In der Mathematik, Physik und Technik, teilt ein Tensor-Feld einen Tensor jedem Punkt eines mathematischen Raums (normalerweise ein Euklidischer Raum oder Sammelleitung) zu. Tensor-Felder werden in der Differenzialgeometrie, algebraischen Geometrie, allgemeinen Relativität, in der Analyse der Betonung und Beanspruchung in Materialien, und in zahlreichen Anwendungen in den physischen Wissenschaften und der Technik verwendet. Da ein Tensor eine Generalisation eines Skalars (eine reine Zahl ist, die einen Wert wie Länge vertritt) und ein Vektor (ein geometrischer Pfeil im Raum), ist ein Tensor-Feld eine Generalisation eines Skalarfeldes oder Vektorfeldes, das, beziehungsweise, einen Skalar oder Vektoren zu jedem Punkt des Raums zuteilt.

Viele mathematische Strukturen haben informell gerufen 'Tensor' ist wirklich 'Tensor-Felder', d. h. über eine Sammelleitung definierte Felder, die einen Tensor an jedem Punkt der Sammelleitung definieren. Ein Beispiel ist der Krümmungstensor von Riemann.

Geometrische Einführung

Intuitiv wird ein Vektorfeld am besten als ein 'Pfeil' vergegenwärtigt, der jedem Punkt eines Gebiets, mit der variablen Länge und Richtung beigefügt ist. Ein Beispiel eines Vektorfeldes auf einem gekrümmten Raum ist eine Wetterkarte, horizontale Windgeschwindigkeit an jedem Punkt der Oberfläche der Erde zeigend.

Die allgemeine Idee vom Tensor-Feld verbindet die Voraussetzung der reicheren Geometrie - zum Beispiel, ein Ellipsoid, das sich vom Punkt bis Punkt, im Fall von einem metrischen Tensor - mit der Idee ändert, dass wir nicht wollen, dass unser Begriff von der besonderen Methode abhängt, die Oberfläche kartografisch darzustellen. Es sollte unabhängig von der Breite und Länge, oder was für der besondere 'kartografische Vorsprung bestehen' wir verwenden, um numerische Koordinaten einzuführen.

Die Vektor-Bündel-Erklärung

Der zeitgenössische mathematische Ausdruck der Idee vom Tensor-Feld zerbricht es unten in ein Zweipunktkonzept.

Es gibt die Idee vom Vektor-Bündel, das eine natürliche Idee vom 'Vektorraum abhängig von Rahmen' - die Rahmen ist, die in einer Sammelleitung sind. Zum Beispiel konnte ein Vektorraum einer Dimension abhängig von einem Winkel wie ein Streifen von Möbius sowie ein Zylinder aussehen. In Anbetracht eines Vektor-Bündels V über die M wird das entsprechende Feldkonzept eine Abteilung des Bündels genannt: für die M das Verändern über die M, eine Wahl des Vektoren

:v in V,

der Vektorraum 'an' der M.

Da das Tensor-Produktkonzept jeder Wahl der Basis unabhängig ist, ist das Nehmen des Tensor-Produktes von zwei Vektor-Bündeln auf der M alltäglich. Wenn er mit dem Tangente-Bündel (das Bündel von Tangente-Räumen) anfängt, trägt der ganze bei der teilfreien Behandlung des Tensor erklärte Apparat auf eine alltägliche Weise - wieder unabhängig von Koordinaten, wie erwähnt, in der Einführung vor.

Wir können deshalb eine Definition des Tensor-Feldes nämlich als eine Abteilung von einem Tensor-Bündel geben. (Es gibt Vektor-Bündel, die nicht Tensor-Bündel sind: das Band von Möbius zum Beispiel.) Wird das dann geometrischer Inhalt versichert, seitdem alles auf eine innere Weise getan worden ist. Genauer teilt ein Tensor-Feld jedem gegebenen Punkt der Sammelleitung einen Tensor im Raum zu

wo V der Tangente-Raum an diesem Punkt ist und V* der Kotangens-Raum ist. Siehe auch Tangente-Bündel und Kotangens-Bündel.

In Anbetracht zwei Tensor-Bündel E  M und FM, eine Karte A: Γ (E)  Γ (F) vom Raum von Abteilungen von E zu Abteilungen von F kann sich als eine Tensor-Abteilung dessen betrachtet werden, wenn, und nur wenn es (fs...) = fA (s...) in jedem Argument befriedigt, wo f eine glatte Funktion auf der M ist. So ist ein Tensor nicht nur eine geradlinige Karte auf dem Vektorraum von Abteilungen, aber ein C (M) - geradlinige Karte auf dem Modul von Abteilungen. Dieses Eigentum wird verwendet, um zum Beispiel zu überprüfen, dass, wenn auch die Lüge abgeleitete und kovariante Ableitung nicht ist, Tensor, die Verdrehung und der von ihnen gebaute Krümmungstensor sind.

Notation

Die Notation für Tensor-Felder kann manchmal der Notation für Tensor-Räume verwirrend ähnlich sein. So könnte das Tangente-Bündel TM = T (M) manchmal als geschrieben werden

zu betonen, dass das Tangente-Bündel der Reihe-Raum (1,0) Tensor-Felder (d. h., Vektorfelder) auf der mannigfaltigen M ist. Verwechseln Sie das mit der sehr ähnlich aussehenden Notation nicht

:;

im letzten Fall haben wir gerade einen Tensor-Raum, wohingegen im ersteren wir einen Tensor-Raum für jeden Punkt in der mannigfaltigen M definieren ließen.

Lockig (Schrift) werden Briefe manchmal verwendet, um den Satz von ungeheuer-differentiable Tensor-Feldern auf der M anzuzeigen. So,

sind die Abteilungen (M, n) Tensor-Bündel auf der M, die ungeheuer-differentiable sind. Ein Tensor-Feld ist ein Element dieses Satzes.

Der C (M) Modul-Erklärung

Es gibt einen anderen abstrakter (aber häufig nützlich) Weise, Tensor-Felder auf einer mannigfaltigen M zu charakterisieren, die sich erweist, wirklich Tensor-Felder in den ehrlichen Tensor zu machen (d. h. einzelner mehrgeradliniger mappings), obwohl eines verschiedenen Typs (und ist das nicht gewöhnlich, warum man häufig "Tensor" sagt, wenn man wirklich "Tensor-Feld" vorhat). Erstens können wir denken, dass der Satz von allen (C) Vektorfelder auf der M glättet, (sieh die Abteilung auf der Notation oben) als ein einfacher Zeilenabstand - ein Modul über den Ring von glatten Funktionen, C (M), durch die pointwise Skalarmultiplikation. Die Begriffe der Mehrlinearität und Tensor-Produkte strecken sich leicht bis zu den Fall von Modulen über jeden Ersatzring aus.

Als ein Motivieren-Beispiel, denken Sie den Raum von glatten covector Feldern (1 Formen), auch ein Modul über die glatten Funktionen. Diese folgen glatten Vektorfeldern, um glatte Funktionen durch die pointwise Einschätzung, nämlich, in Anbetracht eines covector Feldes ω und ein Vektorfeld X nachzugeben, wir definieren

:(ω (X)) (p) = ω (p) (X (p)).

Wegen der pointwise Natur von allem Beteiligtem ist die Handlung von ω auf X ein C (M) - geradlinige Karte, die, ist

:(ω (fX)) (p) = f (p) ω (p) (X (p)) = (fω) (p) (X (p))

für jeden p in der M und glatten Funktion f. So können wir covector Felder nicht nur als Abteilungen des Kotangens-Bündels, sondern auch geradliniger mappings von Vektorfeldern in Funktionen betrachten. Durch den Doppelt-Doppelaufbau können Vektorfelder als mappings covector Felder in Funktionen ähnlich ausgedrückt werden (nämlich, wir konnten "heimisch" mit covector Feldern anfangen und von dort verarbeiten).

In einer ganzen Parallele zum Aufbau des gewöhnlichen einzelnen Tensor (nicht Felder!) auf der M als mehrgeradlinige Karten auf Vektoren und covectors können wir allgemein (k, l) Tensor-Felder auf der M als C (M)-multilinear Karten betrachten, die auf l Kopien und k Kopien in C (M) definiert sind.

Jetzt, in Anbetracht irgendwelchen willkürlicher kartografisch darstellender T von einem Produkt von k Kopien und l Kopien in C (M), stellt es sich heraus, dass es aus einem Tensor-Feld auf der M entsteht, wenn, und nur wenn es ein mehrgeradliniger über C (M). Thus ist, diese Art der Mehrlinearität implizit die Tatsache ausdrückt, dass wir uns wirklich mit einem pointwise-definierten Gegenstand, d. h. einem Tensor-Feld im Vergleich mit einer Funktion befassen, die, selbst wenn bewertet an einem einzelnen Punkt, von allen Werten von Vektorfeldern und 1 Formen gleichzeitig abhängt.

Eine häufige Beispiel-Anwendung dieser allgemeinen Regel zeigt, dass die Verbindung von Levi-Civita, die ist von glatten Vektorfeldern kartografisch darzustellen, die ein Paar von Vektorfeldern zu einem Vektorfeld bringen, kein Tensor-Feld auf der M definiert. Das ist, weil es nur R-linear in Y ist (im Platz von vollem C (M) - Linearität, befriedigt es die Regierung von Leibniz,)). Dennoch muss es betont werden, dass, wenn auch es nicht ein Tensor-Feld ist, es sich noch als ein geometrischer Gegenstand mit einer teilfreien Interpretation qualifiziert.

Anwendungen

Der Krümmungstensor wird in der Differenzialgeometrie besprochen, und der Betonungsenergie-Tensor ist in der Physik und Technik wichtig. Beide von diesen sind durch die Theorie von Einstein der allgemeinen Relativität verbunden. In der Technik wird die zu Grunde liegende Sammelleitung häufig 3-Räume-sein Euklidisch.

Es lohnt sich zu bemerken, dass Differenzial Formen, die im Definieren der Integration auf Sammelleitungen verwendet sind, ein Typ des Tensor-Feldes ist.

Tensor-Rechnung

In der theoretischen Physik und den anderen Feldern stellen in Bezug auf Tensor-Felder aufgestellte Differenzialgleichungen eine sehr allgemeine Weise zur Verfügung, Beziehungen auszudrücken, die beide in der Natur (versichert durch die Tensor-Natur) und herkömmlich verbunden mit der Differenzialrechnung geometrisch sind. Sogar solche Gleichungen zu formulieren, verlangt einen frischen Begriff, die kovariante Ableitung. Das behandelt die Formulierung der Schwankung eines Tensor-Feldes entlang einem Vektorfeld. Der ursprüngliche absolute Differenzialrechnungsbegriff, der später Tensor-Rechnung genannt wurde, hat zur Isolierung des geometrischen Konzepts der Verbindung geführt.

Die Drehung durch ein Linienbündel

Eine Erweiterung der Tensor-Feldidee vereinigt ein Extralinienbündel L auf der M, Wenn W das Tensor-Produktbündel V mit L ist, dann ist W ein Bündel von Vektorräumen gerade derselben Dimension wie V. Das erlaubt, das Konzept der Tensor-Dichte, einen 'gedrehten' Typ des Tensor-Feldes zu definieren. Eine Tensor-Dichte ist der spezielle Fall, wo L das Bündel von Dichten auf einer Sammelleitung, nämlich das bestimmende Bündel des Kotangens-Bündels ist. (Um ausschließlich genau zu sein, sollte man auch den absoluten Wert auf die Übergang-Funktionen anwenden - das macht wenig Unterschied für eine Orientable-Sammelleitung.) Für eine traditionellere Erklärung sieh den Tensor-Dichte-Artikel.

Eine Eigenschaft des Bündels von Dichten (wieder das Annehmen orientability) L ist, dass L für Werte der reellen Zahl von s bestimmt ist; das kann von den Übergang-Funktionen gelesen werden, die ausschließlich positive echte Werte nehmen. Das bedeutet zum Beispiel, dass wir eine Halbdichte, der Fall wo s = ½ nehmen können. Im Allgemeinen können wir Abteilungen von W, das Tensor-Produkt V mit L nehmen, und Tensor-Dichte-Felder mit dem Gewicht s denken.

Halbdichten werden in Gebieten wie das Definieren integrierter Maschinenbediener auf Sammelleitungen und geometrischen quantization angewandt.

Der flache Fall

Wenn M ein Euklidischer Raum ist und alle Felder genommen werden, um invariant durch Übersetzungen durch die Vektoren der M zu sein, kommen wir zu einer Situation zurück, wo ein Tensor-Feld mit einem Tensor synonymisch ist, 'am Ursprung sitzend'. Das fügt keinem großen Schaden zu, und wird häufig in Anwendungen verwendet. In Bezug auf Tensor-Dichten macht es wirklich einen Unterschied. Das Bündel von Dichten kann 'an einem Punkt' nicht ernstlich definiert werden; und deshalb ist eine Beschränkung der zeitgenössischen mathematischen Behandlung des Tensor, dass Tensor-Dichten auf eine umständliche Mode definiert werden.

Cocycles und Kettenregeln

Als eine fortgeschrittene Erklärung des Tensor-Konzepts kann man die Kettenregel im mehrvariablen Fall in Bezug auf Koordinatenänderungen auch als die Voraussetzung für konsequente Konzepte des Tensor interpretieren, der Tensor-Felder verursacht.

Abstrakt können wir die Kettenregel als ein 1-cocycle identifizieren. Es gibt die Konsistenz, die erforderlich ist, das Tangente-Bündel auf eine innere Weise zu definieren. Die anderen Vektor-Bündel des Tensor haben vergleichbare cocycles, die daraus kommen, functorial Eigenschaften von Tensor-Aufbauten zur Kettenregel selbst anzuwenden; das ist, warum sie auch (gelesen inner, 'natürlich' 'sind') Konzepte.

Was gewöhnlich dessen gesprochen wird, weil die 'klassische' Annäherung an den Tensor versucht, das umgekehrt zu lesen - und deshalb ein heuristischer, Posten hoc Annäherung aber nicht aufrichtig ein foundational ein ist. Implizit im Definieren des Tensor durch, wie sie sich unter einer Koordinatenänderung verwandeln, ist die Art der Selbstkonsistenz die Cocycle-Schnellzüge. Der Aufbau von Tensor-Dichten ist eine 'Drehung' am cocycle Niveau. Geometers sind in keinen Zweifeln über die geometrische Natur von Tensor-Mengen gewesen; diese Art des Abfallarguments rechtfertigt abstrakt die ganze Theorie.

Siehe auch

• Rechnung von Ricci
• Strahlbündel
• Feld von Spinor