Doppel-von der M noch wohl erzogen, und Zusammenziehungsoperationen haben Sinn in diesem Zusammenhang.

Siehe auch

• Tensor-Produkt
• Teilweise Spur
• Innenprodukt
• Die Aufhebung und das Senken von Indizes
• Musikisomorphismus
• Rechnung von Ricci

Zeichen

• Donald H. Menzel. Mathematische Physik. Veröffentlichungen von Dover, New York.
• Richard L. Bishop und Samuel I. Goldberg, Tensor-Analyse auf Sammelleitungen, Dover, 1980, internationale Standardbuchnummer 0-486-64039-6.